不能這樣“巧用對稱求最值”

北京豐臺二中

甘志國 (郵編：100071)

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不能這樣“巧用對稱求最值”

北京豐臺二中

甘志國 (郵編：100071)

我們先看發(fā)表的文章《巧用對稱求最值》[1]的主要內容：

解 由已知b、c位置對稱，可知當2a+b+c取最小值時，b=c成立，此時

a(a+b+c)+bc=a2+2ab+b2

題2 (1989年蘇聯(lián)奧林匹克數(shù)學競賽題)若x、y、z∈R+,xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值.

解 由已知x、z對稱可得，當(x+y)(y+z)取最小值時，x=z,所以題設變?yōu)?/p>

1=xyz(x+y+z)=x2(2xy+y2)

(x+y)(y+z)=(x+y)2≥2，

解 由式子結構知，x1、x2位置對稱，當取得最小值時，x1=x2成立.

題4 若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的值域為[0,+),求的最小值.

也有文獻資料用“對稱原理”來編擬關于不等式的習題：在△ABC中，我們欲求sinA+sinB+sinC的最值.

反例2 設x、y∈R,x+y=2,求x+y的最值.

易知x+y的最大值、最小值均是2，但并不一定是在x=y時取到.

反例3 (《數(shù)學通報》2010年第4期數(shù)學問題1844)已知a、b、c為正實數(shù)，且a+b+c=12,ab+bc+ca=45,求abc的最大值.

答案 當且僅當a、b、c中有兩個取3，另一個取6時，abc取到最大值，且最大值是54(但此最大值并不是在a=b=c時取到).

反例7 設x、y∈R,x+y=20,求f(x,y)=xy(x4+y4)的最值.

下面再來研究反例7的一般情形：設x、y∈R,x+y=2λ(λ是正常數(shù))，求f(x,y)=xy(x4+y4)的最大值.

f(x,y)=g(t)=…=-2(t3+5λ2t2-5λ4t-λ6)(t≥0)，

反例8 (2016年高考江蘇卷第14題)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是______．

又三角形ABC為銳角三角形，得cosB>0,cosC>0，

所以tanB+tanC=2tanBtanC．

所以

再設t=tanBtanC-1(t>0),得

注 本題是關于B、C對稱的，但所求的最小值并不是在B=C時取到的.

下面再來給出文獻[1]中四道例題的正確解答.

題1的解答 由題設，可得

題2的解答 由題設，可得

當且僅當x,y∈R+,xz=y(x+y+z)=1時，(x+y)(y+z)取到最小值且最小值是2.

題4的解答 在原解答中已得題設即“a>0,c>0,ac=4”，所以a+c≥4.

1 高豐平.巧用對稱求最值[J].數(shù)理天地(高中版)，2013(3)：6

2 甘志國著.初等數(shù)學研究(II)下[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009：389-390

3 甘志國.也談一道三角題的解答[J].中學數(shù)學教學，2011(2)：41-42

2016-08-25)