高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略淺探

李珠琳

摘 要：高中數(shù)學(xué)之難，難如上青天，尤其是恒成立問題，這是無數(shù)學(xué)子的噩夢，要想弄明白這方面的內(nèi)容真的很不易，解題時(shí)會遇到各種各樣的困難。然而，其重要性不言而喻，所以即便再難，也必須要學(xué)好。在實(shí)際學(xué)習(xí)中為了能夠更好地解這些恒成立問題，就應(yīng)該深入探索解題策略，找尋一套適宜的方法，讓恒成立問題不再是學(xué)習(xí)的死角，如此才能學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：解題策略；等式關(guān)系；意義

高中數(shù)學(xué)相較于小學(xué)和初中而言，難度系數(shù)明顯增大，各種難點(diǎn)也相繼出現(xiàn)，而恒成立問題就屬于其中一項(xiàng)。如今的高中數(shù)學(xué)，做題是重點(diǎn)，然而縱觀當(dāng)前學(xué)生的解題情況，實(shí)在是不容樂觀。恒成立問題對于這些高中生而言，簡直就跟天書無異，就算好不容易能夠看明白，但最后做出來的答案竟然還是讓人失望。其實(shí)，高中數(shù)學(xué)需要探究剖析，只要學(xué)生肯多思考、善變通，那么最終恒成立問題也不過如此。

一、探析高中數(shù)學(xué)恒成立問題解題策略的意義

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中頻繁出現(xiàn)的一項(xiàng)內(nèi)容，在做題過程中經(jīng)常會遇到。何為恒成立？它指的是在給定的條件下，無論變量如何發(fā)生變化，命題都一定成立。恒成立問題涉及許多數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，這些都是教學(xué)大綱中標(biāo)明的重點(diǎn)，也是高考中必然會出題的知識點(diǎn)。所以，高中生要想學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須要會解恒成立問題，掌握這項(xiàng)解題能力，這是毋庸置疑的學(xué)習(xí)目標(biāo)，也是不可忽視的學(xué)習(xí)方法。高中數(shù)學(xué)畢竟不同于其他科目，學(xué)起來沒有那么簡單，任何一個(gè)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，必定是喜歡鉆研、樂于思考、愿意深入探析數(shù)學(xué)世界的人。對于恒成立問題，既然知曉它的重要性以及難度，那么肯定不能遇難退縮，反之要迎難而上，探析恒成立問題的解題策略。也只有這樣，學(xué)生才能解決高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的這塊心病，讓數(shù)學(xué)不再存在無法跨越的鴻溝。高中數(shù)學(xué)恒成立問題解題策略的探析，是為了更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)能力，成為新時(shí)期社會需要的高能型人才。

二、高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略

1.轉(zhuǎn)不等關(guān)系為等式關(guān)系

在小學(xué)和初中的時(shí)候，學(xué)生接觸的大都是相等關(guān)系，也就是說最后求出的結(jié)果是對的，放到原題中可以成立。而高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在恒成立問題方面卻會涉及很多不等關(guān)系，本來題目就難，然后摻雜不等式在其中，對學(xué)生造成很大的干擾，經(jīng)常會解錯(cuò)題。這時(shí)候，就應(yīng)該將問題簡單化，將不等式轉(zhuǎn)換為等式，轉(zhuǎn)化為自己熟悉的東西，再加以解答，肯定會簡單得多。善于變通、轉(zhuǎn)復(fù)雜化為簡單化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須具備的一種能力，尤其是在不等關(guān)

系恒成立的問題中。

例如，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中有一課是“一元二次不等式”，很多試卷上都有關(guān)于這方面的題目，所占分值也很高，同樣學(xué)生的答錯(cuò)率也比較高。比如：若y∈R（R為實(shí)數(shù)），不等式ny2+2y+3>0恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍。這道題題目很簡單，文字簡潔，然而做對的學(xué)生卻很少，不是學(xué)生不會做，而是做錯(cuò)，主要就是因?yàn)檫@個(gè)不等號的存在。這時(shí)候，就應(yīng)該要將這個(gè)不等式看做等式，先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后按照正常解題過程解這個(gè)恒成立問題，最后再對結(jié)果進(jìn)行不等轉(zhuǎn)換。只有如此才能提高正確率，降低恒成立問題的難度。

2.含參不等式解題思路

高中數(shù)學(xué)的恒成立問題，其中涉及最多的就是求未知常數(shù)范圍了，比如a、b、f等各種字母，這是學(xué)生深惡痛絕的一類題目。其實(shí)，只要仔細(xì)研究，我們會發(fā)現(xiàn)其實(shí)解決這種恒成立問題是有法可依的，并沒有看上去那么難以理解，完全可以將式子中的常數(shù)看做是已知數(shù)，代入其中解題，最后再求范圍。這樣一來，再復(fù)雜的題目也會變得簡單很多。在考試過程中，含參不等式恒成立問題一直是備受關(guān)注的問題，它不僅僅包含集合、函數(shù)，同時(shí)也包含數(shù)列和不等式、方程等內(nèi)容，該知識點(diǎn)十分活躍，且題目形式及解題方法十分靈活，使得學(xué)生常常將其與不等式能成立問題相混淆，導(dǎo)致無法正確地進(jìn)行解題，因此，教師要采取有效的教學(xué)策略來讓學(xué)生掌握含參不等式的解題思路。

例如，含參不等式中m，x是兩個(gè)變量，x設(shè)為已知量，基于轉(zhuǎn)化與歸化的數(shù)學(xué)思想，想要待求變量可以采用已知變量的形式來解決。解法案例為：f（x）=x2-2ax+2當(dāng)x∈[-1，+∞]，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。分析如下：在a與x兩個(gè)變量中，x是已知范圍，應(yīng)以x為自變量函數(shù)，解法如下：設(shè)F（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a，Δ=4（a-1）（a+2）。

①當(dāng)Δ<0時(shí)，即-2

②當(dāng)Δ≥0時(shí)可得：Δ≥0f（-1）≥0-≤1，即（a-1）（a+2）≥0a+3≥0a≤-1

得-3a-2；

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

高中數(shù)學(xué)恒成立問題歷來就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)需要攻克的難點(diǎn)，很多高中生之所以數(shù)學(xué)學(xué)不好，大部分都是跌在了此處。但是，在解題過程中，若學(xué)生善于變通，轉(zhuǎn)不等關(guān)系為等式關(guān)系，化未知數(shù)為已知數(shù)，會發(fā)現(xiàn)恒成立問題并沒有想象得那么難如登天。探析高中恒成立問題的解題策略，提高解題能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松簡單。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭衍軍.淺談不等式“恒成立”問題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（12）.

[2]王志光.淺談高中數(shù)學(xué)恒成立問題解決方法[J].數(shù)理化解題研究：高中版，2012（11）.

編輯 溫雪蓮