一類含參數(shù)的分數(shù)階微分方程邊值問題

歐陽敏，鐘文勇

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

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一類含參數(shù)的分數(shù)階微分方程邊值問題

歐陽敏，鐘文勇

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

摘要：利用不動點定理，研究一類含雙參數(shù)的Riemann-Liouville 型分數(shù)階微分方程多點邊值問題正解的存在性及正解的重數(shù)，建立了邊值問題至少存在1個或3個正解的充分條件.

關鍵詞：分數(shù)階微分方程；多點邊值；正解；參數(shù)；不動點

近年來,分數(shù)階微分方程已在數(shù)學、物理、生物、化學等學科及多孔介質、粘彈性材料等工程領域得到了重要應用[1]，分數(shù)階微分方程邊值問題(簡記為BVP)的理論研究得到學者們的高度關注并獲得了很多研究成果.文獻[2]研究了一類方程中含單個參數(shù)的Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程三點BVP，文獻[3]研究了一類邊界條件含單個參數(shù)的Riemann-Liouville分數(shù)階微分方程四點BVP.目前，含雙參數(shù)的分數(shù)階微分方程BVP還有待研究.筆者研究以下含雙參數(shù)的高階Riemann-Liouville 型分數(shù)階微分方程多點BVP正解的存在性，得到了BVP正解的存在性和多解性的充分條件：

(1)

其中 λ及μ是正參數(shù).

設 B=C[0,1] 表示區(qū)間[0,1]上連續(xù)函數(shù)按上確界范數(shù)構成的Banach空間，并作下列假設：

(H2) f:I×[0,∞)[0,∞)是連續(xù)函數(shù).

1預備知識

定義1[1]函數(shù)y:(0,∞)R的α(α>0)階分數(shù)階積分定義為

定義2[1]函數(shù)y：(0,∞)R的α(α>0)階Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)定義為

其中n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分.

由引理1可得到如下結論：

引理2設g(t)∈C[0,1]，若 (H1) 滿足,那么BVP

存在唯一解

格林函數(shù)G定義為G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)，

其中Ei=[0,ξi],χEi是集Ei(i=1,2,…,m-2)的特征函數(shù).

引理3[4]設(H1)和(H4)成立，則對?t,s∈[0,1]及i=1,2，有Gi(1,s)≥Gi(t,s)≥q(t)Gi(1,s)≥0，其中0

注1應用G(t,s)的定義及引理3容易得到G(1,s)≥G(t,s)≥q(t)G(1,s)≥0,t,s∈[0,1].

(ⅰ) ‖Ax‖≤‖x‖,x∈D∩?Ω1及‖Ax‖≥‖x‖,x∈D∩?Ω2；

(ⅱ) ‖Ax‖≥‖x‖,x∈D∩?Ω1及‖Ax‖≤‖x‖,x∈D∩?Ω2.

(ⅰ) {x∈(θ,b,d)|θ(x)>b}≠?對?x∈(θ,b,d)有θ(Ax)>b;

(ⅱ) 對?x≤a,有‖Ax‖

(ⅲ) 若x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d，則θ(Ax)>b.

其中‖x1‖

注2若d=c,則由引理5條件(ⅰ)可以推出條件(ⅲ).

2主要結果及證明

定義錐D={u∈B|x(t)≥q(t)‖x‖,t∈[0,1]}.顯然，對每一個u∈D有‖u‖=u(1).對給定的正數(shù)，定義Ωr={x∈B:‖x‖

由引理 1、引理2及注1不難證明以下結論：

引理7若(H1)，(H2)成立，則u∈C[0,1]是BVP(1)的解當且僅當它是算子A的不動點.

現(xiàn)定義幾個常數(shù)：

并作如下約定:若f∞→∞,則1/βf∞=0;若F0→0,則1/γF0=∞;若f0→∞,則1/βf0=0;若F∞→0,則1/γF∞=∞.

定理1設條件(H1)，(H2)成立.若βf∞>γF0,則對?λ∈(1/βf∞,1/γF0)及充分小的μ，BVP(1)至少有1個正解.

故引理4條件(ⅰ)滿足.即算子A至少有1個不動點，這不動點是BVP(1)的正解.

類似可證明如下結論：

定理2設條件(H1)，(H2)成立.若βf0>γF∞,則對?λ∈(1/βf0,1/γF∞)及充分小的μ，BVP(1) 至少有1個正解.

定理3設條件(H1)，(H2)成立，且存在正常數(shù)a

(ⅰ)f(t,x)

(ⅱ)f(t,x)>Mb,(t,x)∈[η,1]×[b,c];

(ⅲ)f(t,x)≤Lc,(t,x)∈[0,1]×[0,c].

其中

(1-δ)a≤δc+(1-δ)a≤c.

因此引理5條件(ⅰ)成立.由引理5和注2知算子A至少有3個不動點，由引理7可知這些不動點就是BVP(1)的正解.

參考文獻：

[1]KILBASAA,SRIVASTAVAHM,TRUJILLOJJ.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:North-HollandMath.Stud.,ElsevierScienceB.V.,2006:204.

[2]EL-SHAHEDM.PositiveSolutionsforBoundaryValueProblemofNonlinearFractionalDifferentialEquation[J/OL].Abstr.Appl.Anal.,2007，Vol. 2007,ArticleID10368:1-8[2014-09-20].http://www.hindawi.com/journals/aaa/2007/10368/.

[3] 鐘文勇.分數(shù)階微分方程非齊次邊值問題的正解[J].吉首大學學報：自然科學版,2010(3)：10-14.

[4]ZHONGWenyong.PositiveSolutionsforMultipointBoundaryValueProblemofFractionalDifferentialEquations[J/OL].Abstr.Appl.Anal.,2010，Vol. 2010,ArticleID601492:1-15[2014-09-20].http://www.hindawi.com/journals/aaa/2010/601492/.

[5]KRASNOSEL’SKIIMA.PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen：Noordhoff,1964.

[6]LEGGETTR，WILIAMSL.MultiplePositiveFixedPointsofNonlinearOperatoronOrderedBanachSpaces[J].IndianaUniv.Math.,1979，28：673-688.

(責任編輯向陽潔)

Investigation on Multipoint Boundary Value Problems of Fractional

Differential Equations with Parameters

OUYANG Min，ZHONG Wenyong

(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

Abstract:This paper deals with the existence and multiplicity results of positive solutions to the multipoint boundary value problems of Riemann-Liouville fractional differential equations with two parameters.Using fixed-point theorems,some sufficient conditions are obtained to guarantee the existence of at least one or three solutions to the boundary value problems.

Key words:fractional differential equations;multipoint boundary value;positive solutions；parameters;fixed points

作者簡介：歐陽敏(1990—),女,湖南益陽人,吉首大學應用數(shù)學專業(yè)碩士研究生,主要從事微分方程研究；鐘文勇(1963—),男,湖南吉首人,吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院教授,博士,主要從事微分方程理論研究.

基金項目：湖南省自然科學基金資助項目(11JJ3007)；吉首大學2014年校級科研項目(JDY048)

收稿日期：2014-12-31

中圖分類號：O175.8

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.004

文章編號：1007-2985(2015)02-0016-04