三諧振彈性波超材料的帶隙研究

楊厚祿， 王公正， 莫潤陽， 宿貴梅， 胡　靜

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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三諧振彈性波超材料的帶隙研究

楊厚祿， 王公正*， 莫潤陽， 宿貴梅， 胡靜

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

摘要：基于集中參數(shù)模型動力學(xué)法，研究了具有三諧振系統(tǒng)彈性波超材料能帶結(jié)構(gòu)、數(shù)值模擬參數(shù)對有效質(zhì)量及能帶結(jié)構(gòu)的影響。理論及仿真研究表明，有效質(zhì)量具有頻率依賴性，在3個頻率位置處的有效質(zhì)量為負(fù)值，頻率位置和帶寬可由模型參數(shù)調(diào)節(jié)；材料存在3個帶隙，增加內(nèi)部諧振子彈性系數(shù)可將帶隙向高頻移動，同時有拓寬帶隙作用。通過增加諧振子質(zhì)量可使帶隙向低頻移動，選擇適當(dāng)參量可設(shè)計低頻寬帶彈性波超材料。

關(guān)鍵詞:彈性波；超材料；負(fù)有效質(zhì)量；帶隙

PACS: 43.38.+n

超材料(Metamaterials)指具有自然界材料所不具備特殊屬性的人造微結(jié)構(gòu)復(fù)合材料，最初被發(fā)現(xiàn)和用于調(diào)制電磁波[1-4]。由于具有負(fù)有效參數(shù)特性(如負(fù)磁導(dǎo)率、負(fù)介電常數(shù)等)，超材料可表現(xiàn)一些新奇現(xiàn)象，如負(fù)折射率、反常多普勒效應(yīng)、左手現(xiàn)象等。典型超材料光子(聲子)晶體是一種新型復(fù)合結(jié)構(gòu)[5-6]，其介電常數(shù)(彈性常數(shù))隨空間周期性變化。當(dāng)電磁波與周期排列的介電材料相互作用時受到調(diào)制形成帶隙，使一定頻率范圍的電磁波無法傳播。由于電磁波在光子晶體中傳播與彈性波(如聲波)在聲子晶體中傳播有相似之處，彈性波超材料在聲學(xué)等領(lǐng)域受到關(guān)注[7-22]，實(shí)際應(yīng)用有聲濾波器、聲波導(dǎo)管、噪聲與振動控制等方面[7-13]。

彈性波超材料結(jié)構(gòu)尺度屬于亞波長尺度范圍，材料結(jié)構(gòu)尺寸遠(yuǎn)小于其對應(yīng)的工作波長，波對材料的結(jié)構(gòu)特征無法感知，因此可近似看成均勻介質(zhì)并用有效參數(shù)描述，如有效質(zhì)量密度、有效模量等[14-18]。最近，不同微結(jié)構(gòu)彈性波超材料被設(shè)計出以實(shí)現(xiàn)負(fù)有效參數(shù)，Wang實(shí)現(xiàn)了有效彈性模量和有效質(zhì)量的獨(dú)立控制[17]，Huang設(shè)計了含內(nèi)質(zhì)量單元的晶格系統(tǒng)[18]，Liu研究了單負(fù)屬性的寬帶彈性波超材料[19]，此材料只有兩個阻帶，其中第二個阻帶理論上無限寬，第一個阻帶的起始頻在5 000 Hz以上。

現(xiàn)有的超材料對低頻波的處理(如水下低頻波吸收，空氣中小于400 Hz噪音處理等)有困難，并且在某些彈性波器件的應(yīng)用中可能需要多帶隙彈性波超材料。為了得到能帶結(jié)構(gòu)豐富的低頻寬帶彈性波超材料，本文設(shè)計了三諧振系統(tǒng)，利用集中參數(shù)模型動力學(xué)分析方法展示了有效質(zhì)量的頻率依賴性；用有效質(zhì)量代替原子質(zhì)量，用線性彈簧代替原子間的恢復(fù)力常量，將固體理論[23]中一維單原子鏈模型轉(zhuǎn)換成周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)，數(shù)值模擬了彈性波在系統(tǒng)中的傳播，通過調(diào)節(jié)參數(shù)對帶隙進(jìn)行設(shè)計，使能帶結(jié)構(gòu)更加豐富。

1模型及計算理論

1.1三諧振質(zhì)量-彈簧模型及有效質(zhì)量

設(shè)計了一個三諧振質(zhì)量-彈簧微結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示，由三組彈簧三層質(zhì)量殼和一個中心質(zhì)量球組成。中心質(zhì)量球的質(zhì)量為m1，與其相鄰由內(nèi)而外殼層質(zhì)量分別為m2、m3和m4，彈性系數(shù)分別為k1、k2和k3的線性彈簧把它們依次連接成三諧振系統(tǒng)。設(shè)中心諧振子及由內(nèi)而外相鄰各質(zhì)量殼的位移分別為u1、u2、u3、u4，則系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

設(shè)外部簡諧激勵和系統(tǒng)響應(yīng)位移分別為:

F(t)=F0e-iωt,

(2)

(3)

(4)

根據(jù)牛頓第二定律定義有效質(zhì)量meff，由(4)式得

(5)

則三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量為

圖1　三諧振質(zhì)量-彈簧微結(jié)構(gòu)系統(tǒng)及其有效質(zhì)量

(6)

(7)

則歸一化有效質(zhì)量為

(8)

1.2無限周期晶格系統(tǒng)能帶計算理論

圖2　無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)

根據(jù)Bloch定理，在周期邊界條件下第j+n個格點(diǎn)的振動位移有以下形式

(13)

將(13)式分別帶入(9)—(12)式可得

(14)

要使以上方程有非零解，則系數(shù)行列式必為零，即

(15)

由(15)式可得頻率ω對波矢qd的變化，即無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。

2結(jié)果與討論

2.1參數(shù)對有效質(zhì)量的影響

根據(jù)(8)式，圖3給出三諧振系統(tǒng)各參數(shù)(θ4、θ2、θ3、δ3、δ2)對有效質(zhì)量的影響，在討論某個參數(shù)(如θ4)對有效質(zhì)量影響時，其他參數(shù)(如θ2、θ3、δ3、δ2)取1。參數(shù)θ4的影響如圖3a所示，可以看到負(fù)有效質(zhì)量出現(xiàn)，其起始頻分別在ωn為0.44、1.23和1.81處，θ4的取值幾乎不影響負(fù)有效質(zhì)量出現(xiàn)的位置。隨著θ4增加(如θ4=6)，前兩個負(fù)有效質(zhì)量頻帶合并，組成了一個寬帶(ωn從0.44到1.25)。

圖3不同參數(shù)值對三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量的影響

Fig.3The impacts for effective mass of three-resonant system by different parameters

圖3b展示θ2對有效質(zhì)量的影響，θ2分別取1、2、6時對應(yīng)的第一個負(fù)有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.44、0.49和0.51，所以隨θ2增加，負(fù)有效質(zhì)量頻帶向高頻域移動。值得注意的是，θ2增加到一定值時(如圖中θ2=6時)，第3個負(fù)有效質(zhì)量頻帶有延伸至第2個負(fù)有效質(zhì)量頻帶的趨勢，這種趨勢將導(dǎo)致一個超寬帶的出現(xiàn)(從1.25到3.6左右)。

圖3c展示θ3對有效質(zhì)量的影響，θ3分別取1、2、6時對應(yīng)的第一個負(fù)有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.44、0.45和0.46，截止頻分別為1、0.77和0.71，所以增加θ3負(fù)有效質(zhì)量頻帶向高頻域移動而帶寬變窄。

圖3d展示δ3對有效質(zhì)量的影響，值得注意的是δ3極大拓展了負(fù)有效質(zhì)量出現(xiàn)的頻域范圍(ωn從0.265到7.08)，δ3分別取0.2、2、4時對應(yīng)的第一個負(fù)有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.57、0.34和0.26，截止頻分別為1、0.71和0.56，可見增加δ3負(fù)有效質(zhì)量頻帶向低頻移動而帶寬變窄，但在各自的第三個負(fù)有效質(zhì)量頻帶這種變化相反。

圖3e給出了δ2對有效質(zhì)量的影響，δ2分別取0.2、2、4時對應(yīng)的第一個負(fù)有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.51、0.38和0.31，截止頻分別為1.29、0.74和0.54，即增加δ2負(fù)有效質(zhì)量頻帶向低頻移動而帶寬變窄。

2.2參數(shù)對帶隙的影響

由(15)式可得無限周期晶格系統(tǒng)中存在波模對應(yīng)的角頻率與波矢(在第一布里淵區(qū)取值)關(guān)系。參數(shù)k1對帶隙的影響如圖4所示，其中數(shù)值仿真參數(shù)分別取m1=m2=m3=m4=1 kg，k2=1×106N/m，k3=1×106N/m，k4=1×106N/m，k1的不同值分別取為0.5×106、1×106、3×106N/m。由文獻(xiàn)[23]可知,圖中最低的一條曲線對應(yīng)的波模式稱為聲學(xué)波，其他三條為光學(xué)波?？梢娋哂腥C振單元的質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)有3個帶隙，當(dāng)k1=0.5×106N/m時，如圖4a所示，帶隙分別為397~670、956~1 194、1 613~1 768 rad/s。當(dāng)k1=1×106N/m時，如圖4b所示，帶隙分別為416~765、1 183~1 414、1 759~1 848 rad/s。當(dāng)k1=3×106N/m時，如圖4c所示，帶隙分別為428~824、1 362~1 627、2 297~2 583 rad/s?？梢娫黾觡1可將帶隙向高頻移動，同時有一定拓寬帶隙作用。

圖4　不同k1值對帶隙的影響

參數(shù)m1對帶隙的影響如圖5所示，其中數(shù)值仿真參數(shù)分別取m2=m3=m4=1 kg，k1=k2=k3=k4=1×106N/m。當(dāng)m1=0.1 kg時，如圖5a所示，帶隙分別為479~868、1 339~1 564、1 908~1 950 rad/s。當(dāng)m1=1 kg時，如圖5b所示，帶隙分別為416~765、1 183~1 414、1 759~1 848 rad/s，當(dāng)m1=10 kg時，如圖5c所示，帶隙分別為170~501、960~1 261、1 679~1 805 rad/s?？梢?，增加m1不僅可以調(diào)節(jié)禁帶帶寬，且可以將禁帶向低頻區(qū)域移動。工程技術(shù)中對低頻彈性波的處理(如水下低頻波吸收，空氣中小于400 Hz噪音處理，精密儀器平臺隔振等)比較困難，此問題的解決可以通過參數(shù)對帶隙進(jìn)行調(diào)控，進(jìn)而設(shè)計出低頻寬帶彈性波超材料。

圖5　不同m1值對帶隙的影響

3結(jié)論

本文設(shè)計了三諧振質(zhì)量-彈簧微結(jié)構(gòu)，將微結(jié)構(gòu)用彈性系數(shù)相等的線性彈簧鏈接，構(gòu)成了一維無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)，此系統(tǒng)相當(dāng)于一種新型彈性波超材料。數(shù)值模擬了三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量和無限周期質(zhì)量-彈簧晶格中彈性波傳播情況。得出：

(1) 三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量具有頻率依賴性，且3個頻率位置處有效質(zhì)量為負(fù)值，其位置和帶寬可由5個模型參數(shù)調(diào)節(jié)。

(2) 無限周期質(zhì)量-彈簧結(jié)構(gòu)相當(dāng)于一維聲子晶體結(jié)構(gòu)，相比單原子鏈模型其能帶結(jié)構(gòu)更加豐富，材料存在3個帶隙。

(3) 超材料禁帶可調(diào)，增加內(nèi)部諧振子彈性系數(shù)可將帶隙向高頻移動同時有拓寬帶隙作用，其質(zhì)量增加可使帶隙向低頻移動，材料尺寸、彈性波傳播波速不影響帶隙頻率，選擇適當(dāng)參數(shù)可設(shè)計低頻寬帶彈性波超材料。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

第一作者： 張楠，女，碩士研究生，研究方向為統(tǒng)計物理學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)。E-mail:zhangnansnnu@163.com

Study on band gaps in elastic wave metamaterials with three-resonators

YANG Houlu, WANG Gongzheng*， MO Runyang， SU Guimei， HU Jing

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,

Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:The lumped element model is present to study the band gaps of elastic wave metamaterials with three resonators.The effects of parameters on band structure and effective mass are discussed numerically. The results show that the effective mass tightly depends on frequency.The negative effective mass can be found at three positions on frequency domain.The metamaterial have three band gaps and the larger spring constant can broaden band gaps and shift band gaps to higher frequency domain.As increasing the resonator′s mass band gaps can be shifted to the low frequency domain.The metamaterial with low frequency and broad band can be desigened by property parameters.

Keywords:elastic wave；metamaterials; negative effective mass; band gap

通信作者：* 金濤，男，副教授。E-mail:jintao@snnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11147020)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金(GK201102028)

收稿日期：2015-07-09

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.01.213

文章編號：1672-4291(2016)01-0034-05

中圖分類號:O421

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A