混凝土碳化的數(shù)學模式及其應用

李 鵬

(西昌學院工程技術學院，西昌 615000)

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混凝土碳化的數(shù)學模式及其應用

李 鵬

(西昌學院工程技術學院，西昌 615000)

本文的主要目的在于建立混凝土碳化的數(shù)學模式，該模式為一維線性擴散方程式，此控制方程式描述二氧化碳濃度的瞬間變異與二氧化碳在混凝土中擴散關系，結合其初始條件與邊界條件，能更準確地預測二氧化碳在混凝土中的傳輸情況，使預測混凝土碳化結果更加可靠。

混凝土; 碳化; 線性; 擴散; 數(shù)學模式

1 引 言

就目前世界上各式營建工程而言，鋼筋混凝土是使用量最大最廣的一種材料，由于混凝土材料為耐久性材料，因而其與鋼筋構成的鋼筋混凝土構造常被認為是耐久性結構[1]。但鋼筋混凝土結構物如因本身品質不佳，或受不適的環(huán)境影響，勢必造成腐蝕介質的入侵，如二碳化物、硫化物、氯化物等等，導致混凝土強度下降、鋼筋腐蝕、產(chǎn)生裂縫，而降低結構物本身的承載力，進而使鋼筋混凝土結構物在使用年限上大大的縮短，影響結構的安全性及耐久性。

在我國地處高溫潮濕亞熱帶氣候地區(qū)，屬于容易發(fā)生腐蝕的環(huán)境。大氣中的二氧化碳會侵入混凝土或溶于孔隙水中，使混凝土產(chǎn)生碳化作用，進而加速腐蝕。因此對于混凝土的碳化問題，值得我們加以深入研究。

2 研究方法

本文假設二氧化碳的濃度是空間與時間的函數(shù)，而考慮其深度的瞬間變率同時與擴散、孔隙對流和化學反應等為一維線性擴散方程式，結合初始及邊界條件，采用二種方法求解析解，第一種方法是以變數(shù)分離法配合二次變數(shù)轉換法(或稱置換法)及利用其初始和邊界條件求得解析解。第二種方法是先采用一次置換法，再以Laplace轉換法，并利用卷積定理及其初始和邊界條件，Laplace逆轉換后求得解析解[2]。

3 分離變數(shù)法分析混凝土碳化的數(shù)學模型

3.1 混凝土碳化的理論模式

二氧化碳(CO2)穿透混凝土結構物的速率可以經(jīng)由數(shù)個傳輸?shù)倪^程來決定。在混凝土結構物中，這些過程通常同時包含著對流、擴散、傳播，零或一次的產(chǎn)物或腐蝕。有關這些因子的偏微分方程式的通式，僅就一維運輸過程來看，可以將其寫成

(1)

在此處C代表著二氧化碳的濃度，Ds是擴散系數(shù)，R是無因次的遲滯因子，v是孔隙水速度，KT是在一給定的溫度T時，一次衰退的速率常數(shù)，r是零次產(chǎn)物的速率常數(shù)，x是碳化的深度，t則是時間。

(1)式或是其他經(jīng)過適當簡化的式子，可以看到被廣泛的應用于混凝土工程。

描述混凝土碳化的一維傳輸現(xiàn)象的式子為(1)式。假設R=1而且r=0，(1)式將成為

(2)

初始和邊界條件為

C(x,0)=Ci

(3)

C(0,t)=Cs

(4)

C(L,t)=Cf

(5)

為了要解出(2)～(5)式，此一混凝土碳化問題模式，首先我們假設

C(x,t)=eαx+βtφ(x,t)

(6)

將(6)式代入(2)式后，(2)式將變?yōu)?/p>

(7)

為了將(7)式化為一維擴散方程式的標準式，等號右邊的第二項與第三項，他們的系數(shù)必須令其為零，即

2αDs-v=0

(8)

α2Ds-vα-KT-β=0

(9)

從(8)式，我們可得

(10)

將第(10)式代入第(9)式，我們可得

(11)

現(xiàn)在原先此一問題的式子(2)～(5)改變成如下的控制方程式及他的起始條件和邊界條件

(12)

φ(x,0)=Cie-αx

(13)

φ(0,t)=Cse-βt

(14)

φ(L,t)=Cfe-αL-βt

(15)

為了求出(12)～(15)式此一混凝土碳化問題的解，我們假設

φ(x,t)=Φ(x,t)+φ(x)

(16)

將(16)式代入(12)，(14)及(15)式后，可得到(16)

(17)

φ(0,t)=Φ(0,t)+φ(0)=Cse-βt

(18)

φ(L,t)=Φ(L,t)+φ(L)=Cfe-αL-βt

(19)

我們選擇φ(x)為此一問題的解

φ''(x)=0;φ(x)=Cse-βt,φ(L)=Cfe-αL-βt

(20)

將φ''(x)=0積分兩次，我們可以得到

φ(x)=Ax+B

(21)

將(20)式的邊界條件代入(21)式中，我們可得

因此，將會得到

(22)

經(jīng)由此一φ(x)的選擇，Φ(x,t)的起始和邊界值問題將被表成

(23)

Φ(0,t)=0

(24)

Φ(L,t)=0

(25)

Φ(x,0)=φ(x,0)-φ(0)=Cse-αx-φ(x)=f(x)

(26)

為了解出(23)～(26)式，此一混凝土碳化問題模式，我們使用分離變數(shù)法來求解

Φ(x,t)=X(x)T(t)

(27)

φ(x,t)=

(28)

最后，將(45)式代入(6)式，我們可以得到當初原始問題的解答

C(x,t)=

(29)

以上可計算碳化深度和時間的關系。其影響系數(shù)，是依據(jù)混凝土的質量及環(huán)境因子所決定，環(huán)境因子包括擴散系數(shù)、二氧化碳的濃度、溫度及相對濕度。

3.2 小 結

此一維擴散方程式可以結合置換法和分離變數(shù)法求出解析[3]。將此一傳輸現(xiàn)象看做是混凝土建筑物碳化的過程，這一個新的數(shù)學模式可以比目前單純使用菲克第一定律更加精確的描述其溶解運輸?shù)倪^程。對于一個不是很規(guī)律的擴散系統(tǒng)，其CO2濃度、擴散及化學反應、孔隙水速度等等參數(shù)皆是可變的，則此一新的模式更能適切的表達出來。我們可以利用二氧化碳濃度-碳化深度-時間的關系來描述混凝土建筑物中碳化的現(xiàn)象，式中擴散系數(shù)、孔隙水速率、化學反應速率、保護層厚度和二氧化碳濃度已經(jīng)被決定。

4 Laplace轉換法分析混凝土碳化的數(shù)學模型

4.1 混凝土碳化的數(shù)學模型

考慮混凝土碳化的一維線性傳輸現(xiàn)象的控制方程式[4]

(1)

他的初始和邊界條件為

C(x,0)=Ci

(2)

C(0,t)=Cs

(3)

C(L,t)=Cf

(4)

為了要解出以(1)至(4)式所做的混凝土碳化問題，首先我們假設

C(x,t)=eαx+βtφ(x,t)

(5)

將(5)式代入(1)式后，(1)式將變?yōu)?/p>

(6)

為了將(6)式化為一維擴散方程的標準式，等號右邊的第二項與第三項，他們的系數(shù)必須令其為零，即原始問題的解析解

(7)

4.2 小 結

混凝土碳化問題是一種鋼筋混凝土建筑物的化學污染現(xiàn)象[5]。在本文中表達了一個混凝土中二氧化碳輸送的觀念，一種溶解傳輸?shù)倪^程。這個一維擴散方程式，可以利用Laplace轉換法結合變數(shù)代換而求出他的解析解。就混凝土碳化過程中二氧化碳傳輸?shù)默F(xiàn)象來看，本章中所提出的數(shù)學模式比起目前單單只使用菲克第一定律求解來的精準，也比上一章使用分離變數(shù)法所得結果符合真實狀況。

5 結 論

影響鋼筋混凝土腐蝕行為的變數(shù)相當之多，諸如二氧化碳的碳化、氯離子的入侵、硫酸鹽的侵蝕等等。碳化會破壞鋼筋鈍化膜使鋼筋銹蝕，嚴重影響到結構物的耐久性。依據(jù)本研究結果，可得到以下幾點結論：

(1)本文所采用的一維線性擴散方程式，除了考慮到擴散系數(shù)外，尚考慮到孔隙水對流效應、化學反應等等的關連性;

(2)在本研究中此一維線性擴散方程式，可利用分離變數(shù)法與Laplace轉換法求解。然而，經(jīng)由這兩種方法所求得的數(shù)值結果卻有所差異。這是因為在分離變數(shù)法中鋼筋與混凝土接觸面的濃度已被固定，而Laplace轉換法中鋼筋表面的濃度卻是隨著時間而改變。

[1] 金祖權,孫 偉.荷載作用下混凝土的碳化深度[J].建筑材料學報,2005,(02)：8-9.

[2] 徐子芳.粉煤灰混凝土的碳化性能[J].粉煤灰綜合利用,2005,(02)：9-11.

[3] 李 果,袁迎曙,耿 歐.氣候條件對混凝土碳化速度的影響[J].混凝土,2004,(11)：10-13.

[4] 蔣利學,張 譽.混凝土部分碳化區(qū)長度的分析與計算[J].工業(yè)建筑,1999,(01)：14-15.

[5]DuraC.GeneralGuidelinesforDurabilityDesignandRedesign[R].Bruxelles:DuraCrete,2000：16-18.

Mathematical Model and Its Application of Concrete Carbonation

LIPeng

(School of Engineering Science of Xichang College,Xichang 615000,China)

The main purpose of this paper is to establish the mathematical model of concrete carbonation, the model for one-dimensional linear diffusion equation, the control equation describing the concentration of carbon dioxide instantaneous variation relationship with the carbon diffusion in the concrete, combined with its initial conditions and boundary conditions, modifications can more accurately predict carbon dioxide corrosion in concrete, concrete carbonation, forecasting results more reliable.

concrete;carbonation;linear;diffusion;mathematical model

李 鵬(1982-)，男，碩士研究生,講師.主要從事土建及水利方面的研究.

TU528.041

A

1001-1625(2016)12-4118-04