三諧振彈性波超材料的帶隙研究

楊厚祿， 王公正， 莫潤陽， 宿貴梅， 胡　靜

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院， 陜西 西安 710119)

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三諧振彈性波超材料的帶隙研究

楊厚祿， 王公正*， 莫潤陽， 宿貴梅， 胡靜

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院， 陜西 西安 710119)

摘要：基于集中參數(shù)模型動力學法，研究了具有三諧振系統(tǒng)彈性波超材料能帶結構、數(shù)值模擬參數(shù)對有效質(zhì)量及能帶結構的影響。理論及仿真研究表明，有效質(zhì)量具有頻率依賴性，在3個頻率位置處的有效質(zhì)量為負值，頻率位置和帶寬可由模型參數(shù)調(diào)節(jié)；材料存在3個帶隙，增加內(nèi)部諧振子彈性系數(shù)可將帶隙向高頻移動，同時有拓寬帶隙作用。通過增加諧振子質(zhì)量可使帶隙向低頻移動，選擇適當參量可設計低頻寬帶彈性波超材料。

關鍵詞:彈性波；超材料；負有效質(zhì)量；帶隙

PACS: 43.38.+n

超材料(Metamaterials)指具有自然界材料所不具備特殊屬性的人造微結構復合材料，最初被發(fā)現(xiàn)和用于調(diào)制電磁波[1-4]。由于具有負有效參數(shù)特性(如負磁導率、負介電常數(shù)等)，超材料可表現(xiàn)一些新奇現(xiàn)象，如負折射率、反常多普勒效應、左手現(xiàn)象等。典型超材料光子(聲子)晶體是一種新型復合結構[5-6]，其介電常數(shù)(彈性常數(shù))隨空間周期性變化。當電磁波與周期排列的介電材料相互作用時受到調(diào)制形成帶隙，使一定頻率范圍的電磁波無法傳播。由于電磁波在光子晶體中傳播與彈性波(如聲波)在聲子晶體中傳播有相似之處，彈性波超材料在聲學等領域受到關注[7-22]，實際應用有聲濾波器、聲波導管、噪聲與振動控制等方面[7-13]。

彈性波超材料結構尺度屬于亞波長尺度范圍，材料結構尺寸遠小于其對應的工作波長，波對材料的結構特征無法感知，因此可近似看成均勻介質(zhì)并用有效參數(shù)描述，如有效質(zhì)量密度、有效模量等[14-18]。最近，不同微結構彈性波超材料被設計出以實現(xiàn)負有效參數(shù)，Wang實現(xiàn)了有效彈性模量和有效質(zhì)量的獨立控制[17]，Huang設計了含內(nèi)質(zhì)量單元的晶格系統(tǒng)[18]，Liu研究了單負屬性的寬帶彈性波超材料[19]，此材料只有兩個阻帶，其中第二個阻帶理論上無限寬，第一個阻帶的起始頻在5 000 Hz以上。

現(xiàn)有的超材料對低頻波的處理(如水下低頻波吸收，空氣中小于400 Hz噪音處理等)有困難，并且在某些彈性波器件的應用中可能需要多帶隙彈性波超材料。為了得到能帶結構豐富的低頻寬帶彈性波超材料，本文設計了三諧振系統(tǒng)，利用集中參數(shù)模型動力學分析方法展示了有效質(zhì)量的頻率依賴性；用有效質(zhì)量代替原子質(zhì)量，用線性彈簧代替原子間的恢復力常量，將固體理論[23]中一維單原子鏈模型轉(zhuǎn)換成周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)，數(shù)值模擬了彈性波在系統(tǒng)中的傳播，通過調(diào)節(jié)參數(shù)對帶隙進行設計，使能帶結構更加豐富。

1模型及計算理論

1.1三諧振質(zhì)量-彈簧模型及有效質(zhì)量

設計了一個三諧振質(zhì)量-彈簧微結構模型，如圖1所示，由三組彈簧三層質(zhì)量殼和一個中心質(zhì)量球組成。中心質(zhì)量球的質(zhì)量為m1，與其相鄰由內(nèi)而外殼層質(zhì)量分別為m2、m3和m4，彈性系數(shù)分別為k1、k2和k3的線性彈簧把它們依次連接成三諧振系統(tǒng)。設中心諧振子及由內(nèi)而外相鄰各質(zhì)量殼的位移分別為u1、u2、u3、u4，則系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

設外部簡諧激勵和系統(tǒng)響應位移分別為:

F(t)=F0e-iωt,

(2)

(3)

(4)

根據(jù)牛頓第二定律定義有效質(zhì)量meff，由(4)式得

(5)

則三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量為

圖1　三諧振質(zhì)量-彈簧微結構系統(tǒng)及其有效質(zhì)量

(6)

(7)

則歸一化有效質(zhì)量為

(8)

1.2無限周期晶格系統(tǒng)能帶計算理論

圖2　無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)

根據(jù)Bloch定理，在周期邊界條件下第j+n個格點的振動位移有以下形式

(13)

將(13)式分別帶入(9)—(12)式可得

(14)

要使以上方程有非零解，則系數(shù)行列式必為零，即

(15)

由(15)式可得頻率ω對波矢qd的變化，即無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)的能帶結構。

2結果與討論

2.1參數(shù)對有效質(zhì)量的影響

根據(jù)(8)式，圖3給出三諧振系統(tǒng)各參數(shù)(θ4、θ2、θ3、δ3、δ2)對有效質(zhì)量的影響，在討論某個參數(shù)(如θ4)對有效質(zhì)量影響時，其他參數(shù)(如θ2、θ3、δ3、δ2)取1。參數(shù)θ4的影響如圖3a所示，可以看到負有效質(zhì)量出現(xiàn)，其起始頻分別在ωn為0.44、1.23和1.81處，θ4的取值幾乎不影響負有效質(zhì)量出現(xiàn)的位置。隨著θ4增加(如θ4=6)，前兩個負有效質(zhì)量頻帶合并，組成了一個寬帶(ωn從0.44到1.25)。

圖3不同參數(shù)值對三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量的影響

Fig.3The impacts for effective mass of three-resonant system by different parameters

圖3b展示θ2對有效質(zhì)量的影響，θ2分別取1、2、6時對應的第一個負有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.44、0.49和0.51，所以隨θ2增加，負有效質(zhì)量頻帶向高頻域移動。值得注意的是，θ2增加到一定值時(如圖中θ2=6時)，第3個負有效質(zhì)量頻帶有延伸至第2個負有效質(zhì)量頻帶的趨勢，這種趨勢將導致一個超寬帶的出現(xiàn)(從1.25到3.6左右)。

圖3c展示θ3對有效質(zhì)量的影響，θ3分別取1、2、6時對應的第一個負有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.44、0.45和0.46，截止頻分別為1、0.77和0.71，所以增加θ3負有效質(zhì)量頻帶向高頻域移動而帶寬變窄。

圖3d展示δ3對有效質(zhì)量的影響，值得注意的是δ3極大拓展了負有效質(zhì)量出現(xiàn)的頻域范圍(ωn從0.265到7.08)，δ3分別取0.2、2、4時對應的第一個負有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.57、0.34和0.26，截止頻分別為1、0.71和0.56，可見增加δ3負有效質(zhì)量頻帶向低頻移動而帶寬變窄，但在各自的第三個負有效質(zhì)量頻帶這種變化相反。

圖3e給出了δ2對有效質(zhì)量的影響，δ2分別取0.2、2、4時對應的第一個負有效質(zhì)量頻帶的起始頻分別為0.51、0.38和0.31，截止頻分別為1.29、0.74和0.54，即增加δ2負有效質(zhì)量頻帶向低頻移動而帶寬變窄。

2.2參數(shù)對帶隙的影響

由(15)式可得無限周期晶格系統(tǒng)中存在波模對應的角頻率與波矢(在第一布里淵區(qū)取值)關系。參數(shù)k1對帶隙的影響如圖4所示，其中數(shù)值仿真參數(shù)分別取m1=m2=m3=m4=1 kg，k2=1×106N/m，k3=1×106N/m，k4=1×106N/m，k1的不同值分別取為0.5×106、1×106、3×106N/m。由文獻[23]可知,圖中最低的一條曲線對應的波模式稱為聲學波，其他三條為光學波?？梢娋哂腥C振單元的質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)有3個帶隙，當k1=0.5×106N/m時，如圖4a所示，帶隙分別為397~670、956~1 194、1 613~1 768 rad/s。當k1=1×106N/m時，如圖4b所示，帶隙分別為416~765、1 183~1 414、1 759~1 848 rad/s。當k1=3×106N/m時，如圖4c所示，帶隙分別為428~824、1 362~1 627、2 297~2 583 rad/s。可見增加k1可將帶隙向高頻移動，同時有一定拓寬帶隙作用。

圖4　不同k1值對帶隙的影響

參數(shù)m1對帶隙的影響如圖5所示，其中數(shù)值仿真參數(shù)分別取m2=m3=m4=1 kg，k1=k2=k3=k4=1×106N/m。當m1=0.1 kg時，如圖5a所示，帶隙分別為479~868、1 339~1 564、1 908~1 950 rad/s。當m1=1 kg時，如圖5b所示，帶隙分別為416~765、1 183~1 414、1 759~1 848 rad/s，當m1=10 kg時，如圖5c所示，帶隙分別為170~501、960~1 261、1 679~1 805 rad/s?？梢姡黾觤1不僅可以調(diào)節(jié)禁帶帶寬，且可以將禁帶向低頻區(qū)域移動。工程技術中對低頻彈性波的處理(如水下低頻波吸收，空氣中小于400 Hz噪音處理，精密儀器平臺隔振等)比較困難，此問題的解決可以通過參數(shù)對帶隙進行調(diào)控，進而設計出低頻寬帶彈性波超材料。

圖5　不同m1值對帶隙的影響

3結論

本文設計了三諧振質(zhì)量-彈簧微結構，將微結構用彈性系數(shù)相等的線性彈簧鏈接，構成了一維無限周期質(zhì)量-彈簧晶格系統(tǒng)，此系統(tǒng)相當于一種新型彈性波超材料。數(shù)值模擬了三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量和無限周期質(zhì)量-彈簧晶格中彈性波傳播情況。得出：

(1) 三諧振系統(tǒng)有效質(zhì)量具有頻率依賴性，且3個頻率位置處有效質(zhì)量為負值，其位置和帶寬可由5個模型參數(shù)調(diào)節(jié)。

(2) 無限周期質(zhì)量-彈簧結構相當于一維聲子晶體結構，相比單原子鏈模型其能帶結構更加豐富，材料存在3個帶隙。

(3) 超材料禁帶可調(diào)，增加內(nèi)部諧振子彈性系數(shù)可將帶隙向高頻移動同時有拓寬帶隙作用，其質(zhì)量增加可使帶隙向低頻移動，材料尺寸、彈性波傳播波速不影響帶隙頻率，選擇適當參數(shù)可設計低頻寬帶彈性波超材料。

參考文獻:

[1] VESELAGO V G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and μ[J]. Soviet Physics Uspekhi, 1968, 10(4): 509-514.

[2] PENDRY J B, HOLDEN A J, ROBBINS D J, et al. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena[J]. Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1999, 47(11): 2075-2084.

[3] PENDRY J B. Negative refraction makes a perfect lens[J]. Physical Review Letters, 2000, 85(18): 3966-3969.

[4] 劉亞紅, 羅春榮, 趙曉鵬. 同時實現(xiàn)介電常數(shù)和磁導率為負的H型結構單元左手材料[J]. 物理學報, 2007, 56(10): 5883-5889.

[5] YABLONOVITCH E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics[J]. Physics Review Letters, 1987,58(20):2059-2062.

[6] JOHN S. Strong localization of photons in certain disordered physics dielectric superlattices[J]. Physics Review Letters,1987,58(23): 2486-2489.

[7] JENSNO J S.Phononic band gaps and vibrations in one-and two-dimensional mass-spring structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 266(5): 1053-1078.

[8] CHAN C T, LI J S, FUNG K H. On extending the concept of double negativity to acoustic waves[J]. Journal of Zhejiang University Science A, 2006, 7(1): 24-28.

[9] 溫激鴻, 王剛, 郁殿龍, 等. 聲子晶體振動帶隙及減振特性研究[J]. 中國科學(E輯:技術科學), 2007, 37(9): 1126-1139.

[10] LAZAROV B S, JENSON J S. Low-frequency band gaps in chains with attached non-linear oscillators[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2007, 42(10): 1186-1193.

[11] 林國昌, 孫宏偉, 譚惠豐, 等. 一種超材料梁對機械波振動吸收的模擬研究[J]. 物理學報, 2011, 60(3):360-366.

[12] 劉紅星, 吳九匯, 沈禮, 等. 聲子晶體機構低頻降噪機理研究及應用[J]. 南京大學學報(自然科學版), 2013, 49(4): 530-537.

[13] BARAVELLI E, RUZZENE M. Internally resonating lattices for bandgap generation and low-frequency vibration control[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(25): 6562-6579.

[14] LIU Z Y, CHAN C T, SHENG P. Analytic model of phononic crystals with local resonances[J]. Physical Review B, 2005, 71: 014103.

[15] 沈平, 梅軍, 劉正猷, 等. 動態(tài)質(zhì)量密度和聲學超常介質(zhì)[J]. 物理, 2007, 36(1): 1-6.

[16] HUANG H H, SUN C T, HUANG G L. Theoretical investigation of the behavior of an acoustic metamaterial with extreme Young′s modulus[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2011, 59(10): 2070-2081.

[17] WANG X D. Dynamic behavior of a metamaterial system with negative mass and modulus[J]. International Journal of Solids and Structures, 2014, 51(7): 1534-1541.

[18] HUANG H H, SUN C T, Huang G L. On the negative effective mass density in acoustic metamaterials[J]. International Journal of Engineering Science, 2009, 47(4): 610-617.

[19] LIU Y Q, SU X Y, SUN C T. Broadband elastic metamaterial with single negativity by mimicking lattice system[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, 74(1): 158-174.

[20] 趙琳瑤，張婷，劉錦鋒, 等. 聲波在聲子晶體中的Zener共振遂穿效應[J]. 陜西師范大學學報(自然科學版), 2012, 40(3): 27-32.

[21] 郭建中, 張婷, 趙琳瑤, 等. 聲波在聲子晶體禁帶邊緣處的動態(tài)演化[J]. 科學通報, 2013, 58(1): 63-68.

[22] 徐永剛, 朱海飛, 林富錕, 等. 聲學腔內(nèi)聲波隧穿效應的研究[J]. 陜西師范大學學報(自然科學版), 2014, 42(5): 20-26.

[23] 黃昆. 固體物理學[M] . 北京: 高等教育出版社, 1988: 82-97.

[24] 杜功煥, 朱哲民, 龔秀芬, 等. 聲學基礎[M] . 南京: 南京大學出版社, 2001: 3-13.

〔責任編輯 李博〕

第一作者： 張楠，女，碩士研究生，研究方向為統(tǒng)計物理學與復雜系統(tǒng)。E-mail:zhangnansnnu@163.com

Study on band gaps in elastic wave metamaterials with three-resonators

YANG Houlu, WANG Gongzheng*， MO Runyang， SU Guimei， HU Jing

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,

Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:The lumped element model is present to study the band gaps of elastic wave metamaterials with three resonators.The effects of parameters on band structure and effective mass are discussed numerically. The results show that the effective mass tightly depends on frequency.The negative effective mass can be found at three positions on frequency domain.The metamaterial have three band gaps and the larger spring constant can broaden band gaps and shift band gaps to higher frequency domain.As increasing the resonator′s mass band gaps can be shifted to the low frequency domain.The metamaterial with low frequency and broad band can be desigened by property parameters.

Keywords:elastic wave；metamaterials; negative effective mass; band gap

通信作者：* 金濤，男，副教授。E-mail:jintao@snnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金(11147020)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(GK201102028)

收稿日期：2015-07-09

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.01.213

文章編號：1672-4291(2016)01-0034-05

中圖分類號:O421

文獻標志碼:A