關(guān)于解的延拓定理之注解

韓茂安，李繼彬

(1.上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200234；　2.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,金華321004)

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關(guān)于解的延拓定理之注解

韓茂安1，李繼彬2

(1.上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200234；2.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,金華321004)

[摘要]在數(shù)學(xué)專業(yè)的常微分方程課程里有關(guān)解的存在唯一性、解的延拓和解對(duì)初值與參數(shù)的連續(xù)性構(gòu)成了微分方程最基本的理論，這部分內(nèi)容既是常微分方程的重點(diǎn)，又是該課程的難點(diǎn).本文的目的是對(duì)解的延拓定理所涉及的概念和論證進(jìn)行系統(tǒng)的梳理和完善，并希望能夠彌補(bǔ)微分方程教材中的有關(guān)不足.

[關(guān)鍵詞]延拓; 李卜希茲條件; 飽和解

1解的存在與唯一性定理

考慮標(biāo)量微分方程

(1)

其中f為定義于下述矩形區(qū)域：

R∶|x-x0|≤a,|y-y0|≤b

(2)

上的連續(xù)函數(shù)(其中a與b為兩個(gè)正數(shù))，且存在常數(shù)L, 使對(duì)一切(x,y1),(x,y2)∈R成立

|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|.

如所周知，上述不等式稱為李卜希茲條件. 熟知的Picard存在唯一性定理可敘述如下.

定理1在上述假設(shè)下微分方程(1)存在唯一的定義于區(qū)間[x0-h,x0+h]且滿足初值條件y(x0)的解, 其中

上述定理是解的存在唯一性最經(jīng)典的結(jié)果，在許多常微分方程教材中都有證明，見(jiàn)[1]-[16].

下面，我們討論定義域更一般的標(biāo)量方程. 首先給出區(qū)域的概念. 按照數(shù)學(xué)分析教材所定義的，如果一平面點(diǎn)集G可以寫成一個(gè)非空連通開(kāi)集和該開(kāi)集的部分邊界點(diǎn)的并，就說(shuō)集合G是一個(gè)區(qū)域. 按照這個(gè)定義，區(qū)域可以開(kāi)的(如果它是連通開(kāi)集)，也可以是閉的(如果它是某一連通開(kāi)集和該開(kāi)集所有邊界點(diǎn)的并) 也可以是非開(kāi)非閉的. 例如，式(2)所定義的矩形R就是一個(gè)閉區(qū)域，而集合{(x,y)|x≥0,y>0}是一個(gè)區(qū)域，但它既不是開(kāi)的，也不是閉的. 又如，集合{(x,y)|x≥0}∪{(x,y)|x≤0,y=0}就不是一個(gè)區(qū)域.

現(xiàn)在，我們可以敘述比定理1更為一般的存在唯一性定理了.

定理2設(shè)方程(1)中的函數(shù)f為定義于某平面區(qū)域G上的連續(xù)函數(shù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件，即對(duì)G的任意內(nèi)點(diǎn)(x0,y0), 都存在以該點(diǎn)為心且含于G的矩形區(qū)域，使得函數(shù)f在該區(qū)域上關(guān)于y滿足李卜希茲條件，則微分方程(1)存在唯一的定義于以x0為心的某區(qū)間上且滿足初值條件y(x0)=y0的解.

上述定理很容易利用定理1的結(jié)論推出.

上述兩個(gè)定理都稱為解的存在唯一性定理，并且都在許多常微分方程教材中出現(xiàn)，它們的共同點(diǎn)是解的存在區(qū)間都是局部的. 其實(shí)，在微分方程定性理論中起基石作用的解的存在唯一性定理不是上面的局部結(jié)果，而是解的大范圍存在唯一性定理，這個(gè)定理是上面定理和解的延拓定理的直接推論. 下面一節(jié)我們就來(lái)詳細(xì)討論解的延拓定理.

2解的延拓定理

本段將假設(shè)方程(1)中的函數(shù)f為定義于某平面區(qū)域G上的連續(xù)函數(shù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件. 首先，我們引入延拓與限制的概念.

定義1設(shè)φ(x) (x∈I)與φ1(x) (x∈I1)均為方程(1)的解，其中I1與I2為兩個(gè)區(qū)間，如果

(i) I?I1, I≠I1;

(ii) ?x∈I, φ(x)=φ1(x),

則稱φ1為φ的延拓，同時(shí)稱φ為φ1的限制.

這里注意，說(shuō)定義在區(qū)間I上的函數(shù)φ為方程(1)的解，意味著函數(shù)φ在區(qū)間I上可導(dǎo)，且當(dāng)x∈I時(shí)成立(x,φ(x))∈G.

易見(jiàn)，延拓具有傳遞性，即如果方程(1)有三個(gè)解φ, φ1與φ2, 且φ2為φ1的延拓，φ1為φ的延拓, 則φ2為φ的延拓.

有了延拓的概念，就自然出現(xiàn)下面三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1給定一個(gè)解，它什么時(shí)候存在延拓呢？

問(wèn)題2一個(gè)解能夠延拓到什么程度呢？換句話說(shuō)，一個(gè)解是否存在最大范圍的延拓解？

問(wèn)題3這個(gè)最大范圍的延拓解具有什么性質(zhì)？

對(duì)于問(wèn)題1與3，許多常微分方程教材中都有研究，后面將指出在這些研究中存在的不足，而對(duì)問(wèn)題2，國(guó)內(nèi)教材中則沒(méi)有引起注意，而忽視了證明，本文的主要目的就是深入研究這一問(wèn)題. 考慮到系統(tǒng)性和完整性，下面對(duì)這三個(gè)問(wèn)題逐一詳細(xì)研究，并得到比現(xiàn)有常微分方程教材中更為細(xì)致周密的結(jié)論. 關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題，有

命題1設(shè)y=φ(x)是方程(1) 的解，定義于區(qū)間I. 又設(shè)c是區(qū)間I的一個(gè)端點(diǎn)，則

(i) 若c∈I時(shí)，且點(diǎn)(c,φ(c))是G的內(nèi)點(diǎn)，則該解必存在延拓；

(ii) 若c?I時(shí)，且函數(shù)φ(x)在點(diǎn)c存在有限的單側(cè)極限，記為d, 使得(c,d)∈G, 則該解必存在延拓.

那么，函數(shù)φ1就是φ的一個(gè)延拓. 這樣的延拓稱為φ的右向延拓. 類似地，可定義左向延拓.

如果c?I，且函數(shù)φ(x)在點(diǎn)c有有限的單側(cè)極限d，并使得(c,d)∈G, 那么導(dǎo)函數(shù)φ′(x)在點(diǎn)c也有有限的單側(cè)極限，于是下列函數(shù)

就是φ的一個(gè)延拓. 證畢.

由命題1易見(jiàn)，如果G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域，且y=φ(x)的定義在一個(gè)閉區(qū)間上，那么這個(gè)解一定有延拓, 而且有很多個(gè)延拓. 這就是眾多常微分方程教材中都講到的結(jié)論. 但如果區(qū)域G是閉的，則方程(1) 定義于閉區(qū)間上的解未必存在延拓. 例如，線性方程

的非零解都定義在閉區(qū)間[0,1] 上，這樣的解就不存在延拓. 又如，線性方程

在回答第二個(gè)問(wèn)題之前，需要引入飽和解與飽和區(qū)間的概念.

定義2設(shè)φ為(1)定義于區(qū)間I上的一個(gè)解，如果這個(gè)解不存在延拓，則稱它是(1)的飽和解(又稱不可延拓解)，同時(shí)稱區(qū)間I為飽和區(qū)間.

上述定義見(jiàn)[14] 等. 文獻(xiàn)[12] 給出了飽和解定義的另一種說(shuō)法，即

定義3設(shè)φ為(1)定義于區(qū)間I上的一個(gè)解，取x0∈I, 并令y0=φ(x0).如果方程(1)的過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的任何其他解都是φ的限制，則稱它是(1)的飽和解(又稱不可延拓解)，同時(shí)稱區(qū)間I為飽和區(qū)間.

上述兩個(gè)定義有沒(méi)有區(qū)別呢？下述命題給出了肯定的回答.

命題2設(shè)方程(1)有解y=φ(x), x∈I.如果這個(gè)解按照定義3是飽和解，則它按照定義2也是飽和解. 進(jìn)一步，如果定義于區(qū)域G上的連續(xù)函數(shù)f在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件，則定義2與定義3是等價(jià)的.

證命題的前半部分的結(jié)論是顯然的，現(xiàn)證后半部分. 只需證，在對(duì)f所做的假設(shè)下，如果方程(1)有解

y=φ(x)，x∈I，φ(x0)=y0，

它按照定義2是飽和解，即它不存在延拓，那么它按照定義3也必是飽和解，即要證方程(1)的任一滿足ψ(x0)=y0的解y=ψ(x),x∈J，都是φ的限制，除非它等于φ.先證在區(qū)間I∩J上成立φ=ψ.

我們指出, 如果不假設(shè)f在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件, 則方程(1)可能有這樣的解，它按照定義2是飽和解，而按照定義3它就不是飽和解.例如，方程

有過(guò)原點(diǎn)的解y=0與

按照定義2，這兩個(gè)解都是飽和解，但按照定義3，它們都不是飽和解.

上述命題和例子說(shuō)明定義2適用范圍更大一些，而定義3只適用于解的存在唯一性處處成立的情形.

利用飽和解的概念，前面的第二個(gè)問(wèn)題就是說(shuō)，一個(gè)非飽和解能不能延拓成飽和解?下面的命題3給出了明確的答案.

命題3設(shè)方程(1)中的函數(shù)f在平面區(qū)域G上連續(xù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件. 則該方程的任一非飽和解都能夠延拓成唯一的飽和解.

證這里提供三種證明方法.

證法1現(xiàn)設(shè)y=φ(x),x∈I為方程(1)的一給定非飽和解，那么由命題2這個(gè)解就一定存在延拓，每個(gè)延拓都有一個(gè)定義區(qū)間. 我們把所有延拓的定義區(qū)間的左端集中在一起構(gòu)成一點(diǎn)集E-，右端點(diǎn)集中在一起構(gòu)成集合E+. 令

α=infE-,β=supE+,

證法2同前，設(shè)y=φ(x)，x∈I為方程(1)的一給定非飽和解, 其延拓ψ的定義區(qū)間記為Iψ, 令

證法3先設(shè)區(qū)域G是開(kāi)集. 又設(shè)y=φ(x),x∈I為方程(1)的非飽和解, 則該解在區(qū)間的左端或右端可以延拓, 因此, 下列情況之一成立：

今以情況(a)為例證之. 因?yàn)镚是開(kāi)區(qū)域, 必存在無(wú)窮個(gè)嚴(yán)格遞增的緊集的序列Kj?G，j≥1, 使得

令

則由Picard存在唯一性定理的證明即知上述hj即合要求.

如果不要求方程(1) 中的函數(shù)f在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件，則可證其任一非飽和解都能夠延拓成飽和解. 詳見(jiàn)[13]與[14].

在進(jìn)一步討論飽和解的性質(zhì)之前，我們先引入下列定義.

定義4設(shè)(1)有定義于區(qū)間I的解y=φ(x)，I的端點(diǎn)為a與b, 其中-∞≤a

在上述定義中，當(dāng)a=-∞時(shí)，“任意接近a的點(diǎn)x∈I”理解為“存在負(fù)數(shù)x∈I，且|x|可以任意大”，解y=φ(x)在端點(diǎn)a達(dá)到或逼近G的邊界又可以說(shuō)成這個(gè)解左端達(dá)到或逼近G的邊界.

有了上述概念，我們就可以給出飽和解的性質(zhì)如下.

命題4設(shè)方程(1)中的函數(shù)f在平面區(qū)域G上連續(xù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件. 如果y=φ(x) (x∈I)是(1)的飽和解，則它在區(qū)間I的左右兩端都能夠達(dá)到或逼近區(qū)域G邊界.

則

由微分中值定理知φ在(a,a+ε0]上是一致連續(xù)的, 從而

必存在有限, 且(a,φ(a+))∈V(因?yàn)閂為緊集). 又因?yàn)閂位于G內(nèi), 故點(diǎn)(a,φ(a+))為G的內(nèi)點(diǎn). 于是由命題1φ在x=a可進(jìn)行左向延拓, 這與φ為飽和解矛盾. 證畢.

由命題3和命題4，即得下述解的延拓定理.

延拓定理設(shè)方程(1)中的函數(shù)f在平面區(qū)域G上連續(xù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件. 則該方程的任一非飽和解都能夠延拓成唯一的飽和解, 并且該飽和解在左右兩端都達(dá)到或逼近區(qū)域G的邊界.

通過(guò)對(duì)比可知，上述延拓定理的敘述不同于國(guó)內(nèi)外所有現(xiàn)有教材，這里的敘述更加準(zhǔn)確. 由這一延拓定理即得下述解的大范圍存在唯一性定理.

大范圍存在唯一性定理設(shè)方程(1)中的函數(shù)f在平面區(qū)域G上連續(xù)，且在G上關(guān)于y滿足局部李卜希茲條件. 則該方程過(guò)G內(nèi)任一點(diǎn)都存在唯一的飽和解.

最后指出，有關(guān)解的延拓的內(nèi)容，國(guó)內(nèi)許多教材[1-14]都存在下列一種或多種不足：

(i)沒(méi)有明確給出飽和解的概念或延拓的概念不準(zhǔn)確.

(ii)沒(méi)有列出也沒(méi)有證明命題3. 我們認(rèn)為要完整證明解的延拓定理，證明命題3是必不可少的一步.

(iii)沒(méi)有證明命題4, 只列出解的延拓定理，卻述而不證.

(iv)在證明命題4 時(shí)，把區(qū)域G視為了開(kāi)集，從而導(dǎo)致解的延拓定理的敘述不夠完美或不夠準(zhǔn)確，其證明不夠嚴(yán)密.

作者感謝Valery Romanovsky教授提供文獻(xiàn)[16]，以及有益的討論.

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[收稿日期]2014-10-23

[中圖分類號(hào)]O175.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0033-06