數(shù)學(xué)源于生活*
——從一道上海高考試題說起

□王淼生

（廈門第一中學(xué)，福建廈門 361003）

數(shù)學(xué)源于生活*
——從一道上海高考試題說起

□王淼生

（廈門第一中學(xué)，福建廈門 361003）

數(shù)學(xué)源于生活.用數(shù)學(xué)的眼光和大腦觀察并分析日常生活中的現(xiàn)象，將“冰冷”的數(shù)學(xué)和諧融入“火熱”的生活，彰顯數(shù)學(xué)教育教學(xué)價(jià)值．

數(shù)學(xué)；生活；試題；案例

一、一道試題

數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活.能否用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象，能否用數(shù)學(xué)的頭腦分析問題，體現(xiàn)了一個(gè)人數(shù)學(xué)素質(zhì)的高低.數(shù)學(xué)決定著一個(gè)國(guó)家的科技進(jìn)步，是關(guān)系著一個(gè)國(guó)家未來發(fā)展的核心學(xué)科，一個(gè)沒有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的民族就難以立足于世界之林.正如印度科學(xué)家拉奧所指出：“一個(gè)國(guó)家的科技水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來衡量.”

讓我們先來欣賞2013年全國(guó)高考上海卷中的一道選擇題，原題如下：

錢大姐常說：“好貨不便宜.”她這句話的意思是：“好貨”是“不便宜”的（ ）

A.充分條件 B.必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分也非必要條件

命制這道試題的靈感來自諺語：“便宜無好貨.”出自清代李寶嘉《官場(chǎng)現(xiàn)形記》第49回：“便宜無好貨，這藥是吃了不中用的.”該題小巧玲瓏、構(gòu)思新穎、視角獨(dú)特，玩賞品味，愛不釋手！將抽象數(shù)學(xué)邏輯與現(xiàn)實(shí)生活天衣無縫地糅合于一體，凸顯新課改的精髓：邏輯是每一個(gè)公民應(yīng)有的素質(zhì).將“陽春白雪”（數(shù)學(xué)命題）與“下里巴人”（生活諺語）“無縫對(duì)接”，由衷驚嘆命題專家獨(dú)具匠心的智慧與精準(zhǔn)掌控課標(biāo)的能力.

以下我們從數(shù)學(xué)命題的視角來剖析這道試題.

“便宜無好貨”（從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)）?“若便宜，則不是好貨”（改寫為數(shù)學(xué)原命題）?“若好貨，則不便宜”（逆否命題）?“好貨不便宜”（回歸平常生活用語）.

我們把長(zhǎng)期生活、生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)結(jié)晶看作正確，即“便宜無好貨”是真命題，那么依據(jù)數(shù)學(xué)命題等價(jià)性不難得到其逆否命題也是真命題，即“好貨不便宜”是正確的，故選A.

二、幾個(gè)案例

提高全民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師責(zé)無旁貸.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中總是千方百計(jì)地拉近“數(shù)學(xué)”與“生活”的距離，讓數(shù)學(xué)更加貼近生活.把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題生活化，從現(xiàn)實(shí)生活中感悟數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)地分析與思考現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象和問題，數(shù)學(xué)就不會(huì)呆板、枯燥、冰冷，就會(huì)與現(xiàn)實(shí)生活水乳交融、生動(dòng)活潑、愉悅快樂，彰顯數(shù)學(xué)教育的功能與價(jià)值.

案例1 在愛恨足球中感嘆數(shù)形和諧

足球，世界第一運(yùn)動(dòng)！作為數(shù)學(xué)人，站在數(shù)學(xué)的視角該如何欣賞足球呢？

（1）憑數(shù)學(xué)的眼光觀察

遠(yuǎn)眺，即形狀和色彩.從空間幾何體的視角：足球?qū)儆诙嗝骟w；從數(shù)學(xué)涂色的視角：黑白兩色（黑色為正五邊形、白色為正六邊形），黑色周圍都是5塊白色，白色周圍由黑白相間（3黑3白）圍住.近看，即邊（棱）和頂點(diǎn).每一條邊（棱）都是2個(gè)相鄰正多邊形（面）的公共邊（棱）；每一個(gè)頂點(diǎn)都是相鄰3個(gè)正多邊形（1黑2白）的公共點(diǎn).

（2）用數(shù)學(xué)的頭腦思維

由于黑色周圍都是5塊白色，白色周圍由黑白相間（3黑3白）圍住，則有6y=2×5x?y= 20.

當(dāng)然，隨著科技進(jìn)步及審美能力提高，足球色彩、質(zhì)料及縫合技術(shù)更加絢麗多彩，但是足球由12個(gè)正五邊形（黑色）與20個(gè)正六邊形（白色）構(gòu)成空間體卻始終如一.

（3）借數(shù)學(xué)的品格質(zhì)疑

正五邊形每個(gè)內(nèi)角是108度，正六邊形為120度，則每個(gè)頂點(diǎn)周圍度數(shù)120+120+108= 348度.然而一個(gè)周角是360度，這樣接近于周角卻又小于周角，以便充氣后成為多個(gè)平面構(gòu)成“類球”曲面，有利于增大腳與球的接觸面而減少力的損耗，有利于與氣流磨合在一起而減少阻力，增加運(yùn)行的穩(wěn)定性和精準(zhǔn)度，這就是設(shè)計(jì)成正五邊形和正六邊形的緣由.

（4）凸數(shù)形的和諧之美

最早設(shè)計(jì)足球，除了考慮受力、角度、速度等因素之外，足球作為圖形還具有特殊的“數(shù)”的象征意義：原來地球上共有7個(gè)洲，因南極洲極其寒冷不宜居住，只算6個(gè)洲，若把南、北美洲看作一個(gè)整體，即5個(gè)洲，這就是我們常說的五大洲的來由.設(shè)計(jì)足球上的五邊形正是象征酷愛足球的人遍布五大洲，足球是世界語言！之所以是“正”五邊形，之所以黑、白兩色，則凸顯在足球面前，不論膚色、貧富、大小，人人享有平等.至于數(shù)字12與20，顯然12+20= 32，其意義更是不言自喻！象征著32支雄獅拼搏在世界杯決賽賽場(chǎng)！

案例2 在欣賞小品中回味命題

小品就是小的藝術(shù)品.小品具有以下特點(diǎn)：源于生活，適度夸張，短小精悍，高度濃縮，富有哲理，幽默風(fēng)趣，滑稽可笑，雅俗共賞，題材廣泛，視角獨(dú)特，語言精練，感染力強(qiáng).

大家一定還記得由黃宏（飾男主人）、林永?。楅_鎖公司工人）、鞏漢林（飾物業(yè)公司員工）、董卿（飾女主人）主演的2008年春晚小品《開鎖》里面的經(jīng)典臺(tái)詞（對(duì)話）.

（第一段對(duì)話）

林永?。海ㄈ簦┏鍪旧矸葑C、房產(chǎn)證、戶口本等有效證件，（則）開鎖.（原命題）

黃宏：（若）開鎖，（則）出示身份證、房產(chǎn)證、戶口本等有效證件.（逆命題）

林永?。海ㄈ簦┎怀鍪旧矸葑C、房產(chǎn)證、戶口本等有效證件，（則）不能開鎖.（否命題）

黃宏：（若）不開鎖，（則）無法出示身份證、房產(chǎn)證、戶口本等有效證件.（逆否命題）

（第二段對(duì)話）

鞏漢林：（若）出示身份證、房產(chǎn)證、戶口本等證件，（則）證明您是主人.（原命題）

黃宏：（若）證明我是主人，（則）開鎖拿出身份證、房產(chǎn)證、戶口本等證件.（逆命題）

鞏漢林：（若）不出示身份證、房產(chǎn)證等證件，（則）不能證明您是主人.（否命題）

黃宏：（若）不證明我是主人，（則不開鎖）拿不出身份證、房產(chǎn)證等證件.（逆否命題）

此外還有“認(rèn)識(shí)則打招呼”“結(jié)婚照片是一對(duì)夫妻”“住在一起是兩口子”“家中照片中的人是主人”“有錢不賺是傻子”“衣食父母就該孝敬”“賊眉鼠眼是壞人”等等，短短幾分鐘小品中自始至終、反反復(fù)復(fù)充滿著多達(dá)十多處數(shù)學(xué)邏輯命題（即原命題、逆命題、否命題及逆否命題），讓人在捧腹大笑中不得不驚嘆編劇是一個(gè)數(shù)學(xué)天才！

事實(shí)上，還有不少小品是數(shù)學(xué)結(jié)晶.由郭冬臨、牛莉主演的2010年春晚小品《一句話的事兒》里面最為經(jīng)典的臺(tái)詞：“用謊言去驗(yàn)證謊言得到的一定是謊言.”這不正是演繹推理“三段論”中所強(qiáng)調(diào)的大、小前提都正確前提下才能得到正確結(jié)論嗎？筆者常常借小品作為新授課情景引入，讓數(shù)學(xué)課堂適度生活化、情境化，將抽象數(shù)學(xué)知識(shí)融入幽默詼諧的小品中，在輕松和諧的氛圍中誘發(fā)學(xué)生的好奇心，提升濃厚興趣，激發(fā)探究欲望，給學(xué)生留下終身難忘的回憶.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏回憶：“我搞了多年數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在初中、高中接受的數(shù)學(xué)知識(shí)因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用這些作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以出校門不到兩年就忘記了.然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)的工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)研究方法和著眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使他們終身受益.”

案例3 在糖水實(shí)驗(yàn)中論證定理

在人們的印象中，物理、化學(xué)、生物等學(xué)科進(jìn)行實(shí)驗(yàn)名正言順、理所當(dāng)然，數(shù)學(xué)則是純理論論證，似乎數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)無關(guān).其實(shí)，數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是一門操作性實(shí)驗(yàn)科學(xué).操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)和要求，做出合乎情理的假設(shè)，通過對(duì)一些工具、材料的動(dòng)手和實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的教學(xué)活動(dòng).

現(xiàn)有n杯相同濃度的糖水，其中第n杯是含有an克糖的bn克糖水的不飽和溶液，則有

以此類推，將第n杯糖水倒入前n-1杯糖水的混合液中，顯然濃度不會(huì)改變，即

事實(shí)上，我們還可以將2杯第2杯的糖水倒入第1杯，甜度也是不變，即

上述④及⑦就是我們熟知的等比定理及推廣，從①到⑦的實(shí)驗(yàn)操作就是等比定理的證明過程.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以學(xué)生為主體，以問題為主線，以實(shí)踐為手段，變冰冷的數(shù)學(xué)課堂為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，在瓶瓶罐罐中激發(fā)學(xué)生的好奇心，加深定理理解，培養(yǎng)探索科學(xué)、追求真理的精神.

案例4 在中考招生中構(gòu)建模型

匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎一針見血地指出：數(shù)學(xué)家在解決問題時(shí)往往不是對(duì)問題實(shí)行正面攻擊，而是不斷地將它等價(jià)變形，進(jìn)而構(gòu)造，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的熟知的數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的一門科學(xué).它將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（即生活問題數(shù)學(xué)化），用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式，或用圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.再利用數(shù)學(xué)概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實(shí)際問題，為解決現(xiàn)實(shí)問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)，并解決數(shù)學(xué)問題，最終返回解釋實(shí)際問題（即數(shù)學(xué)問題生活化）.

著名特級(jí)教師任勇先生曾提出這樣一個(gè)問題：

由于廈門市中考對(duì)物理、化學(xué)和政治采用劃分等級(jí)制，每個(gè)學(xué)科劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，不計(jì)較學(xué)科排序，則中招時(shí)共有多少種不同的等級(jí)？

任勇先生與中招辦工作人員交流時(shí)，工作人員雖然沒有從數(shù)學(xué)的角度來解決這個(gè)問題，但還是用大家熟悉的列表、排除等方法得出20種不同等級(jí).

隨著課改深入和評(píng)價(jià)機(jī)制多樣化，分支學(xué)科越來越多，等級(jí)也越來越細(xì)化，到那時(shí)，如果還是采用上述方法，則顯得復(fù)雜與麻煩，怎么辦？

我們知道，無論是哪一種等級(jí)，都是由A、B、C、D中的三個(gè)字母（字母可以重復(fù)）組成，設(shè)等級(jí)包含x1個(gè)A、x2個(gè)B、x3個(gè)C、x4個(gè)D，因此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不定方程：x1+x2+x3+x4=3的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，至此完成了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.如何求解呢？顯然利用隔板原理，即把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同的盒子中（n≥m≥1），要求每個(gè)盒子非空，則有種不同的放法.為此將上述不定方程等價(jià)變形為：（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=7.①

令Xi=xi+1（i=1，2，3，4），則X1+X2+X3+X4=7.②

設(shè)有m個(gè)學(xué)科，每個(gè)學(xué)科有n個(gè)不同等級(jí)，不計(jì)較學(xué)科次序，則有種不同等級(jí).

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：“從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用.”正如任勇先生所言：“把一個(gè)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（抽象、建模）是數(shù)學(xué)教師的基本素質(zhì)，把一個(gè)數(shù)學(xué)問題一般化是數(shù)學(xué)教師的基本功底.”[1]

案例5 在文學(xué)作品中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)

將文學(xué)美感融入數(shù)學(xué)研究的丘成桐接受采訪時(shí)說：“我把《史記》當(dāng)作歌劇來欣賞，由于我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數(shù)學(xué)問題時(shí)常常采取宏觀的觀點(diǎn)，和別人看法不一樣.”中國(guó)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深.研讀文學(xué)作品，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，這正是數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)期滲透的結(jié)晶.難怪?jǐn)?shù)學(xué)家蘇步青指出，沒有一定文學(xué)素養(yǎng)，要想學(xué)好理科也是相當(dāng)困難.

張奠宙先生常借詩人陳子昂名句“前不見古人，后不見來者；念天地之悠悠，獨(dú)愴然而淚下”暗喻以自己為時(shí)間原點(diǎn)，時(shí)間可以追溯到過去的負(fù)無窮大，亦可延伸到未來的正無窮大，將時(shí)間看作一維空間的直線，天是平面，地是平面，悠悠地張成三維幾何空間.將時(shí)間和空間融合于一體，感嘆自然之偉大，由此產(chǎn)生敬畏之心，以致愴然而涕下！徐利治先生在講授到極限的時(shí)候，總是禁不住引用李白名句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長(zhǎng)江天際流”，讓學(xué)生領(lǐng)悟一個(gè)變量趨向于0的動(dòng)態(tài)意境，煞是傳神！耳熟能詳?shù)拿洹皢柧苡袔锥喑?，一江春水向東流”“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”不正是函數(shù)f（x）=sin|x|、f（x）=-x2+|x|+2圖象真實(shí)再現(xiàn)嗎？將文學(xué)看作文字語言，那函數(shù)表達(dá)式及圖象正是符號(hào)語言、圖形語言.數(shù)學(xué)三種語言不斷切換，將文學(xué)的博大精深與數(shù)學(xué)的抽象深?yuàn)W完美結(jié)合！還有什么能比用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象刻畫人生更恰當(dāng)呢？人生有波峰也有低谷，淚水與歡樂都是我們成長(zhǎng)過程中不可或缺的風(fēng)景.人生遭遇低谷往往蘊(yùn)含著生機(jī)，加倍努力，必將到達(dá)事業(yè)的巔峰！處于事業(yè)高端要處處提醒自己，戒驕戒躁，謙虛謹(jǐn)慎！這正是新課標(biāo)三維目標(biāo)之一的“情感態(tài)度、價(jià)值觀”的最佳詮釋！正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的根本——培養(yǎng)人！

［1］王淼生.數(shù)學(xué)百題精彩千解［M］.福州：福建教育出版社，2009：序言.

*本文系全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度單位資助教育部規(guī)劃課題“基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）視角下的概念教學(xué)案例研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)FHB150464）研究成果.