動力學中的臨界極值問題探析

周春++王梅蓉

所謂臨界狀態(tài)，是指當某種物理現(xiàn)象（或物理狀態(tài)）變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象（或物理狀態(tài)）的轉折狀態(tài).臨界現(xiàn)象是“量變引起質變”的哲學思想在物理學上的生動體現(xiàn)，極值問題則是在滿足一定的條件下，某物理量出現(xiàn)極大值或極小值的情況.臨界問題往往是和極值問題聯(lián)系在一起的.

在解決臨界極值問題需注意以下幾點：

（1）臨界狀態(tài)是一個特殊的轉換狀態(tài)，是物理過程發(fā)生變化的轉折點，在這個轉折點上，一些物理量達到極值.

（2）許多臨界問題常在題目的敘述中出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”等詞語，對臨界問題給出了一定的暗示，審題時只要抓住這些特定詞語的內涵規(guī)律就能找到臨界條件.

（3）有的臨界問題通常具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，審題時應力圖還原習題的物理情景，抓住臨界狀態(tài)的特征，找到正確的解題方向.

解決動力學的臨界極值問題通常有兩類方法，一類是物理方法，另一類是數(shù)學方法.

一、用物理方法解臨界極值問題

直接把物理問題（物理過程）推到極端，分析在極端情況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)和滿足的條件，討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而求出臨界值.

例1 一個質量為0.2kg的小球用細繩吊在傾角θ=53°的斜面頂端，如圖1所示，斜面靜止時，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，不計摩擦，當斜面以10m/s?的加速度向右做加速運動時，求繩的拉力及斜面對小球的彈力的大小.

解析當加速度a較小時，小球與斜面體一起運動，此時小球受重力m、繩的拉力T和斜面的支持力Ⅳ三個力作用，繩平行于斜面.當加速度a足夠大時，小球將“飛離”斜面，此時小球只受重力和繩的拉力作用，繩與水平方向的夾角未知，題目中要求a=10m/S?時繩的拉力及斜面的支持力，必須先求出小球恰好離開斜面的臨界加速度ao，此時，小球所受斜面支持力恰好為零.

由mgcotθ=mao

得ao=gcotθ=7.5m/s?

而a=10m/S?>ao

故此時小球已離開斜面，小球受力情況如圖2所示，則

例2 一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧，上端固定，下端系一質量為m的物體，有一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長度，如圖3所示，現(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a（a

解析木板與物體之間作用力恰好為零時是兩者分開的臨界點.

設物體與平板一起向下運動的距離為x時，物體受重力mg、彈簧的彈力kx和平板的支持力N作用.

對物體，由牛頓第二定律得：

mg-kx-N=ma

當N=O時，物體與平板恰好分離，此時由上式可得：

mg-kx=ma

由于木板一直做加速度為a的勻加速直線運動，則由運動學規(guī)律得：

例3如圖4所示，質量為M的木板上放著一質量為m的木塊，木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ1，木板與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ2.求加在木板上的水平拉力F為多大時，才能將木板從木塊下抽出？設木塊與木板之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.

解析 M和m以摩擦力相聯(lián)系，只有當二者發(fā)生相對滑動時，才有可能將M從m下抽出，因此臨界狀態(tài)是：M與m間的摩擦力必定是最大靜摩擦力fm，且m運動的加速度必定是二者共同運動時的最大加速度am.

設此時作用于M的力為Fm，再取M、m整體為研究對象，則有

Fm-μ2（M+m）g=（M+m）am

即FFm=（μl+μ2）（M+m）g

當F>Fm，即F>（μ1+μ2）（M+m）g時，才能將木板從木塊下抽出.

二、用數(shù)學方法解臨界極值問題

先以物理定理、定律為依據(jù)，求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后運用數(shù)學知識求極值，常用的數(shù)學方法有函數(shù)法、一元二次方程判別式法、不等式法、圖象法等.

例4 如圖5所示，質量為m的物體放在水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，用大小為F的恒力使物體沿地面向右做直線運動，物體可視為質點，則怎樣施力才能使物體產生最大的加速度？最大加速度為多少？

解析 設力F與水平方向夾角為a，對物體受力分析如圖6所示.

對物體有

Fcos0一uN=ma

N+Fsina=mg

例5 水平傳送帶被廣泛地應用于機場和火車站，用于對旅客的行李進行安全檢查.圖7為一水平傳送帶裝置示意圖，繃緊的傳送帶AB保持某一恒定速率運行.一質量為m=4kg的行李無初速度地放在A處，設行李與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，AB間的距離ι=2m，g取10m/S?.求行李從4處傳送到B處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率.

解析 行李無初速地放在傳送帶上后，先在傳送帶的帶動下做勻加速運動，當物體的速度增加到與傳送帶速度相等時，與傳送帶一起做勻速運動.行李運動的v-t圖象如圖8所示，圖線與t軸包圍的面積表示行李運動的位移大小，圖8畫出了行李在傳送帶不同的運行速度下的v-t圖象.由圖象可以看出，當傳送帶運行的速度越大，傳送的時間越短，因此當行李從A處一直勻加速運動到B處時，傳送時間最短，

行李剛開始運動時所受的滑動摩擦力

f=μmg

由牛頓第二定律，得

f=ma

代人數(shù)值，得a=1m/S?

得tmin=2s

傳送帶對應的最小運行速率

Vmin=atmin=2m/s

臨界極值問題是動力學中常見而又重要的一類問題，解決這類問題，正確的受力分析是基礎，準確的找到臨界極值情況是關鍵.