雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界

彭　凌，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

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雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界

彭凌，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

摘要：根據(jù)雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的定義與性質(zhì)，給出其線性互補(bǔ)問題的誤差界.數(shù)值實(shí)例顯示該誤差界在判定線性互補(bǔ)問題近似解的精確性中是有效的.

關(guān)鍵詞：精確性；誤差界；線性互補(bǔ)問題；雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣

雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣在數(shù)學(xué)、物理、控制論以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域有重要作用.雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣也是非奇異H-矩陣，是一類范圍很廣的特殊矩陣，特別是關(guān)于雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的線性互補(bǔ)問題，也是數(shù)學(xué)規(guī)劃中與凸二次規(guī)劃密切相關(guān)的重要問題.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究了多類特殊矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界，取得了一些成果[1-3].筆者將根據(jù)雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的定義與性質(zhì)，在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上對(duì)其誤差界進(jìn)行改進(jìn)，得到關(guān)于雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問題的新的誤差界，并應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.

1預(yù)備知識(shí)

線性互補(bǔ)問題是指：存在一向量x∈Rn，使得

Mx+q≥0,x≥0,xT(Mx+q)=0，

其中M是n×n矩陣，q∈Rn.將線性互補(bǔ)問題記作LCP(M，q)，x*為L(zhǎng)CP(M，q)的解.

眾所周知，具有正對(duì)角元的H-矩陣是一個(gè)P-矩陣.

定義2[5]若存在α∈[0,1]，使得?i≠j(i,j∈N)，有

|aii||ajj|≥((Λi(A))α(Si(A))1-α)((Λj(A))α(Sj(A))1-α)

(1)

成立，則稱A是雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理3若實(shí)矩陣A=(aij)∈Rn×n是雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，則存在正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.其中：

(2)

取正對(duì)角矩陣X=(x1,x2,…,xn)，當(dāng)i∈N1時(shí)，xi=η，當(dāng)j∈N2時(shí)，xj=1.令Q=AX=(qij)，易證qii-Λi(Q)>0,i∈N，所以AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

由引理1易知，若A=(aij)∈Rn×n是雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A是H-矩陣.

2主要結(jié)果及證明

考慮對(duì)角元素為正的雙α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣M，易知M是P-矩陣.由文獻(xiàn)[1]定理2.3的第3個(gè)不等式，對(duì)?x∈Rn，有

其中：I是n×n單位矩陣；D是對(duì)角矩陣，D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n；x*是LCP(M,q)的解；r(x)∶=min(x,Mx+q).由文獻(xiàn)[1]定理2.1可知，當(dāng)M=(aij)∈Cn×n是主對(duì)角元素為正的H-矩陣時(shí)，

(3)

若η<1，則

證明由引理1知，MX是主對(duì)角元素為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.由文獻(xiàn)[6]中定理A易證，對(duì)?d∈[0,1]n，(I-D+DM)X也是主對(duì)角元素為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，于是

‖(I-D+DM)-1‖∞=‖X(X-DX+DMX)-1‖∞≤‖X‖∞‖(X-DX+DMX)-1‖∞≤

又因?yàn)?/p>

且i∈N2時(shí)，xi=1,當(dāng)i∈N1時(shí),xi=η，所以當(dāng)η>1時(shí)，

當(dāng)η<1時(shí)，

3數(shù)值實(shí)例

參考文獻(xiàn)：

[1] BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Science[M].New York：Academic Press,1979.

[2] CHEN Xiaojun,XIANG Shuhuang.Computation of Error Bounds forP-Matrix Linear Complementarity Problems[J].Math. Program. Ser. A,2006，106:513-525.

[3] CVETKOVIC L,KOSTIC V,VARGA R S.A New Gersgorin-Type Eigenvalue Inclusion Set[J].Electron. Trans. Numer. Anal.,2004,18:73-80.

[5] 汪祥,盧琳璋.α-雙對(duì)角占優(yōu)與H矩陣的判定[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2003,42(5):570-572.

[6] VARGA R S.On Diagonal Dominance Arguments for Bounding ‖A-1‖∞[J].Linear Algebra Appl.,1976,14:211-217.

(責(zé)任編輯向陽(yáng)潔)

On Error Bound for Linear Complementarity Problem of Double

α-Chain Diagonally Dominant Matrix

PENG Ling，MO Hongmin

(College of Mathematics and Statistics，Jishou University,Jishou 416000，Hunan China)

Abstract:In this paper,we give new error bound for the linear complementarity problem where the involved matrix is a doubleα-chain diagonally dominant matrix based on its definition and properties.Preliminary numerical results show that the proposed error bound is efficient for verifying accuracy of approximate solutions.

Key words:accuracy;error bound;linear complementarity problem;doubleα-chain diagonally dominant matrix

作者簡(jiǎn)介：彭凌(1982—)，女，湖南懷化人，碩士研究生，主要從事矩陣?yán)碚撆c計(jì)算研究；莫宏敏(1969—)，男，湖南慈利人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，博士，主要從事矩陣?yán)碚撆c計(jì)算研究.

基金項(xiàng)目：吉首大學(xué)校級(jí)科研項(xiàng)目(13JDY043)

收稿日期：2014-11-09

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.005

文章編號(hào)：1007-2985(2015)02-0020-03