基于GARCH-分形布朗運動模型的碳期權定價研究

張　晨,　彭　婷,　劉宇佳

(合肥工業(yè)大學 管理學院,安徽 合肥　230009)

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基于GARCH-分形布朗運動模型的碳期權定價研究

張晨,彭婷,劉宇佳

(合肥工業(yè)大學 管理學院,安徽 合肥230009)

摘要:文章將廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,GARCH)模型和分形布朗運動結合引入碳金融期權定價研究中。通過對歐洲碳排放配額(European Union Allowance,EUA)期貨收盤價的樣本數(shù)據(jù)檢驗,發(fā)現(xiàn)其存在尖峰厚尾、條件異方差性和分形特征;采用GARCH模型擬合并預測碳價收益率波動率;將預測的波動率作為輸入值代入分形布朗運動期權定價方法,運用蒙特卡羅模擬對EUA期貨期權進行定價,并與B-S期權定價法(Black-Scholes Option Pricing Model)比較。結果表明,基于GARCH分形布朗運動模型的碳期權定價法預測精度有顯著提高。

關鍵詞:碳期權定價;廣義自回歸條件異方差模型;分形布朗運動;B-S期權定價

近年來碳排放權的交易受到越來越多的關注,也成為理論界研究的重點。2005年正式生效的《京都議定書》確立了聯(lián)合減排(joint implementation,JI)、國際排放權交易(international emissions trading,IET)和清潔發(fā)展(Clean Development Mechanism,CDM)3種國際碳減排機制[1]。碳排放權市場化最核心的問題是要解決碳金融資產(chǎn)定價。國際碳排放交易體系經(jīng)過長期的發(fā)展,已經(jīng)形成了較為成熟的現(xiàn)貨價格形成機制,但目前缺乏對碳衍生品價格形成機制的研究,尤其是碳期權定價方面的研究,而碳期權作為碳排放市場中的一種重要交易產(chǎn)品,在提高碳排放市場的價格發(fā)現(xiàn)功能和規(guī)避碳排放市場風險等方面具有重要作用。因此,研究碳期權的定價問題,通過了解其價格特征,掌握其內(nèi)在規(guī)律,有助于投資者做出較為合理的碳期權套期保值決策,以便降低碳交易風險。

我國為全世界核證減排量一級市場上最大供應國。盡管我國已在北京、上海、天津、重慶、湖北、廣東和深圳等7省市建立了區(qū)域性碳排放交易所,但目前仍處于起步階段,且交易產(chǎn)品主要以現(xiàn)貨交易為主,碳期權交易平臺有待開通。由于基礎數(shù)據(jù)的缺乏,目前我國對實現(xiàn)碳期權科學合理定價的研究較少。本文探討國際碳排放交易體系中碳期權的定價方法,為我國未來碳期權交易的科學定價提供借鑒。

1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

1.1　傳統(tǒng)金融期權定價的研究

金融期權定價的重點在于對原生資產(chǎn)價格變化的準確刻畫。1970年以來產(chǎn)生了Black-Scholes(B-S)期權定價法、Hull-White期權定價法、二叉樹期權定價法、分形布朗運動期權定價法等期權定價方法,其中B-S期權定價法和分形布朗運動期權定價法是學術界比較常用且易于操作的方法。

B-S期權定價法是在文獻[2]提出的期權定價模型基礎上,假定標的資產(chǎn)價格相互獨立且服從幾何布朗運動,以及標的資產(chǎn)收益率獨立同分布且服從正態(tài)分布下提出來的[3]。但近年來,學者們對資本市場的大量研究表明金融資產(chǎn)價格并非遵循幾何布朗運動,即金融資產(chǎn)的收益率并非服從正態(tài)分布,而是服從一種尖峰厚尾的分布;且金融資產(chǎn)價格之間也不是獨立的,而是存在著長期相關性[4-7]。因此,B-S期權定價法在現(xiàn)實運用中存在一定的局限性。

而分形布朗運動期權定價法是文獻[8]在文獻[9]提出分形布朗運動的基礎上,首次將其應用于金融期權定價而產(chǎn)生的。分形布朗運動與幾何布朗運動最主要的區(qū)別是分形布朗運動中的增量是不獨立的,而幾何布朗運動中的增量是獨立的。由于分形布朗運動期權定價法能夠很好地刻畫標的資產(chǎn)價格的自相似性、厚尾性、長記憶性,且不要求標的資產(chǎn)價格相互獨立、服從幾何布朗運動以及標的資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布,因而更符合金融期權價格的實際特征。隨后很多研究者在假定股價波動率為常量的情況下,運用分形布朗運動期權定價法研究股票期權市場的定價問題,驗證了分形布朗運動期權定價法優(yōu)于B-S等期權定價法[10-13]。

1.2　碳期權定價的研究

碳期權作為一種新型的金融期權產(chǎn)品,具有不同于傳統(tǒng)金融期權的風險和市場特征。在碳期權定價時考慮碳市場的風險和市場特征,更能準確反映碳期權的真實價值。

有關碳期權定價的研究,除了文獻[14] 建立隨機游走模型對歐盟排放交易體系下Powernext和Nord Pool 2個排放交易市場的現(xiàn)貨、期貨和期權進行定價外,其他研究者幾乎都選用B-S期權定價法對碳期權進行模擬定價,且定價時選用歷史波動率作為B-S期權定價法的輸入變量[15]。

有關碳金融資產(chǎn)價格波動率刻畫的研究,國內(nèi)外主要圍繞歐盟之間交易的碳金融產(chǎn)品。文獻[16-18]的研究發(fā)現(xiàn):不論是二氧化碳排放交易市場還是二氧化硫排放交易市場,不論是歐洲的國家還是美國,碳金融資產(chǎn)價格波動率不是恒定的常量,而是具有鞅屬性和時間-價格依賴性的波動結構,即波動率具有時變性。文獻[19]發(fā)現(xiàn)碳價是一個有偏的隨機游走分布,即對數(shù)收益率拒絕服從正態(tài)分布,且碳價具有尖峰厚尾以及長記憶性的特征。研究者在刻畫碳資產(chǎn)價格波動率時,都贊同采用廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,GARCH)模型來刻畫時變波動率,但具體選用何種GARCH模型需要根據(jù)研究對象的特征而確定[20-21]。

由于碳市場波動率表現(xiàn)出的時變性與歷史波動率并不相符,且碳價收益率也不服從正態(tài)分布,因此,在定價時考慮碳價的分形特征和碳價波動率的時變特征更符合碳市場的真實情況。為提高碳期權定價的精確度,本文將GARCH和分形布朗運動結合引入碳期權定價研究,建立基于GARCH-分形布朗運動模型的碳期權定價方法新思路:首先采用GARCH預測碳資產(chǎn)價格的波動率,將預測的波動率作為輸入值代入分形布朗運動,預測碳資產(chǎn)價格序列;然后運用風險中性條件下的期權定價法對碳期權進行蒙特卡羅模擬定價,并將模擬結果與B-S期權定價結果進行比較,檢驗本文的碳期權定價方法的有效性。

2研究設計

2.1　碳價收益率波動率的預測方法

GARCH模型是由Bollerslev在自回歸條件異方差(autoregressive conditional heteroskedasticity,ARCH)模型的基礎上改進得到的[22],自產(chǎn)生至今在金融領域有廣泛的應用。 如果隨機變量yt可以表示為(1)式，則稱ut服從q階ARCH過程。

yt=α0+α1xt-1+α2xt-2+…+αmxt-m+ut

(1)

(2)

在(2)式條件方差中加入殘差平方的滯后項即構成GARCH模型,如(3)式所示:

(3)

β0>0;β1,…,βq≥0;x1,…,xp≥0;

實證研究表明GARCH 模型能夠較好地描述碳金融資產(chǎn)收益波動率的異方差現(xiàn)象和波動聚集現(xiàn)象[20-21]。本文利用GARCH模型對碳金融資產(chǎn)收益波動率進行預測,預測結果作為分形布朗運動模型輸入值,可對碳期權進行定價。

2.2　碳金融資產(chǎn)分形布朗運動期權定價方法

由于碳資產(chǎn)價格收益序列存在尖峰厚尾、自相關性等特征[19],因此,本文使用文獻[8]提出的分形布朗運動期權定價法中的資產(chǎn)價格變動過程來刻畫碳資產(chǎn)價格隨機序列:

dS(t)=μ(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dBH(t)

(4)

其中,S(t)為碳資產(chǎn)價格隨機序列,0≤t≤T;μ(t)為碳資產(chǎn)期望收益率;σ(t)為碳資產(chǎn)收益率年化瞬時波動率;BH(t)為具有H指數(shù)的分形布朗運動,其中0 0.5時,BH(t)具有長期依賴性,過去的增量與現(xiàn)在的增量呈正相關;當0

分形布朗運動的模擬主要有精確方法和逼近方法,精確方法是通過一系列的數(shù)學推導,求導出分形布朗運動的具體表達式,主要有Hosking方法、Cholesky方法、Davies和Harte方法;而逼近方法不要求直接求解分形布朗運動的具體表達式,而是采用無限分割逐漸接近的方法求解分形布朗運動的增量,主要有隨機中點位移法和譜分析方法等[23]。結合本文(4)式刻畫碳資產(chǎn)價格變動過程涉及分形布朗運動增量的描述,本文采用隨機中點位移法中由文獻[24]提出的擴展Maruyama法模擬分形布朗運動增量,公式為:

dBH(t)=ω(t)(dt)H

(5)

其中,0

分形布朗運動期權定價方法是基于分形布朗運動刻畫碳資產(chǎn)價格隨機序列,采用風險中性假設進行期權定價的一種方法。本文采用文獻[25]在風險中性條件下用無風險收益率折現(xiàn)期望收益得到的歐式看漲期權理論價值,具體公式如下:

C(t)=e-r(T-t)E[max(ST-X),0]

(6)

其中,隨機變量ST為碳價到期日現(xiàn)貨價格;r為無風險利率;T-t為期權剩余有效期限;X為碳期權合約的執(zhí)行價格。

2.3　GARCH模型分形布朗運動碳期權定價

本文在選取碳期權標的碳價樣本的基礎上,計算出標的碳價日收益率序列;在對碳價日收益率序列進行描述性統(tǒng)計、平穩(wěn)性檢驗、自相關和偏自相關檢驗、ARCH檢驗以及Hurst檢驗之后,結合碳價日收益率序列的特征構建GARCH模型,并估計GARCH模型的參數(shù),運用GARCH模型對標的碳價日收益率波動率進行預測;最后將GARCH模型預測的波動率作為分形布朗運動期權定價方法中的輸入值,從而實現(xiàn)對碳期權的定價。

為更好地衡量基于GARCH分形布朗運動模型的碳期權定價方法的效果,本文同時計算了基于歷史波動率的B-S碳期權定價方法的定價結果,并將2種碳期權定價結果分別與實際碳期權交易價格收盤價比較,進而驗證本文提出的碳期權定價方法的有效性。

3實證分析

3.1　樣本選取及預處理

考慮數(shù)據(jù)的可獲得性和完整性,本文選取洲際交易所(https://www.theice.com)2013-04-09—2014-04-17期間的2014年12月到期的EUA期貨每日收盤價為樣本內(nèi)研究對象,同時剔除在此期間無成交量導致收盤價為零的交易日數(shù)據(jù),為使檢驗效果更好,本文選取的碳價對數(shù)收益率為R=100(lnPt-lnPt-1),總計獲得有效數(shù)據(jù)為264個。本文以該期間的交易數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)樣本檢驗,估計出GARCH模型參數(shù)和預測未來10 d的日波動率,同時以此期間的碳價收益率序列計算碳價收益率的日歷史波動率。

為驗證碳期權定價方法的合理性,本文選取倫敦洲際交易所中以2014年12月到期的EUA期貨為標的、2014-04-18—2014-05-01期間的EUA期貨期權每日交易收盤價為驗證對象。

3.2　碳價收益率特征檢驗

碳價收益率序列描述性統(tǒng)計見表1所列,碳價收益率序列的峰度值為22.037 27,顯著大于正態(tài)分布的峰度值3;偏度值為-2.355 335,顯著異于正態(tài)分布的偏度值0;該序列的Jarque-Bera統(tǒng)計量為4 230.688,P值顯著接近于0。這說明碳價收益率序列存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象,顯著不服從正態(tài)分布。

表1　碳價收益率序列描述性統(tǒng)計

對碳價收益率做平穩(wěn)性檢驗發(fā)現(xiàn),碳價收益率序列的ADF平穩(wěn)性檢驗統(tǒng)計量值為-14.577 62,小于在1%顯著性水平下的臨界值-3.455 193,同時分別小于在顯著性水平5%和10%下的臨界值-2.872 370和-2.572 615,可得出碳價收益率序列為平穩(wěn)時間序列。

在平穩(wěn)性檢驗的基礎上,進一步檢驗碳價收益率的自相關性和偏自相關性。分別計算碳價收益率時間序列殘差和殘差平方的36階滯后項相關系數(shù)和偏自相關系數(shù),發(fā)現(xiàn)其均存在自相關和偏自相關,并結合AIC(Akaike information criterion)最小原則,AR(2)具有最優(yōu)的擬合結果。

為進一步檢驗碳價收益率序列是否存在ARCH效應,本文對用AR(2)擬合后的殘差序列進行ARCH-LM檢驗,結果表明P值均為0,拒絕序列不存在ARCH效應的原假設;殘差序列的ARCH效應很明顯,即AR(2)模型的殘差存在自回歸條件異方差。

為驗證碳價收益率是否存在分形特征,本文采用R/S類方法計算的Hurst指數(shù)來判斷。本文計算出2013-04-09—2014-04-17期間碳價收益率的Hurst指數(shù)值為0.676 5,該值大于0.5,說明碳價收益率具有長記憶性,即存在分形特征。

3.3　GARCH模型的參數(shù)估計和驗證

鑒于上述樣本數(shù)據(jù)檢驗中碳價收益率是平穩(wěn)序列以及存在ARCH效應的檢驗結果,碳價收益率時間序列符合GARCH模型的構建條件。本文建立AR(2)-GARCH(1,1)-N模型來刻畫碳價收益率的波動率,模型參數(shù)估計具體公式如下:

rt=0.253 036+0.168 054rt-1-

0.184 222rt-2+εt

(7)

(8)

參數(shù)估計模型中,β0=0.963 283>0,β1=0.746 207>0,χ1=0.140 120>0,且滿足GARCH模型構建的約束條件,即

β1+χ1=0.746 207+0.140 120=

0.886 327<1。

對通過AR(2)-GARCH(1,1)-N模型模擬后的殘差和殘差平方進行自相關和偏自相關檢驗,發(fā)現(xiàn)其已經(jīng)不存在自相關和偏自相關。本文同時對模擬后的殘差進行ARCH檢驗,發(fā)現(xiàn)用AR(2)-GARCH(1,1)-N模擬后的殘差序列的ARCH檢驗結果中P值為17.10%,說明模擬后的殘差序列不存在ARCH效應。

綜上所述,經(jīng)過GARCH(1,1)-N模型的處理,碳價收益率序列的各種信息得到了很好的描述。因此,本文構建的GARCH模型對碳價收益率波動率的刻畫是合理的。

3.4　碳價收益率波動率的預測

本文根據(jù)已估計的AR(2)-GARCH(1,1)-N模型,以2014-04-17為基準日,向前預測R的未來10 d碳價收益率日波動率,隨后計算R/100的未來10 d日波動率,具體的計算數(shù)據(jù)見表2所列。由于分形布朗運動價格變動過程公式中所采用的波動率是年化波動率,因此,本文根據(jù)(9)式將未來10 d日波動率轉化為年化波動率。

(9)

表2　預測的碳價收益率波動率未來10 d數(shù)據(jù)

3.5　實證結果及其分析

本文以EUA期貨歐式看漲期權為定價對象,選取碳期權合約中交易較為活躍、價格較大的碳期權作為計算對象。

該期權標的為2014年12月到期的EUA 期貨,其執(zhí)行價格為3.5歐元/噸二氧化碳當量。隨后分別采用本文提出的碳期權定價方法和B-S期權定價法對EUA期貨期權運用蒙特卡羅模擬進行模擬定價,然后將2個定價的結果分別和實際EUA期貨期權交易價格進行比較分析。其中運用B-S期權定價法定價時,采用(10)式計算2013-04-09—2014-04-17期間碳價收益率的日歷史波動率,并結合年化波動率計算公式,得出此期間的年化歷史波動率為0.669 1。

(10)

本文運用Matlab對2種期權定價方法分別用蒙特卡羅模擬10 000次,模擬結果見表3所列。

表3　碳期權模擬定價結果比較

由表3可知,本文提出的碳期權定價方法的模擬結果與碳期權實際交易價格的誤差率最大僅為13.090 8 %,最小為0.077 5%;而基于B-S的碳期權定價結果中最大的絕對誤差率為62.936 8%,最小的也有7.049 2%。并且采用平均絕對誤差率和均方根誤差2個統(tǒng)計量來衡量2個期權定價模型的精確程度時,本文提出的碳期權定價方法的模擬結果的平均絕對誤差率和均方根誤差分別為5.271 6 %、16.114 7 %,均小于B-S期權定價結果的38.526 5%和66.400 0%。結果表明本文提出的碳期權定價方法的模擬定價結果顯著優(yōu)于B-S期權定價方法的定價結果。

本文提出的碳期權定價方法比B-S的碳期權定價方法有效的主要原因在于:

(1) 從實際的數(shù)據(jù)檢驗中發(fā)現(xiàn),碳價收益率的殘差平方是存在波動聚集效應的,且ARCH效應檢驗表明碳價收益率波動率存在條件異方差,說明碳價收益率波動率不為恒定常量。本文提出的碳期權定價方法在定價時考慮的波動率是時變的,而B-S期權定價法假定波動率是一個恒定常量。因此,碳價收益率波動率不為恒定常量這一現(xiàn)象不符合B-S期權定價方法假定,使得B-S期權定價方法模擬結果較大偏離實際碳期權價格。

(2) 碳價的Hurst指數(shù)檢驗值為0.676 5,并不等于0.5,說明碳價并不遵循幾何布朗運動。本文提出的碳期權定價方法認為碳價的變化過程符合分形布朗運動,而B-S期權定價法認為碳價的變化過程符合幾何布朗運動,故而碳價不遵循幾何布朗運動的這一結論不符合B-S期權定價方法的假定,使得B-S期權定價方法的模擬結果偏離實際碳期權價格。

因此,本文提出的碳期權定價方法更符合現(xiàn)實情況,比B-S期權定價方法更優(yōu)。

為檢驗本文提出的碳期權定價方法的穩(wěn)健性,本文改變以2014年到期的EUA期貨為標的的期權合約執(zhí)行價格,選取交易較為活躍的執(zhí)行價格為每噸二氧化碳當量4.5歐元的碳期權合約作為驗證對象,驗證結果發(fā)現(xiàn):本文提出的碳期權定價方法的模擬定價結果的誤差率絕對值仍然全部低于B-S期權定價方法的模擬定價結果。因此，本文提出的研究方法具有很好的穩(wěn)健性。

4結束語

本文提出了基于GARCH分形布朗運動模型的碳期權定價方法,實證結果發(fā)現(xiàn): EUA期貨價格收益率呈現(xiàn)出尖峰厚尾、條件異方差以及分形現(xiàn)象；AR(2)-GARCH(1,1)模型能很好地刻畫碳價收益率的時變波動率； 基于GARCH分形布朗運動模型的碳期權定價方法的預測精度顯著高于B-S期權定價方法的預測精度。

本文的研究貢獻在于將分形布朗運動和GARCH模型結合,提出一種貼合碳金融市場特征的歐式碳期權定價方法,有助于投資者做出較為合理的碳期權投資決策,以便降低碳交易風險;同時為我國未來開展碳期權交易、實現(xiàn)科學定價提供借鑒。由于本文提出的碳期權定價方法在10 d以內(nèi)的效果比較穩(wěn)健,而10 d以外的效果穩(wěn)健性較差,因此,本文提出的基于GARCH分形布朗運動模型的碳期權定價方法適用于碳期權的短期價格預測,而有待進一步考慮使用諸如隨機波動率模型與分形布朗運動的結合,來預測碳期權較長期價格。

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(責任編輯張淑艷)

Carbon option pricing based on fractional Brownian

motion combined with GARCH model

ZHANG Chen,PENG Ting,LIU Yu-jia

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:This paper introduces the idea of combining generalized autoregressive conditional heteroskedasticity(GARCH) model and fractional Brownian motion into carbon option pricing. Firstly, the test results from closing price of European Union Allowance(EUA) Futures show that obvious peak and fat tails, heteroscedasticity and fractal feature reside in the data. Secondly, the GARCH model is used to fit the volatility of EUA Futures price, which can reasonably describe and forecast the time-varying volatility. With the forecasted volatility being the input in fractional Brownian motion carbon option pricing, the Monte Carlo simulation is used to simulate the pricing of EUA Futures options, and then the pricing result is compared with that of Black-Scholes option pricing model. The result shows that carbon option pricing based on fractional Brownian motion combined with GARCH model can improve the pricing accuracy.

Key words:carbon option pricing; generalized autoregressive conditional heteroskedasticity(GARCH) model; fractional Brownian motion; Black-Scholes option pricing

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.11.022

作者簡介：徐晟(1972-),男,湖北浠水人,博士,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

基金項目：教育部人文社會科學研究基金資助項目(11YJA630167);安徽省軟科學研究計劃資助項目(1402052017)

收稿日期：2014-10-23；修回日期：2015-04-10

中圖分類號:F831.5

文獻標識碼：A

文章編號：1003-5060(2015)11-1553-06