導數(shù)解決多元問題的幾種策略*

□ 趙思林 李世和

（內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川內(nèi)江 641112；內(nèi)江市第六中學，四川內(nèi)江 641112）

導數(shù)解決多元問題的幾種策略*

□ 趙思林 李世和

（內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川內(nèi)江 641112；內(nèi)江市第六中學，四川內(nèi)江 641112）

導數(shù)是非常重要的數(shù)學工具，能夠解決很多一元問題，也能處理一些多元問題．用導數(shù)解決多元問題的常用策略和方法有消元策略、主元策略、換元策略、逐次求導策略、運用琴生不等式策略等．

導數(shù)；多元問題；策略

筆者曾向一所國家級示范中學高三實驗班的學生提了一個問題：用導數(shù)能解決多元問題嗎？大多數(shù)學生認為不能.分析其原因，可能有三：一是這些學生沒有用導數(shù)解決多元問題的“經(jīng)驗”；二是很多學生誤認為“導數(shù)只能解決一元問題”，這顯然是受到了思維定式的消極影響；三是學生缺乏解決多元問題的策略性知識.事實上，導數(shù)是非常重要的數(shù)學工具.導數(shù)能夠解決很多一元問題，也能處理一些多元問題，比如證明多元不等式、求多元函數(shù)的最值等.用導數(shù)解決多元問題，既需要以數(shù)學思想方法為指導，更需要良好思維策略的靈活運用.

用導數(shù)解決多元問題的基本程式是：（1）將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題；（2）構造一元函數(shù)；（3）用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)（包括單調(diào)性、極值、最值、凹凸性等）；（4）解決原問題.用導數(shù)方法解決多元問題具有思路清晰、易于掌握、簡潔明快等特點.下面介紹用導數(shù)解決多元問題的一些常用策略和方法，如消元策略、主元策略、換元策略、逐次求導策略、運用琴生不等式策略等.

一、消元策略

消元策略是用導數(shù)解決多元問題的基本策略.

例1（2009年清華大學自主招生理科試題）（1）x，y為實數(shù)，且x+y=1，求證：對于任意整數(shù)

分析：對于（1），看似二元，實則一元問題.消去一元如y即變成一元問題.

（2）利用下面例3的結論立即獲證，其過程從略.

二、主元策略

主元策略是把多元問題化為一元問題的重要策略.主元策略可極大地拓展導數(shù)的應用范圍.

例2（2010年江蘇卷第21題）設a，b均為非負實數(shù)，求證：

思路分析1：這是江蘇卷的選做題.通過變形、配湊等過程可以完成證明，但對學生來說，有一定的技巧性，其思路不容易想到.若用主元策略，比如將a看成主變量，b看成常數(shù)（參數(shù)），就可構造關于a的函數(shù)，利用熟悉的導數(shù)方法來證明，其解題思路可謂自然清新.

思路分析2：當b=0時，不等式顯然成立，以下僅討論b＞0的情況.

這就將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題了，利用導數(shù)就容易解決了，以下從略.

例3設a，b，c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc.

分析：因本題有3個獨立的變量，看似不能用導數(shù)證明.但若將a看成主變量，記a=x，并把b、c都看成常數(shù)（參數(shù)），就可構造關于x的一元函數(shù)，利用導數(shù)方法可簡證之.

三、放縮換元策略

有一些多元問題，可以先用放縮、減元、換元等方法，然后再構造函數(shù)，最后利用導數(shù)解決問題.

分析：本題是2006年高考數(shù)學四川卷理科壓軸題的最后一問，當年高考全省無一人用初等方法做出來，難度極高.其關鍵是證明：2+，也就是要證明：這里若孤立地看問題，則共有4個元：x1，x2，x1+x2，x1x2，此時不能用導數(shù)；若用整體思想，則仍有2個元：x1+x2，x1x2，這時仍不能用導數(shù)，因此，考慮把x1+x2變?yōu)閤1x2，事實上，用基本不等式放縮即可實現(xiàn)二元化一元的想法.

四、逐次求導策略

有些多元問題可以分幾步變?yōu)閹讉€一元問題，每一步都只確定一個自變量，其余字母均看成常數(shù)，這就可以用逐次求導策略程式化地解決這些多元問題.

例5（2010年四川卷理科12題）設a＞b＞ c＞0，則的最小值是（ ）.

綜上，f（c）≥g（b）≥h（a）≥4.故選B.

評注：此題是當年公認的難題，許多教師當時也不會做.這種逐次求導求最值的方法是具有普遍性的方法，它可以程式化地處理一些含有多個變量的最值問題.

五、運用琴生不等式策略

高等數(shù)學里有一些工具是專門處理多元問題的，比如，運用琴生不等式、柯西不等式、算術—幾何平均不等式等是解決多元問題的重要策略.柯西不等式、算術—幾何平均不等式一般不涉及導數(shù)，故本文不作討論.

凸函數(shù)（凹函數(shù)）定義：設函數(shù)f（x）在區(qū)間Ⅰ上對任意兩點 x1，x2總有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間Ⅰ上為凸函數(shù)（或凹函數(shù)）.

凸函數(shù)（凹函數(shù)）的判定定理：設函數(shù)f（x）在區(qū)間Ⅰ上具有二階導數(shù)，則f（x）為區(qū)間Ⅰ上的凸（凹）函數(shù)的充要條件是f''（x）≤0（f''（x）≥0）.

琴生不等式：（1）若f為[a，b]上的凸函數(shù)，則對任意xi∈[a，b]，則

（2）若f為[a，b]上的凹函數(shù)，則對任意xi∈[a，b]，則

例6（2005年全國卷Ⅰ理科22題）（Ⅰ）設函數(shù)f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x），（0＜x＜1）求f（x）的最小值；

評注：本題含有函數(shù)凸性的背景.（Ⅱ）的設計意圖是充分利用（Ⅰ）的結論，并用數(shù)學歸納法來證明，此方法曾有中學老師評論：不容易想，不容易懂，技巧性太強.順便指出，（Ⅱ）的結論是信息學中的基本定理.

教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點項目——內(nèi)江師范學院數(shù)學與應用數(shù)學“專業(yè)綜合改革試點”項目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學數(shù)學教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項目.