矩陣有理標(biāo)準(zhǔn)形的性質(zhì)研究及其應(yīng)用

李紹剛

(1.桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院;　2.廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

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矩陣有理標(biāo)準(zhǔn)形的性質(zhì)研究及其應(yīng)用

李紹剛1，2

(1.桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院;2.廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

[摘要]研究了矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形理論，給出了友矩陣的主要性質(zhì)和判斷其相似對角化的條件，證明了線性定常系統(tǒng)的能控性，研究了偽隨機(jī)數(shù)的生成過程和周期性，并對其在自動控制和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用做了一定的解讀，最后用實(shí)例驗(yàn)證系統(tǒng)的有效性.

[關(guān)鍵詞]友矩陣; 有理標(biāo)準(zhǔn)形; 狀態(tài)方程； 能控系統(tǒng)； 偽隨機(jī)數(shù)

1引言

矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形理論應(yīng)用非常廣泛，復(fù)數(shù)域上任何一個矩陣均相似于一個若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，任何數(shù)域上的矩陣則相似于一個有理標(biāo)準(zhǔn)形，可以證明一個復(fù)矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形和其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是相似的，見文獻(xiàn)[1]，由于沒有數(shù)域上的限制，有理標(biāo)準(zhǔn)形在很多學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，比如在微分方程組的計(jì)算[2]，群的構(gòu)造[3]，對于有理標(biāo)準(zhǔn)形的Matlab軟件計(jì)算，文獻(xiàn)[4]給出了相應(yīng)的算法，在計(jì)算機(jī)上可以輕松實(shí)現(xiàn)，以上均可以說明其應(yīng)用是比較廣泛的.

本文首先研究有理標(biāo)準(zhǔn)形的友矩陣的性質(zhì)，其次研究了有理標(biāo)準(zhǔn)形在自動控制領(lǐng)域中狀態(tài)方程的計(jì)算方面、計(jì)算機(jī)科學(xué)中的偽隨機(jī)數(shù)生成器方面等的應(yīng)用，最后進(jìn)行了總結(jié)和歸納.

2基本理論

2.1　基本概念

定義1[5]對數(shù)域P上的一個多項(xiàng)式d(λ)=λn+a1λn-1+…+an稱矩陣

(1)

為多項(xiàng)式d(λ)的伴侶陣，又稱作友矩陣.

定義2[5]下列準(zhǔn)對角矩陣

(2)

稱為P上的一個有理標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，其中Ai分別是數(shù)域P上某些多項(xiàng)式di(λ)(i=1,2,…,s)的伴侶陣，且滿足d1(λ)|d2(λ)|…|ds(λ),d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次數(shù)之和為n.

2.2　基本性質(zhì)

友矩陣在有理標(biāo)準(zhǔn)形中起著至關(guān)重要的作用，其主要性質(zhì)總結(jié)歸納如下：

比如d(λ)=λ3+2λ2-3λ+1的伴侶陣為

性質(zhì)2有理標(biāo)準(zhǔn)形矩陣B的不變因子為1,1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)，其中1的個數(shù)等于d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次數(shù)之和n減去s.

性質(zhì)3多項(xiàng)式d(λ)的友矩陣A的行列式det(A)=(-1)nan.利用性質(zhì)3易知

性質(zhì)4當(dāng)an≠0，A可逆且

性質(zhì)5多項(xiàng)式d(λ)的友矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式為

m(λ)=f(λ)=λn+a1λn-1+…+an.

性質(zhì)1-5易證，證明從略.

2.3　基本定理

定理1[5]數(shù)域P上n×n方陣A在P上相似于唯一的一個有理標(biāo)準(zhǔn)形B，稱為A的有理標(biāo)準(zhǔn)形.

有理標(biāo)準(zhǔn)形的具體計(jì)算步驟如下：

步驟1求出A的不變因子為d1(λ),d2(λ),…,dn(λ);

步驟2對每個次數(shù)大于0的不變因子di(λ)寫出其對應(yīng)的友矩陣Ai(i=1,2,…n);

利用以上3個步驟可以方便快捷的計(jì)算方陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形，舉例如下：

2.4　基本例題

例1設(shè)6階矩陣A的不變因子為1,1,1,λ-1,(λ-1)(λ+2),(λ-1)2(λ+2)，求A的有理標(biāo)準(zhǔn)形.

解由不變因子可知三個伴侶陣為

故可得A的有理標(biāo)準(zhǔn)形為

例2求矩陣

的有理標(biāo)準(zhǔn)形.

解A的不變因子為

d1(λ)=1,d2(λ)=1,d3(λ)=(λ-1)(λ2+4λ+2)=λ3+3λ2-2λ-2.

故A的有理標(biāo)準(zhǔn)形為

從以上兩個例題不難發(fā)現(xiàn)，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算依賴于矩陣不變因子的求解.

3重要應(yīng)用

3.1　在自動控制領(lǐng)域中的應(yīng)用

3.1.1基本概念與引理

定義3[6]以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間.

系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)向量x(t)在狀態(tài)空間中是一個點(diǎn)，系統(tǒng)隨時(shí)間的變化過程，使x(t)在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡.

定義4[6]將反映系統(tǒng)動態(tài)過程的微分方程或傳遞函數(shù)，轉(zhuǎn)換成一階微分方程組的形式，并利用矩陣和向量的數(shù)學(xué)工具，將一階微分方程組用一個式子來表示，這就是狀態(tài)方程.

y(t)=Cx(t),

系統(tǒng)的能控性指的是控制作用對被控系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行控制的可能性，對于給定的系統(tǒng)稱其完全能控是指對任意初始時(shí)刻的任意一個初始狀態(tài)總可以找到一個容許控制使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài).

引理1[6](代數(shù)判據(jù))線性定常系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)

其狀態(tài)完全能控的充條件是由A,b構(gòu)成的能控性判別矩陣

Qc=(b,Ab,A2b…An-1b)

是行滿秩矩陣，即有rank(Qc)=n.

引理2[6]線性定常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能控性保持不變.

引理3[6](模態(tài)判據(jù))線性定常系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)

其狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值λi(i=1,2…n)滿足

rank(λiE-A,b)=n,i=1,2…n.

代數(shù)判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是方便計(jì)算，缺點(diǎn)是無法確定狀態(tài)空間中哪些變量(特征值、極點(diǎn))能控；模態(tài)判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是易于確定哪些變量能控，缺點(diǎn)是需要求系統(tǒng)的特征值.這兩類方法優(yōu)勢互補(bǔ)，可根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法.

3.1.2狀態(tài)方程的建立

下面以控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為例給出線性定常連續(xù)與離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的構(gòu)造過程.

為方便起見，記號如下：

情形1線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程

(i)

選取y和y(i)為系統(tǒng)狀態(tài)向量，記

則上述方程可化為n個一階常微分方程

寫成矩陣形式為

(ii) 作用函數(shù)含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

選取y和y(i)為系統(tǒng)狀態(tài)向量，記

則上述方程可化為n個一階常微分方程

其中

h1=b1-a1b0,h2=(b2-a2b0)-a1h1…h(huán)n=(bn-anb0)-an-1h1-…-a1hn-1.

矩陣形式為

情形2線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程

(i)作用函數(shù)不含未來項(xiàng)

y(k+n)+a1y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+any(k)=u(k).

選取狀態(tài)變量為

x1(k)=y(k),x2(k)=y(k+1),…，xn(k)=y(k+n-1),

根據(jù)離散系統(tǒng)差分方程可得狀態(tài)方程

x1(k+1)=x2(k),

x2(k+1)=x3(k+1),

……

xn(k+1)=-anx1(k)-an-1x2(k)-…-a2xn-1(k)-a1xn(k)+u(k).

矩陣形式為

(ii)作用函數(shù)含未來項(xiàng)

y(k+n)+a1y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+any(k)

=b0u(k+n)+b1u(k+n-1)+…+bn-1u(k+1)+bnu(k).

選取狀態(tài)變量為

x1(k)=y(k)-b0u(k),

x2(k)=x1(k+1)-h1u(k),

……

xn(k)=xn-1(k+1)-hn-1u(k),

其中

h1=b1-a1b0,

h2=(b2-a2b0)-a1h1,

……

hn=(bn-anb0)-an-1h1-…-a1hn-1.

根據(jù)離散系統(tǒng)差分方程可得狀態(tài)方程

x1(k+1)=x2(k)+h1u(k),

x2(k+1)=x3(k)+h2u(k),

……

xn(k+1)=-anx1(k)-an-1x2(k)-…-a2xn-1(k)-a1xn(k)+hnu(k).

矩陣形式為

經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪x取狀態(tài)變量，上述系統(tǒng)均可以轉(zhuǎn)化為帶有友矩陣的狀態(tài)方程.

3.1.3主要結(jié)論

上述所有系統(tǒng)中的矩陣均為伴侶陣(友矩陣)，為方便系統(tǒng)的研究，對友矩陣進(jìn)行相似對角化顯得尤為必要，下面給出友矩陣相似對角化的條件，即有如下結(jié)論.

定理2設(shè)A為d(λ)=λn+a1λn-1+…+an的伴侶陣，若d(λ)=0有n個不同的根λ1,λ2,…，λn，則存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ，其中Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}，

證利用性質(zhì)5可知

只需驗(yàn)證AP=PΛ.注意到λ1,λ2,…λn也為A的n個特征值，且

從而有

比較以上兩式即證AP=PΛ.

定理3線性定常系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)

其狀態(tài)是完全能控的, 稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形.

證Qc=(b,Ab,A2b,…,An-1b)

為斜對角線上元素均為1的下三角形矩陣，從而rank(Qc)=n，即能控矩陣為行滿秩矩陣，由引理1可知上述系統(tǒng)為完全能控的.

例3將狀態(tài)方程

化為對角標(biāo)準(zhǔn)形，并判別系統(tǒng)的能控性.

解特征方程為

f(λ)=λ3+6λ2+11λ+6=(λ+1)(λ+2)(λ+3)=0,

特征值為λ1=-1,λ2=-2,λ3=-3，系統(tǒng)矩陣為友矩陣，且特征值互異，故可以對角化，其變換矩陣

故線性變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為

由引理2可知線性變換不改變系統(tǒng)的能控性，又注意到

故有rank(λiE-A)=3=n(i=1,2,3),從而系統(tǒng)可控.

例4已知某離散系統(tǒng)的差分方程為

y(k+3)+3y(k+2)+y(k+1)+2y(k)=u(k),

試求其狀態(tài)空間表達(dá)式.

解選狀態(tài)變量

x1(k)=y(k)，x2(k)=y(k+1)，x3(k)=y(k+2)，

則直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式如下

y(k)=x1(k),

寫成矩陣形式

由引理3可知該系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形，若改變選擇狀態(tài)變量的方法，也可以將該離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換成另一種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式.

3.2　在偽隨機(jī)數(shù)中的應(yīng)用

真正意義上的隨機(jī)數(shù)是在某次產(chǎn)生過程中按照實(shí)驗(yàn)過程中表現(xiàn)的分布概率隨機(jī)產(chǎn)生的，其結(jié)果是不可預(yù)測的，是不可見的.而計(jì)算機(jī)中的隨機(jī)函數(shù)是按照一定算法模擬產(chǎn)生的，其結(jié)果是確定的，是可見的.這個可預(yù)見的結(jié)果其出現(xiàn)的概率是必然的.所以用計(jì)算機(jī)隨機(jī)函數(shù)所產(chǎn)生的“隨機(jī)數(shù)”并不隨機(jī)，是偽隨機(jī)數(shù).

偽隨機(jī)數(shù)中一個很重要的概念就是“種子”，種子決定了偽隨機(jī)數(shù)的固定序列，下面構(gòu)造迭代序列xn+1=Axn, 其中A為上述定義的友矩陣，A的元素ai∈Z2,i=1,2,…n,Z2表示只包含0與1的集合，上述序列可以看成“種子”，利用循環(huán)子空間的概念和線性空間的直和分解，可以得到偽隨機(jī)數(shù)生成的重要結(jié)果.

定義5[7]設(shè)σ是n維線性空間V上的線性變換，若存在α∈V使得向量組

α,σ(α),σ2(α)…σn-1(α)

線性無關(guān)，且σn(α)可由該向量組性表示，則稱向量組為V的循環(huán)基，稱張成的子空間

L(α,σ(α),σ2(α)…σn-1(α))

為V上的循環(huán)子空間，σ稱為循環(huán)變換.

引理4[7]設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間，對于V上的任意冪零變換σ，V必可分解為循環(huán)子空間的直和

V=T1⊕T2⊕…⊕Tt

使得σ限制在每個循環(huán)子空間Ti為循環(huán)變換.

Apy=y,Ary≠y，1

其中y∈V.

證若A可逆，則A是線性空間V的一個排列，則y∈V,y的周期不超過2n.設(shè)A的最小多項(xiàng)式為

m(λ)=φ1(λ)n1φ2(λ)n2…φk(λ)nk，

V=N1⊕N2⊕…⊕Nk,

每個Nj的循環(huán)基向量合并在一起就可以構(gòu)成V的一組基，不妨假設(shè)Nj的循環(huán)基為

vj,1,Avj,1,…,Asj,1vj,1,

vj,2,Avj,2,…,Asj,2vj,2,

…

vj,sj,Avj,sj,…,Asj,sjvj,sj.

h(A)=Ap-1=0,(Ap-1)y=0.

即證Apy=y,y∈V.

對于友矩陣A，其最小多項(xiàng)式為

m(λ)=λn+a1λn-1+…+an.

容易求出，進(jìn)而可得偽隨機(jī)數(shù)的生成過程.

4結(jié)論

本文研究了矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形中的伴侶矩陣的性質(zhì)，對有理標(biāo)準(zhǔn)形在自動控制領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)中偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生等進(jìn)行了較為深入的探討，作為矩陣的一類等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)類，相比其他標(biāo)準(zhǔn)類不受數(shù)域的影響.

[參考文獻(xiàn)]

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[7]張賢科，許甫華. 高等代數(shù)學(xué) [M]. 2版. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

The Study on the Property of Matrix Rational

Canonical Forms and its Application

LIShao-gang1,2

(1.School of Mathematics and Computational Science, Guangxi Key Laboratory of Cryptography and Information Security,

2.Guilin University of Electronic Technology, Guilin, Guangxi 541004,China)

Abstract:This paper studies the theory of rational canonical forms about matrix, some properties of companion matrix and conditions of diagonalization are given，the controllability of linear time-invariant system are proved, the formation process and periodicity about pseudo-random numbers also studied. Furthermore, application of rational canonical forms in automatic control and computer science are stated in some interpretation. At last, the reliability of systems are validated by actual examples.

Key words:companion matrix; rational canonical forms; equation of state; control system; pseudo-random number

[基金項(xiàng)目]廣西區(qū)精品課程線性代數(shù)項(xiàng)目；線性代數(shù)課程與工程應(yīng)用型人才培養(yǎng)相結(jié)合的混合教學(xué)模式研究項(xiàng)目

[收稿日期]2014-12-20；[修改日期]2015-03-28

[中圖分類號]O151.21

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0076-08