各邊長均為定值的四邊形面積何時(shí)最大

曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)

周祎明 (郵編：273165)

山東省濟(jì)寧市育才中學(xué)分校

莊志宏 (郵編：232100)

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初數(shù)研究

各邊長均為定值的四邊形面積何時(shí)最大

曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)

周祎明 (郵編：273165)

山東省濟(jì)寧市育才中學(xué)分校

莊志宏 (郵編：232100)

證明 若四邊形ABCD是凹四邊形，可不妨設(shè)點(diǎn)A在△BCD內(nèi)(如圖1所示).

圖1

連結(jié)BD，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)A′.可得四邊形A′BCD的各邊長分別為A′B=a,BC=b,CD=c,DA′=d,但凸四邊形A′BCD的面積大于凹四邊形ABCD的面積，所以當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，該四邊形是凸四邊形.

圖2

如圖2所示，在凸四邊形ABCD中，連結(jié)BD.

在△ABD和△CBD中，由余弦定理，可得

BD2=b2+c2-2bccosC=a2+d2-2adcosA,

(a2+d2)-(b2+c2)=2adcosA-2bccosC.

①

還可得，凸四邊形ABCD的面積

②

由①2+②2，可得

[(a2+d2)-(b2+c2)]2+16S2=4a2d2+4b2c2-8abcdcos(A+C)，

16S2≤(4a2d2+4b2c2+8abcd)-[(a2+d2)-(b2+c2)]2(當(dāng)且僅當(dāng)A+C=π時(shí)取等號(hào))

=(2ad+2bc)2-[(a2+d2)-(b2+c2)]2=(2ad+2bc+a2+d2-b2-c2)(2ad+2bc-a2-d2+b2+c2)=[(a+d)2-(b-c)2][(b+c)2-(a-d)2]=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)=(2p-2c)(2p-2b)(2p-2d)(2p-2a).

所以S2≤(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),

推論 (1)各邊長分別是a、b、c、d的圓內(nèi)接四邊形的面積為

(3)在周長為定值的四邊形中，當(dāng)且僅當(dāng)其是正方形時(shí)該四邊形的面積最大．

證明 (1)由定理立得.

(2)在結(jié)論(1)中讓d→0即得.

(3)設(shè)周長為定值的四邊形的各邊長分別是a,b,c,d(a+b+c+d=定值2p)，由定理得該四邊形的面積

進(jìn)而可得結(jié)論成立.

2016-08-28)