一類新的擬Bernstein-Bézier曲線

王青芳，陳曉彥，柏　凱，任　淼

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院， 安徽合肥230009)

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一類新的擬Bernstein-Bézier曲線

王青芳，陳曉彥，柏凱，任淼

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院， 安徽合肥230009)

[摘要]構造了一類新的帶雙參數(shù)形狀可調的擬Bernstein基函數(shù)，它是在三次Bernstein多項式的基礎上擴展而成的一組n次擬Bernstein基.在此基礎上，定義了帶雙形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線，它保留了Bézier曲線的幾何特征，并具有形狀可調的特性.在控制點給定的情況下，可通過改變形狀參數(shù)的值整體或局部地調控曲線的形狀，同時給出參數(shù)控制及曲線拼接應用的實例.

[關鍵詞]擬Bernstein基； 擬Bernstein-Bézier曲線； 形狀參數(shù)； 幾何造型

1引言

在計算機輔助幾何設計中，由Bernstain多項式構造的Bézier曲線[1-2]簡單且直觀，具有舉足輕重的意義.但一組控制頂點對應一條Bézier曲線，若要改變曲線的形狀必須對控制頂點進行相應的調整，這使曲線構造較為死板和不便.為了使這一類曲線的調控更具靈活性，構造帶形狀參數(shù)的基函數(shù)或調配函數(shù)成為倍受歡迎的方法之一[3-4].文獻[5]通過在多項式空間中構造一類帶有n-1個局部控制參數(shù)的基函數(shù)對曲線進行局部控制，曲線的調控對應不同參數(shù)上的調控在實際應用中雖然更為細致，但也更為繁瑣.文獻[6]中利用遞歸方法提出一種新的基函數(shù)，基于這個遞歸定義了Bézier-like曲線，它的形狀參數(shù)可以調整曲線的形狀而并不改變控制點.Zhu Yuanpeng[7]等提出具有兩個參數(shù)的αβ-Bernstein-like指數(shù)型的基函數(shù)，說明了指數(shù)型的形狀參數(shù)對曲線預測式的調整有較好的優(yōu)越性.而文獻[8]則構造了帶一個參數(shù)的三次三角Bézier曲線.劉植[9-10]等利用n次及n+1次Bernstein基的凸組合構造了一組新的n+1次多項式調配函數(shù)，使之具有類似Bernstein基的性質，同時引入多個形狀參數(shù)作為對曲線形狀的調控參數(shù).

首先，本文定義的擬Bernstein基函數(shù)及擬Bernstein-Bézier曲線不但具有與Bernstein基函數(shù)及Bézier曲線類似的幾何特性，而且當所有參數(shù)取1時即為n次Bernstein基函數(shù)及Bézier曲線.用該類基函數(shù)構造的含形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線含有2個獨立的形狀參數(shù)，且與Bézier曲線次數(shù)一致，即次數(shù)并未增加.在不改變控制頂點位置的情況下，通過形狀參數(shù)的取值變化，對曲線形狀的調控比Bézier曲線更為靈活.其次，與現(xiàn)有其他擴展方法(如文獻[5])相比，本文構造的擬Bernstein多項式構成了多項式空間的一組基函數(shù)，其相應的擬Bernstein-Bézier曲線用較少的形狀參數(shù)對曲線進行整體與局部調控，既滿足了不同曲線形狀的設計控制需要，又避免了多個參數(shù)取值修改所造成的不必要的繁瑣.最后，本文的數(shù)值實例說明該方法是切實有效的.

2擬Bernstein基函數(shù)

首先，在三次Bernstein基函數(shù)的基礎上引入兩個形狀參數(shù)，并遞歸定義一組新的n次多項式如下.

bi，n(t)=(1-t)bi，n-1(t)+tbi-1，n-1(t)，i=0，1，…，n，n>3

(1)

規(guī)定

b-1，n-1(t)=bn，n-1(t)=0，

其中

(2)

(i) 線性無關性；

(ii) 對稱性：當λ=μ時，bi，n(t)=bn-i，n(1-t)；

(iii) 非負性：bi，n(t)≥0，i=0，1，…，n；

n=4時，

同理依次類推，由

(ii)λ=μ時，容易驗證

bi，3(t)=b3-i，3(1-t)，i=0，1，2，3

滿足對稱性，由(1)式容易看出，n次擬Bernstein多項式滿足對稱性.

bi，3≥0，i=0，1，2，3，

由(1)式立得非負性.

(iv) 容易驗證

同時由遞推公式可得

故

以此類推

(v) 由于

故

b0，n(0)=bn，n(1)=1.

下證

先驗證當n=3和n=4時上述等式成立：

假設n=2k，n=2k-1時等式成立，若當n=2k+2，n=2k+1時也成立，即證.

當n=2k時成立，有

當n=2k-1時成立，有

而當n=2k+1時，由遞推公式

因為

bi，2k+1=(1-t)bi，2k+tbi-1，2k，

所以

依j=0，1，2，…展開恰好等式

當n=2k+1時成立.同理n=2k+2時也成立.由數(shù)學歸納法即證

其中i=1，…，n-1，j=0，1，…，i-1，k=0，1，…，n-i-1.

3擬Bernstein-Bézier曲線

(3)

顯然，λ=μ=1時n次擬Bernstein-Bézier曲線p(t)退化為n次Bézier曲線.根據定理1，容易驗證擬Bernstein-Bézier曲線具有如下性質.

定理2(3)式定義的帶形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線具有如下性質：

(i) 端點性質：

(ii) 對稱性：由控制多邊形P0P1…Pn-1Pn和PnPn-1…P1P0定義的兩條擬Bernstein-Bézier曲線是相同的，只是定向相反.由擬Bernstein基函數(shù)的對稱性立得

(iii) 凸包性：由擬Bernstein基函數(shù)的非負性和規(guī)范性性可得.

(iv) 幾何不變性：由擬Bernstein基函數(shù)的規(guī)范性性易知，曲線不隨坐標系的選取而改變，所以曲線p(t)具有幾何不變性.

由定理2可看出，擬Bernstein-Bézier曲線與Bézier曲線有許多類似的性質，不同的是擬Bernstein-Bézier曲線中含有可調的形狀參數(shù)，從(1)，(2)式顯然可以看出，參數(shù)λ的值只對曲線(3)式的前半部分起作用，參數(shù)μ的值只對曲線的后半部分進行控制，即參數(shù)的取值可以整體或局部調控曲線的形狀，這使曲線得在幾何造型中更加靈活.

當n=3時，取λ=1，μ=-1，0，1，如圖1所示；當n=4時，μ=-1，λ=-1，0，1，如圖2所示.

圖1　形狀參數(shù)μ對曲線形狀的影響圖2　形狀參數(shù)λ對曲線形狀的影響

給定控制點，當P0=Pn時，曲線是一條閉曲線.如圖3，4所示的為4次擬Bernstein-Bézier曲線擬合的花瓣圖案.圖3僅以形狀參數(shù)μ的調控為例，取

μ=-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，λ=1；

圖4中僅以形狀參數(shù)λ的調控為例，取

λ=-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，μ=1.

圖3　形狀參數(shù)μ調控的四片花瓣圖案圖4　形狀參數(shù)λ調控的六芒星花瓣圖案

4擬Bernstein-Bézier曲線的應用實例

在幾何造型中，我們不僅可以對控制點進行調配，還可以對形狀參數(shù)進行控制.當控制頂點給定時，可以利用形狀參數(shù)更加理想的組合擬Bernstein-Bézier曲線形狀.如圖5，圖6是模擬的童裝口袋邊緣及中央圖案的組合曲線圖形.口袋邊緣是四段組合擬Bernstein-Bézier曲線，其中參數(shù)λ=μ=1.圖5中的四葉草圖案以及圖6中的雙心形圖案的參數(shù)均取為λ=1，μ=0.5.

圖5　四葉草圖案的口袋造型圖6　雙心形圖案的口袋造型　

除了用控制點對曲線進行控制，在控制點固定的情況下擬Bernstein-Bézier曲線也可通過對參數(shù)的調節(jié)生成不同的曲線.如圖7中的六幅動物圖案設計，均為相同的控制點.將曲線的主要部分分為曲線1、曲線2及曲線3三部分，其中曲線1部分均設參數(shù)值λ=μ=-1.曲線2部分即耳朵圖案部分參數(shù)值設置，其中λ，μ值越小，耳朵越短小，λ，μ值越大，耳朵則偏細長，曲線3部分即動物臉圖案部分參數(shù)值設置，λ，μ值越小，臉圖案越偏橢圓，λ，μ值越大，臉圖案則越呈“上瘦下胖”.

(1) λ2=1，μ2=1;λ3=1，μ3=1　　(2) λ2=0，μ2=0;λ3=0，μ3=0

(3) λ2=1，μ2=1;λ3=-1，μ3=-1　(4) λ2=1，μ2=-1;λ3=0，μ3=0

(5) λ2=-1，μ2=-1;λ3=-1，μ3=-1　(6) λ2=0，μ2=0;λ3=-1，μ3=-1圖7　動物圖案的參數(shù)控制(固定控制點)

5結論

本文給出了一類新的含有雙參數(shù)的擬Bernstein多項式，它具有與傳統(tǒng)Bernstein多項式類似的一些幾何特性，如線性無關性，非負性，規(guī)范性等.與現(xiàn)有其他擴展方法相比，本文提出的擬Bernstein多項式構成了多項式空間的一組基函數(shù).由于含有可調的形狀參數(shù)，擬Bernstein基函數(shù)具有可調性.由擬Bernstein基函數(shù)構造的擬Bernstein-Bézier曲線也具備傳統(tǒng)Bézier曲線的若干性質，且更加注重實際應用中曲線調控的方便和靈活性.在不改變控制頂點的前提下，可通過形狀參數(shù)不同的取值對擬Bernstein-Bézier曲線局部或整體進行調控，從而達到多樣化曲線設計的效果.數(shù)值實例表明本文方法是行之有效的.

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A Class of New Quasi-Bernstein-Bézier Curves

WANGQing-fang，CHENXiao-Yan，BAIKai，RENMiao

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009, China)

Abstract:A class of new Quasi-Bernstein basis functions with two shape parameters is constructed， which is the recursive approach of cubic Bernstein basis functions. Based on these basis functions， a new type of Quasi-Bernstein-Bézier curve with two shape parameters is defined. The new curve contains some properties of the classical Bernstein-Bézier curve. We present that the shape of the Quasi-Bernstein-Bézier curves can be adjusted globally or locally by changing the values of the shape parameters when the control polygon is maintained. Meanwhile， the examples illustrate that the altered shape parameters make it a valuable method for the design of curves.

Key words:Quasi-Bernstein basis function; Quasi-Bernstein-Bézier Curves; shape parameters; geometric modeling

[基金項目]國家自然科學基金(11471093); 高等學校博士學科點專項科研基金資助課題(20110111120026); 安徽省高等學校自然科學研究項目(KJ2014ZD30); 合肥工業(yè)大學大學生創(chuàng)新計劃項目(2014CXCY558)

[收稿日期]2015-02-03；[修改日期]2015-03-10

[中圖分類號]O241.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)02-0026-07