基于平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計(jì)漸近正態(tài)性

孫　婷,　凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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基于平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計(jì)漸近正態(tài)性

孫婷,凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230009)

摘要:文章基于解釋變量X具有函數(shù)特征而響應(yīng)變量Y取值于實(shí)數(shù)空間R的條件下,研究了基于平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計(jì)的漸近性質(zhì)。利用經(jīng)典的N-W核估計(jì)的方法構(gòu)造了回歸函數(shù)r(x)的改良核估計(jì),在一定的條件下,應(yīng)用鞅差中心極限定理建立了基于平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計(jì)的漸近正態(tài)性,從而推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果。

關(guān)鍵詞:改良核回歸估計(jì);函數(shù)型數(shù)據(jù);遍歷過(guò)程;鞅差中心極限定理;漸近正態(tài)性

0引言

眾所周知,回歸函數(shù)的估計(jì)及其性質(zhì)的研究是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的重要問(wèn)題之一,它的結(jié)果在通信、統(tǒng)計(jì)模式識(shí)別及計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。非參數(shù)回歸函數(shù)的核估計(jì)方法是非參數(shù)回歸估計(jì)的核心,在有限維場(chǎng)合下,無(wú)論在獨(dú)立或某種相依情形下,很多學(xué)者都對(duì)回歸函數(shù)核估計(jì)漸近性質(zhì)進(jìn)行了研究,如文獻(xiàn)[1-4]。由于回歸函數(shù)的核估計(jì)在通常情況下要求隨機(jī)變量Y具有l(wèi)階矩,其中l(wèi)>1,而非參數(shù)回歸函數(shù)改良核估計(jì)有效地降低了對(duì)響應(yīng)變量Y矩的要求,因此對(duì)回歸函數(shù)改良核估計(jì)量的性質(zhì)研究也是很有必要的。文獻(xiàn)[5]構(gòu)造了非參數(shù)回歸函數(shù)改良核估計(jì)量,并研究了在i.i.d.下非參數(shù)回歸函數(shù)改良核估計(jì)的強(qiáng)相合性及收斂速度。

近年來(lái)函數(shù)型數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、金融、環(huán)境等領(lǐng)域,因此,函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷特別是非參數(shù)回歸函數(shù)統(tǒng)計(jì)分析受到很多學(xué)者的關(guān)注。函數(shù)型數(shù)據(jù)最大的特點(diǎn)是數(shù)據(jù)具有函數(shù)性特征,在對(duì)函數(shù)型數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí),將觀測(cè)到的數(shù)據(jù)看作一個(gè)整體,而不是一串?dāng)?shù)字。文獻(xiàn)[6]提出了函數(shù)型非參數(shù)回歸算子的N-W核估計(jì),并獲得了非參數(shù)回歸算子估計(jì)量的漸近性質(zhì);文獻(xiàn)[7]建立了α-混合函數(shù)型數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸函數(shù)的漸近正態(tài)性;文獻(xiàn)[8]研究了基于相依函數(shù)型數(shù)據(jù)的回歸函數(shù)估計(jì),并獲得了估計(jì)量的幾乎必然收斂速度;文獻(xiàn)[9]基于α-混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)條件下建立了回歸算子的改良核估計(jì),并獲得了估計(jì)量的幾乎完全收斂性和收斂速率。另一方面,實(shí)際上很難驗(yàn)證一個(gè)非線(xiàn)性時(shí)間序列是否為α-混合[10],而驗(yàn)證時(shí)間序列數(shù)據(jù)遍歷性則相對(duì)比較簡(jiǎn)單,因此,研究平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸函數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)也很有必要。文獻(xiàn)[11]利用經(jīng)典的N-W核估計(jì)方法研究了平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下回歸算子估計(jì)量的漸近正態(tài)性;文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步研究了平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下回歸算子估計(jì)量的強(qiáng)逐點(diǎn)收斂速度及其一致收斂速度；文獻(xiàn)[13]利用鞅的方法，建立了平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下條件分位數(shù)估計(jì)的相合性。

本文利用鞅的方法研究了基于平穩(wěn)遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計(jì)的漸近正態(tài)性。

1模型和假設(shè)

設(shè)(X1,Y1),…，(Xn,Yn)為同分布于(X,Y)的平穩(wěn)遍歷序列,其中(X,Y)為E×R上的一對(duì)隨機(jī)變量，且X為定義在具有半度量d(·,·)的抽象的無(wú)限維函數(shù)空間E上,Yi、Y取值于實(shí)值空間R。對(duì)?x∈E,回歸算子定義為:

r(x)=E(Y|X=x)。

回歸算子r的N-W核估計(jì)[8]為:

此時(shí),進(jìn)一步考慮回歸函數(shù)的改良N-W核估計(jì)，即

(1)

令

為了證明本文的主要結(jié)論,下面給出4個(gè)基本假設(shè)。

(1)Fx(u)=φ(u)f1(x)+o(φ(u)),u→0。

H3E[|Y2||X]≤C<∞。

H4該假設(shè)包含4個(gè)方面。

(1) 給定σ-域Gi-1,Yi的條件期望只取決于Xi,即E(Yi|Gi-1)=E(Yi|Xi)=r(Xi),對(duì)所有u,v∈E,存在β>0,c1>0,使|r(u)-r(v)|≤c1d(u,v)β。

(2) 給定σ-域Gi-1,Ti的條件期望只取決于Xi,即E(Ti|Gi-1)=E(Ti|Xi)=W1(Xi)。

H1是研究函數(shù)型非參數(shù)回歸函數(shù)估計(jì)量的常用假設(shè),參見(jiàn)文獻(xiàn)[8];H2表現(xiàn)了小球概率的性質(zhì),其在遍歷性與函數(shù)型之間起重要作用,如文獻(xiàn)[11-12];H3則在給定解釋變量X下對(duì)響應(yīng)變量Y做出條件矩的要求,其條件弱于文獻(xiàn)[7]中相應(yīng)的條件;H4體現(xiàn)了遍歷性特征,對(duì)結(jié)論的證明起重要作用,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

2主要結(jié)果

Bn(x)=Cn(x)-r(x)

(2)

令Qn(x)和Rn(x)分別為:

顯然可得到:

(3)

因此有:

(4)

定理1假設(shè)H1～ H4成立,并且當(dāng)n→∞時(shí),滿(mǎn)足以下條件:

(5)

那么對(duì)于?x∈E,使得f1(x)>0,則有:

(6)

其中，對(duì)j≥1有：

再由(4)式、(5)式,則有:

(7)

3若干引理及定理的證明

3.1　基本引理及證明

引理1假設(shè)H1、H2(1)(2)(3)成立,且對(duì)任何實(shí)數(shù)1≤j≤2+δ,1≤k≤2+δ,δ>0,當(dāng)n→∞時(shí)有:

其中,

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]引理1的證明。

引理2假設(shè)H1、H2成立且滿(mǎn)足(5)式,對(duì)?x∈E,則有:

(8)

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]引理3的證明。

引理3假設(shè)H1、H2、H3、H4(1)且(5)式成立,對(duì)?x∈E,則有:

(9)

(10)

證明根據(jù)Bn(x)的定義,可直接得到:

事實(shí)上,有

其中

E[TiΔi(x)-r(x)Δi(x)|Gi-1]=

E[TiΔi(x)-r(x)Δi(x)|Xi]=

E[YiΔi(x)-r(x)Δi(x)|Xi]-

E[YiI(|Yi|≥bn)Δi(x)|Xi]=

(r(Xi)-r(x))Δi(x)-Δi(x)E[YiI(|Yi|≥

Δi(x)E[YiI(|Yi|≥bn)|Xi]。

另外,可以得到:

E[YiI(|Yi|≥bn)|Xi]≤

(9)式得證,另一方面,由文獻(xiàn)[12]的(3.9)式有:

(11)

因此,結(jié)合(9)式、(11)式,可以證明(10)式成立。

引理4假設(shè)H1～H4成立,且滿(mǎn)足(5)式,那么對(duì)于?x∈E,使得f1(x)>0,則有:

(12)

證明令

(13)

且定義vn,i=wn,i-E[wn,i|Hi-1],則可以得到:

(14)

首先證明第1部分,顯然可以得到如下不等式:

(15)

類(lèi)似于引理3及利用引理1,則有：

|E[(Ti-r(x))Δi(x)|Hi-1]|×

則只需證明(16)式成立,即可證明第1部分。

(16)

要證明(16)式,觀察得到:

根據(jù)條件期望的性質(zhì),很容易得到:

(W1(Xi)-r(x))|Hi-1]=0。

因此可直接得到:

其中

(17)

(18)

利用H4(3)可知:

顯然可以得到:

利用H2(2)(3)及引理1,可以得到:

(19)

對(duì)于S2n,由W1(Xi)=E[Ti|Xi],則有:

r(x)-E(YiI(|Yi|≥bn)|Xi))2|Hi-1]|=

E(YiI(|Yi|≥bn)|Xi))2|Hi-1]|。

由引理1可知,|S2n|→0,a.s，因此可得:

則第1部分得證。

3.2　定理1的證明

由(3)式和引理2、(10)式,結(jié)合引理4,即可證明(6)式,最后再結(jié)合(9)式則可證明(7)式,即定理1得證。

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(責(zé)任編輯張镅)

Asymptotic normality of modified kernel regression

estimation for functional stationary ergodic data

SUN Ting,LING Neng-xiang

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:In this paper, the asymptotic property of modified kernel regression estimation for functional stationary ergodic data is researched when the explanatory variable X has functional characteristic and the response variable Y is a scalar in real-value space R. Specifically, the modified kernel estimation of the regression function r(x) is constructed by using the classic Nadaraya-Watson estimator. Under certain conditions, the asymptotic normality of modified kernel regression estimation for functional stationary ergodic data is established by applying the martingale difference central limit theorem, which extends the α-mixing data to the functional stationary ergodic data.

Key words:modified kernel regression estimation; functional data; ergodic process; martingale difference central limit theorem; asymptotic normality

中圖分類(lèi)號(hào):O212.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2015)11-1580-05