非對稱相互作用勢對孤波散射過程中相移的影響
2016-02-01 08:13:10張楠，金濤
陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2016年1期
張 楠， 金 濤
(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安710119)
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非對稱相互作用勢對孤波散射過程中相移的影響
張楠， 金濤*
(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安710119)
摘要：研究了一維廣義FPU-αβ晶格模型中微觀粒子之間相互作用勢的非對稱性對孤波散射過程產(chǎn)生相移的影響,該系統(tǒng)存在兩種拓?fù)涔虏ǎ琄ink和Antikink。數(shù)值計算結(jié)果表明：隨著非對稱性強(qiáng)度增加，同種孤波散射所產(chǎn)生的相移減小，而異種孤波散射所產(chǎn)生的相移增大。為解釋上述計算結(jié)果，在特殊孤波碰撞位形下將廣義FPU-αβ晶格模型近似成具有非線性相互作用的兩粒子系統(tǒng)，通過求解兩粒子系統(tǒng)的動力學(xué)方程發(fā)現(xiàn)：在總能量確定的情況下，兩粒子最大相對位移的絕對值隨非對稱性增加而減?。蛔畲笙鄬ξ灰圃诳鄢⒂^粒子兩平衡位置間距后所得到的結(jié)果與數(shù)值計算得到孤波相移結(jié)果一致。
關(guān)鍵詞:孤波散射；相移；FPU-αβ晶格模型；非對稱勢
PACS: 05.10.-a; 05.20.-y; 05.70.Np
1955年，費(fèi)米及其合作者在一維非線性晶格系統(tǒng)(即FPU模型)中檢驗(yàn)平衡態(tài)統(tǒng)計物理的各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)過程時發(fā)現(xiàn)了著名的Fermi-Pasta-Ulam(FPU)回歸現(xiàn)象[1]。隨后，Zabusky和Kruskal發(fā)現(xiàn)在連續(xù)性近似下FPU晶格模型可由Korteweg-de Vries (KdV)方程來描述，并指出KdV方程的孤波解具有強(qiáng)穩(wěn)定性，即當(dāng)兩個孤波發(fā)生散射后各自回復(fù)原狀，碰撞的效果只是產(chǎn)生了空間上的平移。孤波的這種散射性質(zhì)正是FPU回歸現(xiàn)象的根源[2]。也就是說，F(xiàn)PU回歸現(xiàn)象是FPU晶格模型中激發(fā)出孤波造成的。后續(xù)研究嚴(yán)格檢驗(yàn)了這一發(fā)現(xiàn)，并證明這一空間平移與孤波在散射過程中發(fā)生的相移密切相關(guān)[3-5]。通常，我們對孤波的空間平移和相移不做區(qū)分，統(tǒng)稱為相移[6-9]。相移是孤波相互作用的固有屬性，包含了孤波散射過程的相關(guān)信息。更重要的是，作為非線性激發(fā)的一種，孤波已被證明廣泛存在于非線性晶格系統(tǒng)中[10]，是晶格系統(tǒng)中一種重要的能量輸運(yùn)載流子。因此，孤波散射動力學(xué)在建立晶格系統(tǒng)能量輸運(yùn)的微觀描述中具有不可忽視的重要地位[11]。
另一方面，微觀粒子間相互作用勢的非對稱性與其非線性一樣，是對真實(shí)物理系統(tǒng)建立模型進(jìn)行研究的必備要素。例如，非對稱相互作用勢是熱脹冷縮這種普遍存在的自然現(xiàn)象的微觀基礎(chǔ)[12]。最近，趙鴻教授課題組提出非對稱相互作用勢對低維系統(tǒng)熱傳導(dǎo)性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用[13-17]。他們發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)姆菍ΨQ度和一定的溫度范圍內(nèi)，低維系統(tǒng)會表現(xiàn)出正常熱傳導(dǎo)行為。
前人對孤波散射的研究都是針對對稱性相互作用勢的系統(tǒng)。本文在一維FPU-αβ晶格模型中，研究了微觀粒子相互作用勢的非對稱性對孤波散射過程中產(chǎn)生相移的影響，發(fā)現(xiàn)隨著非對稱性強(qiáng)度的增加，同種孤波散射所產(chǎn)生的相移減小而異種孤波散射所產(chǎn)生的相移增大。通過分析一種特殊的碰撞位形，展示了上述結(jié)果的微觀動力學(xué)起源。
1模型介紹
早期的研究表明FPU模型非常適合晶格孤波動力學(xué)行為的研究，而FPU-αβ晶格模型則是最簡單的具有非對稱相互作用勢的理想模型[17-21]。在自由邊界條件下，我們考慮包含N個微觀粒子的一維晶格系統(tǒng)，設(shè)其晶格常數(shù)為單位長度且每個格點(diǎn)的質(zhì)量為單位質(zhì)量，則其哈密頓量可表述為:
(1)
(2)
其中，pi和xi分別表示第i個粒子的動量和偏離平衡位置的位移，V(xi+1,xi)表示第i+1個粒子與第i個粒子之間的相互作用勢能，g是勢能函數(shù)非對稱性強(qiáng)度的控制參數(shù)[14]。當(dāng)g=0時，系統(tǒng)退化為對稱的FPU-β模型。圖1給出了不同參數(shù)下的勢能曲線。
圖1 不同參數(shù)下的勢能曲線
2數(shù)值模擬
首先，對FPU-αβ格點(diǎn)鏈進(jìn)行初始化，即令pi=0,xi=0,i=1,2,…,N。然后通過賦予單個粒子動量來激發(fā)出孤波[17-22]。具體做法是：在t=0時刻，對格點(diǎn)鏈的第一個粒子施加一個動量激發(fā)p1=c1，該動量激發(fā)將在格點(diǎn)鏈上產(chǎn)生一個向右傳播的孤波。為研究孤波散射，我們在t=δ時刻對最后一個粒子施加一個動量激發(fā)pN=cN，該動量激發(fā)會在格點(diǎn)鏈上產(chǎn)生一個向左傳播的孤波。兩個孤波在速度空間和位移空間的具體情況如圖2a和2b所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩個孤波的后面都伴隨著一系列的聲子“尾巴”。由于孤波是一種超聲速的空間局域化的激發(fā)模式，因此隨著系統(tǒng)的演化，會與聲子“尾巴”分離。我們只考慮孤波散射，故待孤波與聲子“尾巴”完全分離后，使孤波后面粒子的動量為零并且位移等于格點(diǎn)偏離平衡位置的最大位移來抹平一系列的聲子“尾巴”[11]，得到一對純凈的孤波，以研究它們的散射動力學(xué)。
由孤波的性質(zhì)[23]，可規(guī)定微觀粒子動量達(dá)到最大值時所在的位置為孤波的位置，這樣就可測量不同時刻孤波所在位置，進(jìn)而得到孤波運(yùn)動過程的時空軌跡(如圖2c所示)。前人的研究成果表明，在散射過程中小孤波將從大孤波獲得能量[17-21]。我們得到的結(jié)果也顯示碰撞前后孤波的軌跡不再平行，表示碰撞前后孤波的速度發(fā)生了變化，即能量發(fā)生了變化。由于碰撞點(diǎn)附近的時空軌跡較為復(fù)雜，因此我們除去碰撞前后的一小段軌跡，采用直線擬合的方法找到軌跡1和2的交點(diǎn)，即為碰撞點(diǎn)。忽略碰撞過程的細(xì)節(jié)，則在碰撞時刻軌跡1與軌跡3之間的平移即為α孤波在散射過程中的空間平移，如圖2c中ΔSα。
圖2 模型中激發(fā)一對孤波及其碰撞過程
為了研究相互作用勢的非對稱性強(qiáng)度對孤波散射時空間平移的影響，我們?nèi)PU-αβ模型的非對稱性參數(shù)為0，-1，-2(g>0的情況可由對稱性推知)。在FPU-αβ模型中存在兩種類型的孤波[24]，分別為Kink(圖2中α孤波)和Antikink(圖2中β孤波)。構(gòu)成Kink的微觀粒子的運(yùn)動方向與孤波的傳播方向一致，而構(gòu)成Antikink的微觀粒子的運(yùn)動方向與孤波的傳播方向相反。鑒于系統(tǒng)中存在兩種類型的孤波，本文分兩種情況進(jìn)行研究：同種孤波散射產(chǎn)生的空間平移(記為KK)和異種孤波散射產(chǎn)生的空間平移(記為KA)。
通過對孤波附近動量大于10-8的格點(diǎn)能量進(jìn)行累加，進(jìn)而得到孤波的能量。為了不失普遍性，固定右側(cè)β孤波的能量Eβ為12.45(對應(yīng)動量激發(fā)為5)，改變左側(cè)α孤波的能量Eα，計算不同能量孤波碰撞產(chǎn)生的空間平移〈ΔSα〉，每個〈ΔSα〉都是ΔSα在幾個周期內(nèi)的平均值。
圖3b給出了兩種類型散射在不同非對稱相互作用勢下空間平移和Eα的關(guān)系，可知兩種散射的〈ΔSα〉都隨著Eα的增加而減小。然而，兩種空間平移的細(xì)節(jié)有所不同：對于同種孤波散射，〈ΔSα〉總是小于零；而對于異種孤波散射，〈ΔSα〉總是大于零。除此之外，從圖3b中還可以發(fā)現(xiàn)隨著相互作用勢非對稱性的增加，其對應(yīng)的空間平移也發(fā)生了相應(yīng)的變化。隨著非對稱性強(qiáng)度的增加，同種孤波散射所產(chǎn)生的空間平移減小，而異種孤波散射所產(chǎn)生的空間平移增加。
圖3空間平移ΔSα的數(shù)值模擬和理論分析結(jié)果
Fig.3TheresultofspatialshiftΔSαin numerical simulation and theory
注：圖b中曲線從上到下依次為：KA(g=-2),KA(g=-1),KA(g=0),KK(g=-2),KK(g=-1),KK(g=0)。
3討論
我們以上文提到的3種碰撞位形中的第3種位形為例，從微觀上研究相互作用勢的非對稱性對孤波散射過程中產(chǎn)生的空間平移的影響。
由兩類孤波的特點(diǎn)可知，該種位形發(fā)生在同種孤波散射過程中。在碰撞時刻，我們將FPU-αβ格點(diǎn)鏈簡化成只由iα和iβ兩個格點(diǎn)構(gòu)成，能量在粒子的動能與勢能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)兩粒子的動能全部轉(zhuǎn)化為粒子之間的勢能時，粒子之間的距離達(dá)到極值xm，具體為Kink與Kink發(fā)生散射時為極小值，Antikink與Antikink發(fā)生散射時為極大值。下一時刻α孤波將傳到iβ格點(diǎn)上，β孤波將傳到iα格點(diǎn)上，即碰撞完成，而此時α孤波發(fā)生的空間平移ΔSα即為xm。因此，非對稱性對ΔSα的影響即為對xm的影響。
我們研究兩個孤波總能量一定時，隨著相互作用勢非對稱性強(qiáng)度的增加，xm的變化情況。求解如下的方程：
(3)
其中E為發(fā)生碰撞的兩孤波能量的總和，設(shè)定E=25(我們已經(jīng)證明定性的結(jié)論與E的大小沒有關(guān)系)。解得xm有4個解，鑒于每個解的形式都比較復(fù)雜，很難直接看出xm隨非對稱參數(shù)g的變化關(guān)系，并且每個解隨g取值的不同，其虛實(shí)要發(fā)生變化。故我們以g為橫坐標(biāo)，xm為縱坐標(biāo)做出4個解的實(shí)數(shù)解部分隨g變化的圖像(如圖3c所示)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)在g<0區(qū)域，當(dāng)xm<0時，|xm|隨|g|的增加而減小。而對于同種孤波散射，其空間平移小于零，并且隨著非對稱強(qiáng)度增加而減小，理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果定性一致。
嚴(yán)格來說，孤波的空間平移ΔSα由兩部分組成[11]：一是散射時α孤波產(chǎn)生的相移Δα，二是β孤波的高度hβ，即ΔSα=Δα+hβ。原因如下：FPU-αβ模型中激發(fā)出來的孤波均屬于拓?fù)涔虏ǎ粯?gòu)成拓?fù)涔虏ǖ奈⒂^粒子有兩個平衡狀態(tài)(例如，對于β拓?fù)涔伦?，第i個格點(diǎn)有兩個平衡位置xi=0和xi=hβ)[25]；發(fā)生散射前，由于β孤波的經(jīng)過，第i個格點(diǎn)已經(jīng)從第一個平衡位置運(yùn)動到第二個平衡位置，這導(dǎo)致在散射過程中α孤波的位置額外改變了hβ。由于hβ只反映了β孤波的性質(zhì)，因此從ΔSα中除去hβ即得到Δα。下面，我們給出微觀粒子相互作用的非對稱性對α孤波散射相移Δα和β孤波高度hβ的影響。
由孤波的性質(zhì)[23]可知，孤波所在處格點(diǎn)的最大位移即為孤波的高度，孤波的高度越高代表其能量越大。我們研究不同非對稱相互作用勢下兩類孤波的高度隨能量的變化趨勢，如圖4所示： 對于Kink，系統(tǒng)相互作用勢的非對稱性越強(qiáng)，相同能量下孤波的高度越低；而對于Antikink，相互作用勢的非對稱性越強(qiáng)，相同能量下孤波的高度越高。這主要取決于兩種孤波自身性質(zhì)的不同。
圖4兩類孤波E與h的關(guān)系
Fig.4Evshofkinkandantikink
通過孤波散射過程中產(chǎn)生的相移Δα、空間平移ΔSα和孤波的高度hβ三者之間的關(guān)系可知，兩個孤波散射時滿足：Δα=ΔSα-hβ，進(jìn)而可得不同非對稱勢下孤波散射時產(chǎn)生的相移Δα。與得到空間平移ΔSα的做法相同，固定右側(cè)β孤波的能量Eβ為12.45(對應(yīng)動量激發(fā)為5)，改變左側(cè)α孤波的能量Eα，得到〈Δα〉和Eα的關(guān)系，每個〈Δα〉都是Δα在幾個周期內(nèi)的平均值。
圖5給出了相移〈Δα〉的典型結(jié)果，其中空心正方形曲線和半實(shí)心正方形曲線分別對應(yīng)FPU-β模型的同種孤波散射和異種孤波散射。對于FPU-β模型，同種孤波散射時其〈Δα〉總是大于零，而異種孤波散射，當(dāng)Eα
圖5 兩種散射類型的〈Δα〉隨Eα的變化
注：曲線由上到下分別為：KK(g=0),KK(g=-1),
KK(g=-2),KA(g=0),KA(g=-1),KA(g=-2)。
4結(jié)論
本文研究了非對稱相互作用勢對孤波散射過程中產(chǎn)生的相移的影響。發(fā)現(xiàn)隨著非對稱性強(qiáng)度增加，同種孤波散射的相移減小而異種孤波散射的相移增大。我們在特殊孤波碰撞位形下將廣義FPU-αβ晶格模型近似成非線性相互作用下的兩粒子系統(tǒng)，通過求解該兩粒子系統(tǒng)動力學(xué)方程發(fā)現(xiàn)，在總能量確定的情況下，兩粒子最大相對位移的絕對值隨非對稱性增加而減??；最大相對位移在扣除微觀粒子兩平衡位置間距后所得到的結(jié)果與數(shù)值計算得到孤波相移結(jié)果定性一致，從一定程度上解釋了上述結(jié)果的微觀機(jī)制。此外，對孤波高度的研究發(fā)現(xiàn)，對于Kink，相互作用勢的非對稱性越強(qiáng)，相同能量下孤波的高度越低；對于Antikink，系統(tǒng)相互作用勢的非對稱性越強(qiáng)，相同能量下孤波的高度越高。這些結(jié)果將有助于從集體激發(fā)模式相互作用的層次上理解微觀粒子間相互作用勢的對稱性對系統(tǒng)宏觀熱傳導(dǎo)性質(zhì)的影響。
參考文獻(xiàn):
[1] FERMI E, PASTA J, ULAM S. Studies of nonlinear problem[R]. Los Alamos Scientific Laboratory Report, 1955,No.LA-1940: 977-988.
[2] ZABUSKY N J, KRUSKAL M D.Interaction of ‘solitons’ in a collision less plasma and the recurrence of initial states[J]. Physical Review Letters,1965, 15(6):240-243.
[3] LAX P D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves[J].Communications on Pure and Applied Mathematics, 1968,21:467-490.
[4] WADATI M, TODA M. The exact N-soliton solution of the Korteweg-de Vries equation[J].Journal of the Physical Society of Japan, 1972,32(5):1403-1411.
[5] TODA M, WADATI M.A soliton and two solitons in an exponential lattice and related equations[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 1973,34(1):18-25.
[6] IKEZI H,TAYLOR R J,BAKER D R. Formation and interaction of ion-acoustic solitons [J]. Physical Review Letters, 1970, 25(1):11-14.
[7] HIROTA R, SUZUKI K. Theoretical and experimental studies of lattice solitons in nonlinear lumped networks[J]. Proceedings of the IEEE, 1973,61(10):1483-1491.
[8] NAKAJIMA K, MIZUSAWA H, SAWADA Y, et al. Experimental observation of spatiotemporal wave forms of all possible types of soliton-antisoliton interactions in Josephson transmission lines [J].Physical Review Letters, 1990,65(13):1667-1670.
[9] WU M Z, PATTON C E. Experimental observation of Fermi-Pasta-Ulam recurrence in a nonlinear feedback ring system[J].Physical Review Letters, 2007,98:047202(1-4).
[10] KARTASHOV Y V, MALOMED B A, TORNER L.Solitons in nonlinear lattices[J]. Review of Modern Physics, 2011,83:247-305.
[11] JIN T,ZHAO H, HU B B. Spatial shift of lattice soliton scattering in the Fermi-Pasta-Ulam model [J].Physical Review E,2010, 81:037601(1-4).
[12] Kittel C. Introduction to solid state physics[M]. New York: Wiley,1996: 130.
[13] ZHONG Y, ZHANG Y, WANG J, et al. Normal heat conduction in one-dimensional momentum conserving lattices with asymmetric interactions[J].Physical Review E, 2012, 85:060102(1-4).
[14] CHEN S D,ZHANG Y,WANG J, et al.The role of asymmetric inter-particle interactions in heat conduction[EB/OL].[2015-07-07].http://arxiv.org/abs/1204.5933v2, 2012.
[15] CHEN S D, ZHANG Y, WANG J, et al. Why asymmetric interparticle interaction can result in convergent heat conductivity[EB/OL].[2015-07-07].http://arxiv.org/abs/1309.7146v1, 2013.
[16] ZHONG Y, ZHANG Y, WANG J, et al. Normal thermal conduction in lattice models with asymmetric harmonic interparticle interactions[J]. Chinese Physical B,2013, 22(7):070505(1-4).
[17] ZHAO H, WEN Z Y, ZHANG Y, et al. Dynamics of solitary wave scattering in Fermi-Pasta-Ulam model[J].Physical Review Letters, 2005,94:025507(1-4).
[18] KHOMERIKI R.Interaction of a kink soliton with a breather in a Fermi-Pasta-Ulam chain[J]. Physical Review E, 2002, 65:026605(1-6).
[19] DMITRIEV S V,SEMAGIN D A,SUKHORUKOV A A, et al.Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schr?dinger equation[J]. Physical Review E, 2002,66:046609(1-8).
[20] DOI Y. Energy exchange in collisions of intrinsic localized modes[J]. Physical Review E, 2003,68:066608(1-13).
[21] MCMILLAN E. On the impact of FPU lattice discreteness upon solitary wave interactions[J]. Physica D,2005,200:25-46.
[22] DUSI R, VILIANI G, WAGNER M.Breathing self-localized solitons in the quartic Fermi-Pasta-Ulam chain[J].Physical Review B,1996,54(14):9809-9818.
[23] REMOISSENET M. Waves called solitons[M].New York:Springer-Verlag,1999: 139-143.
[24] SZEFTEL J, LAURENT-GENGOUX P, LLISCA E. Anharmonicity-induced solitons in one-dimensional periodic lattices[J]. Physical Review Letters,1999,83(20):3982-3985.
[25] FLEISCHER J W, SEGEV M,EFREMIDIS N K, et al.Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices[J]. Nature, 2003,422:147-150.
〔責(zé)任編輯 李博〕
第一作者： 張海島,男,博士研究生,研究方向?yàn)楣β食?。E-mail:262268197@qq.com
The effect of asymmetric inter-particle interactions on
spatial shift of solitary wave scattering
ZHANG Nan, JIN Tao*
(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,
Xi′an 710119, Shaanxi, China)
Abstract:The effect of asymmetry of interparticle interaction potential on the spatial shift of solitary wave scattering in one-dimensional generalized FPU-αβ lattice model are investigated.The system has two types of solitary wave, Kink and Antikink. The numerical result shows that with the increase of asymmetry the spatial shift decreases for the scattering between same types of solitary wave,while increases for the scattering between different types. To explain the above result, FPU-αβ lattice model as two particle system with nonlinear interaction under special collision configuration is approximately generalized. By solving the dynamical equation of two particle system, it can be found that the absolute value of maximum relative displacement between particles decreases with the increase of asymmetry when the total energy is determined. Furthermore, when removing the spacing between two equilibrium position of the micro particle, the maximum relative displacement is consistent with numerical result of spatial shift qualitatively.
Keywords:solitary wave scattering; spatial shift; FPU-αβ lattice model; asymmetric potential
通信作者：* 賀西平,男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail: hexiping@snnu.edu.cn
基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11374201)
收稿日期：2015-07-15
doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.01.214
文章編號：1672-4291(2016)01-0039-04
中圖分類號:O415.6
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
