一般混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計

盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

一般混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計

盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮一般混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計.利用試驗函數(shù)、分部積分和不等式等估計方法與技巧，獲得用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的度量無關(guān).其結(jié)果在常微分方程的研究和應(yīng)用中起著重要的作用.

一般混合微分系統(tǒng)；特征值；特征函數(shù)向量；上界

1 主要結(jié)果

設(shè)a b,( )?R是一個有界區(qū)間，考慮如下一般混合微分系統(tǒng)的特征值估計問題.

ij ij ji ijqx qx

k() ()= ，i，j=1，2，k=0，1，…h(huán)；2≤k＜s≤t，為正整數(shù).設(shè)任意的

k

ij ji

ξ =[ ]

ξξ

12T，滿足

式中μ1，μ2，v1，v2為正實(shí)數(shù).

把問題(1)寫成矩陣形式，設(shè)

則問題(1)化為如下等價的矩陣形式

微分方程的特征值估計已有結(jié)果[2-5]，相同階微分系統(tǒng)特征值估計也有結(jié)果[6-8].在本文中，考慮一般混合微分系統(tǒng)的問題，將文獻(xiàn)[6]~文獻(xiàn)[8]推廣到不同階的微分方程組成的方程組的情形.運(yùn)用文獻(xiàn)[9]中的方法，對于問題(1)獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的度量無關(guān).其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用.

定理設(shè)λ1，λ2分別是問題(1)的第一、第二特征值，且0<λ1≤λ2，n=1，2，…，h，則有() ()= = (k=0，1，…，h)，得到文獻(xiàn)[1]中的式(5)、式(6)，所以文獻(xiàn)[1]的結(jié)果是本文中的一個特例.且本文結(jié)果比文獻(xiàn)[1]更優(yōu)，即

注1取px px

12 21 0

() ()= =，qx qx

12 21 0

k k

注2適當(dāng)選取正整數(shù)n使得式(5)和式(6)的左端達(dá)到最小.

2 定理的證明

設(shè)λ1是問題(4)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u1，簡記u=u1，且滿足

利用分部積分和式(7)，得

利用分部積分和式(8)，有

利用式(2)和式(9)，得

利用式(10)，有

利用式(3)和式(8)，得

利用式(13)，有

利用式(14)，得

設(shè)φ () ( )

x x g= - u，

利用分部積分，直接計算得

，式(16)等于0，即

由式(17)知，φ與u廣義正交，且滿足

利用Rayleigh定理，則下列不等式成立

計算得

利用分部積分和φ () ( )

x x g= - u，有

即有

結(jié)合式(19)和式(20)，得

假設(shè)

利用式(21)，有

利用式(18)和式(22)，有

引理1設(shè)y是問題(4)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征向量函數(shù)u的某一分量，n=0，1，…，h，則

當(dāng)m=k+1時，利用分部積分、Schwarz 不等式和歸納假設(shè)，得

一種基于CCBⅡ空氣系統(tǒng)的機(jī)車受電弓氣動控制失效分析與處置…………肖洪江 王自強(qiáng) 劉海軍 (3-46)

化簡整理，得

即引理1(a)成立.

對于(b)，反復(fù)運(yùn)用引理1(a)和式(11)，得

即得引理1(b)成立.對于(c)，類似地，利用證明引理1(b)的方法和式(11)，同樣可得引理1(c)成立.

引理2設(shè)u是問題(4)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則，

證對于(a)，利用式(3)和式(14)，得

對于(b)，利用式(2)、引理1(b)和引理1(c)，得

對于(c)，利用式(2)，Schwarz 不等式、引理1(b) 和引理1(c)，得

證利用分部積分和φ () ( )

x x g= - u，得

類似地，可以得到

利用式(24)、式(25)、式(26)和式(27)，得

利用式(28)和引理2，得

引理4對于φ與λ1，有

證利用分部積分和φ () ( )

x x g= - u，得

利用式(29)，得

利用式(30)，得

利用式(3)和式(13)，得

利用式(31)、式(32)、式(3)、式(13)、引理1(b)和Schwarz 不等式，得

整理可得引理4(a)成立.類似地，利用引理1(c)和上述方法，同樣可得引理4(b)成立.

定理的證明：利用引理3、引理4(a)和式(23)，得到定理的式(5).利用引理3、引理4(b)和式(23)，得到定理的式(6).

[1] 盧亦平，錢椿林.混合微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，24 (10)：1364-1369.

[2] 盧亦平，錢椿林.多項式微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計 [J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，24 (2)：175-179.

[3] 盧亦平，錢椿林.任意階微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計[J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，22 (12)：1490-1494.

[4] 盧亦平，錢椿林.高階微分算子帶權(quán)的第二特征值的上界估計[J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，20 (6)：4-7.

[5] 盧亦平，錢椿林.微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計[J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，19 (10)：7-9.

[6] 朱敏峰，錢椿林.正則任意階微分系統(tǒng)帶一般權(quán)第二特征值的上界[J].長春大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，23 (8)：971-980.

[7] 朱敏峰，錢椿林.正則高階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，23(4)：30-36.

[8] 陳衛(wèi)忠，錢椿林.正則微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報，2010 (10)：38-42.

[9] HILE G N，YEN R Z.Inequalities for eigenvalue of the biharmonic operator[J].Pacifc J.Math.1984 (1)：115-133.

[10] PROTTER M H.Can one hear the shape of a drum? [J]. SIAM Rev.，1987 (2)：185-197.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Estimate of the Upper Bound of Second Eigenvalue for General Mixed Differential System

LU Yi-ping，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the estimate of the upper bound of second eigenvalue for general mixed differential system.The upper of second eigenvalue is dependent on the first eigenvalue by using integral and inequality estimation.The estimate coeffcients do not depend on the measure of the domain in which the problem is concerned.This kind of problem is significant both in theory of differential equations and in application to mechanics and physics.

general mixed differential system；eigenvalue；vector eigenfunction；the upper bound

O175.1

A

1008-5475(2016)04-0027-08

10.16219/j.cnki.szxbzk.2016.04.008

2016-06-19；

2016-07-17

蘇州市職業(yè)大學(xué)青年基金資助項目(2010SZDQ12)

盧亦平(1978-)，女，吉林白山人，講師，碩士，主要從事算子特征值估計研究.

盧亦平，錢椿林.一般混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2016，27(4)：27-34.