帶未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)自適應(yīng)同步控制

李　雄， 李生剛*， 劉　恒,2， 王曉辰

(1 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119;

2 淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系, 安徽 淮南 232038;

3 西安外國語大學(xué) 商學(xué)院， 陜西 西安 710128)

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帶未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)自適應(yīng)同步控制

李雄1， 李生剛1*， 劉恒1,2， 王曉辰3

(1 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119;

2 淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系, 安徽 淮南 232038;

3 西安外國語大學(xué) 商學(xué)院， 陜西 西安 710128)

摘要：研究了一類帶未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)?；诜謹?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論構(gòu)造控制器以及分數(shù)階的參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則，以分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)為例實現(xiàn)了同步控制。在分數(shù)階超混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中利用平方Lyapunov函數(shù)，提出一個針對含時變系數(shù)矩陣的非線性分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性判定方法，數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所提控制方法的可行性。

關(guān)鍵詞:分數(shù)階超混沌系統(tǒng)；自適應(yīng)律；同步控制

分數(shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎有相同長的歷史。但是,由于缺乏實際的應(yīng)用背景及其理論的復(fù)雜性, 其理論研究發(fā)展相對緩慢[1-3]。隨著相關(guān)理論的發(fā)展，分數(shù)階穩(wěn)定理論不僅為很多實際系統(tǒng)提供了新的數(shù)學(xué)工具, 還主要用來描述一些特殊物理系統(tǒng)的動力學(xué)行為。在有關(guān)物理和化學(xué)的復(fù)雜系統(tǒng)中，例如光譜分析、漫射、電介質(zhì)等, 許多專家學(xué)者和工程師已經(jīng)開始應(yīng)用分數(shù)階微積分來分析解決問題[4-7]。研究發(fā)現(xiàn)，在一些復(fù)雜的非線性動態(tài)系統(tǒng)中, 采用分數(shù)階微積分建立的數(shù)學(xué)模型比用整數(shù)階建立的數(shù)學(xué)模型更加精確[8-13]。

隨著研究的不斷深入，帶未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問題受到了很多學(xué)者的關(guān)注，文獻[14]利用胡建兵等提出的分數(shù)階混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，研究了參數(shù)未知的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步。文獻[15]主要以自治系統(tǒng)為研究對象，研究了線性與非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)廣義同步。文獻[16]研究了基于線性分離的自治混沌系統(tǒng)的投影同步。此類文獻具有一定的可應(yīng)用性，但是在圍繞系統(tǒng)不確定參數(shù)給出的自適應(yīng)同步控制方法的同時，并未考慮外部環(huán)境因素對混沌系統(tǒng)某些參數(shù)的變動，而這些變動可以造成實際混沌系統(tǒng)與預(yù)想設(shè)計混沌系統(tǒng)的不一致，控制器魯棒性不強，難以發(fā)揮其應(yīng)用價值[17-18]。針對該問題，本文在研究帶未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步控制問題時，對超混沌系統(tǒng)的一些關(guān)鍵參數(shù)進行辨識，并給出了自適應(yīng)律。

在整數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中主要利用平方Lyapunov函數(shù)。文獻[2]提出了分數(shù)階系統(tǒng)的Lyapunov第二方法, 該方法給分數(shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析帶來了方便，這也使得分數(shù)階非線性系統(tǒng)的控制及穩(wěn)定性分析逐漸成為研究熱點。但是正如文獻[7-8]所指, 由于平方Lyapunov函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有非常復(fù)雜的形式, 在分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中使用平方Lyapunov函數(shù)是相當(dāng)困難的, 所以很少有文獻成功地運用自適應(yīng)控制實現(xiàn)分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制或同步。本文主要研究參數(shù)未知情況下超混沌系統(tǒng)同步問題，對估計參數(shù)設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)律，實現(xiàn)分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)同步，給出能讓閉環(huán)系統(tǒng)都有界的分數(shù)階自適應(yīng)律；在穩(wěn)定分析中成功應(yīng)用平方Lyapunov函數(shù)，并嚴(yán)格證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性；針對帶有時變系數(shù)矩陣的分數(shù)階非線性系統(tǒng)，提出一個可判定穩(wěn)定性的推論，方便對該類系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析。

1分數(shù)階微積分相關(guān)理論

分數(shù)階微積分有多種定義，最常用的有以下3種：Grunwald-Letnikov、Riemann-Liouville (R-L)、Caputo。本文采用Caputo的定義,因為Caputo定義中系統(tǒng)的初值和整數(shù)階系統(tǒng)的一樣, 具有較好的物理意義。Caputo分數(shù)階微分定義為

(1)

其中，n-1<α

當(dāng)0<α<1時，Caputo分數(shù)階微分的解等價于

(2)

引理1設(shè)x(t)∈Rn且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則

(4)

其中P為任意的n階正定矩陣。

(5)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)變量，f(t,x(t))為滿足局部Lipschitz條件的非線性函數(shù)。若存在Lyapunov函數(shù)V(t,x(t))和K類函數(shù)αi(i=1,2,3)使得

則系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定。

(6)

其中，0<α<1,A為系數(shù)矩陣。若存在實對稱正定矩陣P，使得

xT(t)Px(t)=0

(7)

成立，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下:

xT(t)Px(t)≤0;

注1推論中分數(shù)階系統(tǒng)方程系數(shù)矩陣A可以是常數(shù)矩陣也可以是含有變量x的時變矩陣A(t)，這也是對文獻[14]的推廣。

2穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計

2.1問題描述

(8)

(9)

其中，x(t)、y(t)∈Rn,f、g:Rn→Rn為連續(xù)可微的非線性函數(shù)，u(t,x,y)為系統(tǒng)的控制輸入。

2.2自適應(yīng)同步控制及穩(wěn)定性分析

考慮分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)

(10)

當(dāng)a1=35,b1=3,c1=12,d1=7,r1=0.5,α=0.95時，此系統(tǒng)是超混沌的[19](如圖1)。

圖1　分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)圖

受控分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)

(11)

不加入控制變量ui(i=1,2,3,4)時，當(dāng)a2=10,b2=8/3,c2=28,r2=-1,α=0.95時，此系統(tǒng)是超混沌的(如圖2)。

圖2　分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)圖

將(10)式減去(11)式得到同步誤差系統(tǒng)方程

(12)

根據(jù)以上討論可設(shè)計控制器u(t)為

(13)

-e4y4)T。

(14)

定理1在給定初始條件下，在自適應(yīng)控制器(13)、分數(shù)階自適應(yīng)規(guī)則(14)的作用下，可實現(xiàn)超混沌系統(tǒng)(10)和(11)同步，即誤差系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定。

(15)

(16)

對(12)式兩邊同時左乘eT，然后把(13)式和(14)式代入(12)式，經(jīng)過一些簡單的推導(dǎo)可以得到

(17)

3數(shù)值仿真

為驗證本文研究方法的有效性，現(xiàn)對所做結(jié)果進行數(shù)值模擬。選取分數(shù)階階次α=0.95，時間步長h=0.01，系統(tǒng)(1)參數(shù)選取a1=35,b1=3,c1=12,d1=7,r1=0.5。系統(tǒng)(2)參數(shù)選取a2=10,b2=8/3,c2=28,r2=-1。任意選取狀態(tài)初始值:

x(0)=[0.21-0.150.321]T;

y(0)=[2.131.132.341.51]T;

控制增益G=[3333]T仿真，結(jié)果見圖3、圖4所示?？梢钥闯?，按照本文所提出的方法實施控制，可以使誤差系統(tǒng)很快地達到穩(wěn)定狀態(tài)，從而使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達到同步。

圖3　同步誤差曲線圖

圖4　控制輸入曲線圖

4結(jié)論

基于分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計自適應(yīng)同步控制器和分數(shù)階參數(shù)自適應(yīng)律，實現(xiàn)了帶未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步。成功地利用平方Lyapunov函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以異結(jié)構(gòu)具有時變結(jié)構(gòu)參數(shù)和隨機初值的分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)為例，設(shè)計了主動控制器和參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則，該方法新穎簡單有效，并且很好地解決了參數(shù)攝動問題，具有良好的魯棒性能。數(shù)值仿真進一步驗證了本文所提方法的有效性。

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

Adaptive synchronization control of the fractional order hyper

chaotic systems with unknown parameters

LI Xiong1, LI Shenggang1*, LIU Heng1,2， WANG Xiaochen3

(1 School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,

Xi′an 710119， Shaanxi, China；

2 College of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University,

Huainan 232038， Anhui, China；

3 School of Business, Xi′an International Studies University, Xi′an 710128, Shaanxi, China)

Abstract:Synchronization for a class of fractional order hyper chaotic systems with unknown parameters is studied. Based on the stability theory of fractional order systems and by using the quadratic Lyapunov function, the synchronization controller and recognizing rules are designed for synchronizing the fractional order hyper chaotic Chen system and fractional order hyper chaotic Lorenz system. The final results of the numerical simulation shows that the control method proposed in this paper is feasible.

Keywords:fractional order hyper chaotic system; adaptive law; synchronization control MR subject classification: 93C10

中圖分類號：O231.2

文獻標(biāo)志碼：A