基于導(dǎo)學(xué)案建設(shè)的三角形“四心”問題

宋偉

摘 要：三角形的外心、內(nèi)心、重心、垂心以及三角形的外心與幾何圖形的有機結(jié)合，可拓寬應(yīng)用范圍，使很多幾何問題得以解決，向量法解決“四心”問題可以簡化計算.要注重概念的內(nèi)含與外延.

關(guān)鍵詞：外心；內(nèi)心；垂心；重心

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，“四心”問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何與向量問題中.三角形的“四心”問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中比較棘手的問題.如果我們對這一問題進行專項訓(xùn)練和研究會收到良好的效果.我們應(yīng)該對“四心”的概念及性質(zhì)做到心中有數(shù)，三角形“四心”即外心、內(nèi)心、重心、垂心.

一、在立體幾何中，經(jīng)常涉及三角形的“四心”問題

1.常見題型

過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥a，垂足為O，連接PA，PB，PC

（1）若PA=PB=PC，△ABC是直角三角形，則點O是AB邊的 中點.

（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的外心.

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA則點O是△ABC的垂心.

2.三角形的外心在立體幾何中有廣泛的應(yīng)用

在高考中，有時會涉及空間幾何體的內(nèi)切及外接球問題，事實證明，學(xué)生對這個問題的處理能力非常薄弱，不得要領(lǐng).很多學(xué)生按照思維定式試圖畫出圖形來觀察，結(jié)果陷入誤區(qū).要畫出比較直觀的立體圖形是難上加難，但如果抓住要領(lǐng)，不畫球就能解決所有問題，其中特別有一類關(guān)于三棱錐和三棱柱的外接球問題.

對于三棱錐或三棱柱的外接球問題，我們首先可以借助于正弦定理求出底面三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理求幾何體外接球半徑.

已知，球的直徑SC=4，A，B是該球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為（ ）

A. B. C. D.1

我們可以通過余弦定理先求出△ABC的∠C的余弦值，再求出∠C的正弦值，然后利用正弦定理求出三角形△ABC的外接圓半徑，△ABC外心和SC中點的連線就是棱錐高的一半，這樣利用勾股定理即可求出棱錐的高，問題得以解決.答案是C.這類題在高考選擇題中都屬于壓軸題目，如果我們選擇了比較合理的方法可以迅速準(zhǔn)確地得出問題的答案.

二、向量與三角形“四心”的結(jié)合

向量在處理和解決三角形“四心”問題上具有獨到的作用.向量本身具有雙重身份：一是幾何形式——向量既有大小，又有方向，向量可以用有向線段來表示，其運算都具有明確的幾何意義；二是代數(shù)形式——平面內(nèi)任意向量都可以用有序數(shù)對來表示，這就使得向量成為了溝通代數(shù)與幾何的有力工具.

1.三角形重心的（中線交點）性質(zhì)

命題1 點O是△ABC的重心的充要條件是

命題2 若點O是△ABC的重心，則S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC

2.三角形內(nèi)心的（內(nèi)角平分線交點）性質(zhì)

命題3 已知I為△ABC所在平面上的一點，且AB=c，AC=b，BC=a.若a+b+c=0，則I為△ABC的內(nèi)心.

3.三角形垂心的（高線的交點）性質(zhì)

命題4 P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC的垂心.

4.三角形外心的（中垂線的交點）性質(zhì)

命題5 O是△ABC的外心

基于三角形“四心”問題在立體幾何與向量問題上的重要性，導(dǎo)學(xué)案在設(shè)計時首先要明確學(xué)生必須要掌握的知識與技能，三角形“四心”的概念和性質(zhì).在導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計上可以以一些立體幾何中常見問題為依據(jù)，教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決這類問題的常用方法.引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的外心找到解決空間幾何體的外接球問題的方法，給出向量與三角形“四心”的五個常見命題，并展開交流討論.導(dǎo)學(xué)案的最后要給學(xué)生設(shè)計當(dāng)堂的反饋環(huán)節(jié)，使得導(dǎo)學(xué)案做到有時效性，而不是流于形式.

不論是向量法在解決“四心”問題上的獨到優(yōu)勢，還是“四心”問題在立體幾何中的有效使用，都給我們提供了解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.基于導(dǎo)學(xué)案解決三角形的“四心”問題更是給我們學(xué)生提供了一個強有力地教學(xué)平臺，做到有的放矢.

參考文獻：

[1]劉超.三角形四心性質(zhì)的討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（12）.

[2]李顯權(quán).簡述三角形四心的優(yōu)美向量性質(zhì)[J].中學(xué)教研：數(shù)學(xué)，2011（03）.

注：本文系河北省教育科學(xué)研究所《高中基于導(dǎo)學(xué)案建設(shè)高效課堂的研究》（課題編號：1405455）的研究成果。

編輯 魯翠紅