關(guān)于矩陣秩概念建立上的一種幾何處理

郭聿琦，胡　洵，陳玉柱

(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅蘭州730000)

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關(guān)于矩陣秩概念建立上的一種幾何處理

郭聿琦，胡洵，陳玉柱

(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅蘭州730000)

[摘要]聯(lián)系對(duì)偶線性空間和對(duì)偶線性映射等概念，給出了矩陣的行秩與列秩相等的一個(gè)幾何證明.

[關(guān)鍵詞]矩陣的行(列)秩； 對(duì)偶線性空間； 對(duì)偶基； 對(duì)偶線性映射

參考文獻(xiàn)關(guān)于矩陣秩概念的建立，國(guó)內(nèi)外眾多文獻(xiàn)分別給出了許多不同的處理方法，諸如，[1]～[7]，以及最近，郭聿琦等在參考文獻(xiàn)[8]中給出的rspan(A)=rspan(A)的一個(gè)更自然，更直觀的證明(這一處理已吸收到參考文獻(xiàn)[9]中).

這里，我們?cè)俾?lián)系對(duì)偶線性空間和對(duì)偶線性映射等概念，給出下面定理2中關(guān)于rr(A)=rc(A)的一個(gè)新的幾何證明(接下來(lái)，關(guān)于這個(gè)非負(fù)整數(shù)恰為rd(A)的證明，可以按照參考文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行).

1矩陣秩概念建立上的宏觀開(kāi)發(fā)框架

矩陣秩概念的開(kāi)發(fā)步驟為，首先給出

定義1[9]稱(chēng)數(shù)域F上矩陣

的列向量組{α1，α2，…，αn}的秩為A的列秩，稱(chēng)它的行向量組{α(1)，α(2)，…，α(m)}的秩為A的行秩.當(dāng)A≠Om×n時(shí)，又稱(chēng)A的不為零的r階子式的最大階數(shù)為A的行列式秩，其中r階子式指的是位于A的某r行某r列交叉處的r2個(gè)元素按原順序形成的r階子陣的行列式，r=1，2，…，min{m，n}；當(dāng)A=Om×n時(shí)，定義A的行列式秩為0.因此，A的行秩，列秩和行列式秩都是非負(fù)整數(shù)，分別記它們?yōu)?/p>

rr(A)，rc(A) 和rd(A).

接著建立

定理2關(guān)于任意數(shù)域上的任意矩陣A，

最后給出

定義3稱(chēng)定理2中的rA為A的秩.

2矩陣秩概念建立上的微觀處理方法

矩陣秩概念建立上的微觀處理方法體現(xiàn)在定理2的證明上.

第一類(lèi)，證明rr(A)=rd(A)(定理2的第二個(gè)等式)，由行秩和列秩的對(duì)偶性，立得三非負(fù)整數(shù)相等的結(jié)論.

第二類(lèi)，證明rr(A)=rc(A)(定理2的第一個(gè)等式)，再證明這一非負(fù)整數(shù)恰為rd(A).

具體的處理方法一般都是針對(duì)rr(A)=rd(A)和rr(A)=rc(A).[2]，[6]，[7]屬于前者，我們收集到一種；[1]，[3]，[4]，[5]，[8]，[9]，[10] 屬于后者，我們收集到的(包括我們建立的一種)共四種.

3為第二類(lèi)補(bǔ)充一個(gè)幾何的處理方法

定義4[11]令V為域F上一n維線性空間.V上所有線性函數(shù)組成的集合L(V，F(xiàn))，在類(lèi)似于線性變換的加法和數(shù)乘下構(gòu)成域F上一n維線性空間，稱(chēng)它為V的對(duì)偶線性空間.記為

fi(αj)=δij，i，j=1，2，…，n

定理2的第一個(gè)等式的證明

首先羅列證明所需要的若干已知的事實(shí)如下.

事實(shí)1令V與V′分別為數(shù)域F上的n維和m維線性空間，(α1，α2，…，αn)和(β1，β2，…，βm)分別為V和V′的基底，L (V，V′)為V到V′的所有線性映射的集合.則

ζ∶fA

為L(zhǎng) (V，V′)到Fm×n的一個(gè)雙射，其中

f(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βm)A.

事實(shí)2[9](Sylvester 定理)令V與V′分別為數(shù)域F上的n維和m維線性空間，f為V到V′的線性映射.則

dim Kerf+dim Imf=dimV=n.

下面的事實(shí)是涉及線性映射的一個(gè)基本的線性相關(guān)性，它等價(jià)于Sylvester定理，見(jiàn)[9].

事實(shí)3[9]令V與V′分別為數(shù)域F上的n維和m維線性空間，f為V到V′的線性映射.令r=dim Kerf，(α1，α2，…，αr)為Kerf的一個(gè)基底，1≤r≤n-1，(即f不為零映射，也不為單射)，αr+1，αr+2，…，αl∈V.則α1，α2，…，αr，αr+1，…，αl線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)f(αr+1)，f(αr+2)，…，f(αl)線性相關(guān).

證明還需要以下一些涉及對(duì)偶線性空間，對(duì)偶基底，以及對(duì)偶線性映射的已知事實(shí).

事實(shí)4[11]令U，V分別為域F上的n維和m維線性空間，h為U到V的一個(gè)線性映射.則

(i) 關(guān)于任意g∈V*，有g(shù)h∈U*；

(ii) 定義V*到U*的一個(gè)映射h*為ggh，則h*為V*到U*的一個(gè)線性映射，稱(chēng)h*為h的對(duì)偶線性映射；

h∶U→V

事實(shí)5(事實(shí)4的推論)

因此，有

(iii)rh=rh*?rc(A)=rc(A′)(=rr(A)).

于是，要證明rr(A)=rc(A)，根據(jù)事實(shí)1和5，只需證明

rh=rh*，

其中h和h*的意義見(jiàn)上面的事實(shí)4，下證rh=rh*.

令rh=r.則由事實(shí)2知，

dim Kerh=n-r.

又令(αr+1，αr+2，…，αn)為Kerh的一個(gè)基底，將其擴(kuò)充為U的基底

(α1，…，αr，αr+1，…，αn).

由事實(shí)3知

(h(α1)=β1，h(α2)=β2， …，h(αr)=βr)

為Imh的基底，將其擴(kuò)充為V的一個(gè)基底(β1，β2，…，βr，βr+1，…，βm).

因此

再根據(jù)事實(shí)4，

上兩表示矩陣的列秩顯然相同，從而rh=rh*.

后記

(i) 關(guān)于對(duì)偶線性映射理論的開(kāi)發(fā)，一般地，是使用rr(A)=rc(A)，通過(guò)事實(shí)5得到rh=rh*.

(ii) 我們則通過(guò)(等價(jià)于Sylvester定理的)事實(shí)3，先建立rh=rh*，再通過(guò)事實(shí)5得到rr(A)=rc(A). 以此向讀者進(jìn)一步展示線性代數(shù)的代數(shù)理論與幾何理論的內(nèi)在聯(lián)系，也展示了對(duì)偶線性空間和對(duì)偶線性映射在線性代數(shù)基礎(chǔ)理論中的應(yīng)用.

(iii) 但該文的目的絕不意味著，是在建議高校數(shù)學(xué)類(lèi)各專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程“高等代數(shù)”使用此方法去證明rr(A)=rc(A). 因?yàn)閷?duì)偶線性映射的理論已超出“高等代數(shù)”課程大綱范圍.縱然，“高等代數(shù)”課程要涉及對(duì)偶線性空間和對(duì)偶線性映射的內(nèi)容，也是在后半本教材中，矩陣秩概念也實(shí)在用不著等到那時(shí)再建立.

[1]Karl W， Gruenberg， Alan J. Weir．Linear Geometry [M]．2nd Ed. New York： Springer-Verlag， Inc.， 1977.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù) [M].2版.北京：高等教育出版社，1988.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù) [M].3版.北京：高等教育出版社，2011.

[4]張賢科， 許甫華.高等代數(shù)學(xué) [M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[5]Lee W，Johnson R，Dean Riess， Jimmy T. Arnold.Introduction to Linear Algebra [M]. 4nd Ed. New York： Addison Wesley Longman， Inc.，1999.

[6]郭聿琦， 岑嘉評(píng)， 徐貴桐. 線性代數(shù)導(dǎo)引 (面向21 世紀(jì)課程教材)[M]. 北京: 科學(xué)出版社，2004.

[7]Guo Yuqi，Karping Shum，Xu Guitong.Linear Algebra (Translated by P. K. Tam from the new version of [6])[M]. Beijing: Science Press，2007.

[8]郭聿琦， 王正攀， 梁星亮. 矩陣秩概念開(kāi)發(fā)上的一個(gè)更簡(jiǎn)潔更干凈的處理[J]. 高等理科教育， 2014， 4: 89-91.

[9]郭聿琦， 岑嘉評(píng)， 王正攀. 高等代數(shù)學(xué)教程[M]. 北京: 科學(xué)出版社， 2014.

[10]丘維聲. 高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū) (上)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社， 2005.

[11]丘維聲. 高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū) (下)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社， 2009.

A Geometrical Treatment in Constructions of

the Concept of Matrix Rank

GUOYu-qi，HUXun，CHENYu-zhu

(Department of Mathematics and Statistics， Lanzhou University， Lanzhou 730000， China)

Abstract:Contacting with the concepts of dual linear space and dual linear mapping， we have given a geometrical proof of the equality of row rank and column rank of a matrix.

Key words:row (column) rank of matrix; dual linear space; dual base; dual linear mapping

[基金項(xiàng)目]蘭州大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目資助

[收稿日期]2014-12-10

[中圖分類(lèi)號(hào)]O153

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0072-04