牛頓運動定律中圖象問題的把握和應用

馮蘭

利用圖象考查牛頓運動定律主要分兩類動力學問題：1、若已知v-t圖象，則利用圖象確定不同階段的a、v、t.然后由牛頓定律求解相關問題；2、若已知F-t圖象，則利用圖象確定不同時段的受力，然后由牛頓定律求出加速度再由運動定律求解相關問題.下面我們分三個層次來分析、處理該類考題.

一、與牛頓運動定律相關的v-t圖象問題

該類問題處理的關鍵是：1、會應用牛頓運動定律分析物理模型；2、理解加速度與速度的關系；3、v-t圖象中某點斜率的意義——加速度，斜率為正說明速度與加速度同向，斜率為負說明速度與加速度反向，關注斜率有突變的點；某段時間內(nèi)圖線與t軸圍成的面積——位移.

例1 以不同的初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受空氣阻力可以忽略，另一個物體所受空氣阻力大小與物體的速率成正比，下列分別用虛線和實線描述兩物體運動的v-t圖象可能正確的是

（）

解析 本題考查v-t圖象.當不計阻力上拋物體時，物體做勻減速直線運動，圖象為一條傾斜直線，因加速度a=-g，故該傾斜直線的斜率的絕對值等于g.當上拋物體受空氣阻力的大小與速率成正比時，對上升過程，由牛頓第二定律得-mg-kv=ma，可知物體做加速度逐漸減小的減速運動，通過圖象的斜率比較，A錯誤，從公式推導可知上升過程中|a|>g，當v=0時，物體運動到最高點，此時a=-g，而B、C圖象的斜率的絕對值均小于g，故BC錯誤，D正確.

點撥 有阻力上拋運動中的動力學問題，圖象特殊點的斜率.

例2 如圖l（a），一物塊在t=0時刻滑上一固定斜面，其運動的v-t圖線如圖（b）所示.若重力加速度及圖中的vo、v1、t1均為已知量，則可求出

（）

A.斜面的傾角

B.物塊的質量

C.物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)

D.物塊沿斜面向上滑行的最大高度

解析 設物塊的質量為m、斜面的傾角為0，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，物塊沿斜面上滑和下滑時的加速度大小分別為a1和a2，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ+μmgcosθ=ma1，mgsinθ-μmgcosθ=ma2.再結合v-t圖線斜率的物理意義有：a1-vo/t1，a2=v1/tl.由上述四式可見，無法求出m，可以求出θ、μ，故B錯，A、C均正確.o～t1時間內(nèi)的v-t圖線與橫軸包圍的面積大小等于物塊沿斜面上滑的最大距離，θ已求出，故可以求出物塊上滑的最大高度，故D正確，本題答案：ACD.

點撥：1.能對斜面上物體受力分析，會用牛頓第二定律列出表達式；2.圖線斜率大小等于加速度大小，圖線與橫軸包圍的面積大小等于位移的大小.

二、與牛頓運動定律相關的F-t圖象問題

該類問題處理的關鍵是：除了在第一點中提到的要求外，還要能熟練地將F-t圖、a-t圖、v-t圖聯(lián)系起來.

例3 一質量為m=40kg的小孩在電梯內(nèi)的體重計上，電梯從t=0時刻由靜止開始上升，在o到6s內(nèi)體重計示數(shù)F的變化如圖所示.試問：在這段時間內(nèi)電梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/S?.

解析 由圖2可知，在O-2s內(nèi)，體重計的示數(shù)大于mg，故電梯應做向上的加速運動.設在這段時間內(nèi)體重計作用于小孩的力為Ⅳ.，電梯及小孩的加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律，得

Nl-mg=ma1

在這段時間內(nèi)電梯上升的高度

在2-5s內(nèi)，體重計的示數(shù)等于mg，故電梯應做勻速上升運動，速度為t1時刻的電梯的速度，即v1=a1t1，在這段時間內(nèi)電梯上升的高度h2=v1t2

在5-6s內(nèi)，體重計的示數(shù)小于mg，故電梯應做減速上升運動.設這段時間內(nèi)體重計作用于小孩的力為N2，電梯及小孩的加速度為a2，由牛頓第二定律，得：

mg-f2=ma2

在這段時間內(nèi)電梯上升的高度

電梯上升的總高度h=h1+h2+h3

代人數(shù)據(jù)解得h=9m

點撥：由F隨時間的變化知道a隨時間的變化進一步聯(lián)系到速度隨時間的變化.

解法二：這題可以根據(jù)F、a、v間的關系得到a-t圖、v-t圖（如圖3所示），解題思路可以更清晰，解題過程也會更加簡潔.

例4將力傳感器A固定在光滑水平桌面上，測力端通過輕質水平細繩與滑塊相連，滑塊放在較長的小車上，如圖4甲所示.傳感器與計算機相連接，可獲得力隨時間變化的規(guī)律.一水平輕質細繩跨過光滑的定滑輪，一端連接小車，另一端系沙桶，整個裝置開始處于靜止狀態(tài).在滑塊與小車分離前緩慢向沙桶里倒細沙，力傳感器采集的F-t圖象如圖乙所示.則

（）

A.2.5s前小車做變加速運動

B.2.5s后小車做變加速運動

C.2.5s前小車所受摩擦力不變

D.2.5s后小車所受摩擦力不變

解析 對滑塊進行受力分析，由圖象求出傳感器對滑塊的拉力，由平衡條件求出滑塊受到的摩擦力，然后由牛頓第三定律判斷小車的受力情況；根據(jù)圖象可知，2.5s前滑塊所受摩擦力隨沙桶和細沙重力的增加而增加，可見此過程小車靜止不動，故A、C均錯；2.5s之后傳感器拉力不變，說明此時小車開始運動，傳感器拉力大小等于滑動摩擦力大小，因此2.5s后小車所受摩擦力不變，由于沙桶質量不斷增加，2.5s后小車做變加速運動，故B、D正確.

點撥：找到傳感器測得的F與小車受力的關系，理解F-t圖象中力變化的意義.

三、與牛頓運動定律相關的F-t、v-t、a-t、x-t等圖象的綜合應用

要解決好此類綜合問題，需要具有將物理現(xiàn)象轉化為圖象問題的能力.在綜合題中由圖象語言、函數(shù)語言和文字語言，我們要能夠在任意兩種語言間轉換，并將語言與物理情景結合，以確立準確的解題方向，順利地解決問題.

例5 固定光滑細桿與地面成一定傾角，在桿上套有一個光滑小環(huán)，如圖5所示，小環(huán)在沿桿方向的推力F作用下向上運動，推力F與小環(huán)速度v隨時間變化規(guī)律如圖6所示，取重力加速度g=10m/S?.求：

（1）小環(huán)的質量m；

（2）細桿與地面間的傾角a.

解析 由圖得a=v/t=0.5m/S?

前2s有 F1-mg sina=ma

2s后有F2=mg sina

代人數(shù)據(jù)可解得m=1kg，a=30°

點撥：理解兩張圖之間對應的關系.

例6 物體A、B、C均靜止在同一水平面上，它們的質量分別為mA、mB、mc，與水平面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，用平行于水平面的拉力F分別拉物體A、B、C，所得加速度a與拉力F的關系如圖7所示，4、B兩直線平行，則以下關系正確的是（）

A.mA

B.mA

c.μA=μB=μC

D.μA<μB=μC

解析 根據(jù)牛頓第二定律有：

F-μmg=ma

所以有：a=F/m-μg

由此可知：圖象斜率為質量的倒數(shù)，在縱軸上的截距大小為：μg

故由圖象可知：μA<μB=μC，mA=mB

點撥：找到圖象對應函數(shù)表達式.

例7 如圖8所示，足夠長的粗糙斜面固定在地面上，某物塊以初速度vo從底端沿斜面上滑至最高點后又回到底端.上述過程中，若用h、x、v和a分別表示物塊距水平地面的高度、位移大小、速度大小和加速度大小，t表示運動時間.下來圖象中可能正確的是

（）

解析 物理模型與實例2是一樣的，但考查的圖象知識、能力更全面.

A.上滑時做勻減速運動，故h-t圖線斜率先大后小，且平均速度大，運動時間短；下滑時做勻加速運動，故h-t圖線先小后大，且平均速度小，運動時間長；故A正確.

B.上滑時x-t圖線斜率先大后小，下滑時x-t圖線斜率先小后大，故B錯誤.

C.由于上滑時合外力為重力分力和摩擦力之和，加速度大小不變，沿斜面向下；下滑時合外力為重力分力和摩擦力之差，加速度大小不變，方向沿斜面向下；所以上滑時加速度大，所以v-t圖線斜率大；下滑時加速度小，所以v-t圖線斜率小，且此過程中，摩擦力做功，使物塊到達底端的速率變小，故C正確.

D.因上滑過程中、下滑過程中的加速度大小均不變，且上滑時加速度大于下滑時的加速度，故加速度應該為兩條水平短線，故D錯誤.

故選：AC.

點撥：牛頓第二定律的應用，能分析個各物理量間的聯(lián)系及變化，各圖象間的聯(lián)系.

例8 如圖9（a）所示，質量m=1kg的物體由靜止開始沿傾角θ=37°的固定粗糙斜面向下運動，風對物體的作用力沿水平方向向右，其大小與風速v成正比，比例系數(shù)用k表示，物體加速度a與風速v的關系如圖（b）所示（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/S?）.求：

（1）物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ；

（2）比例系數(shù)k.

解析 （1）由題圖知v=0時，ao=

上述解法在解決本題時用了特殊值法，現(xiàn)在假設無法直接知道這兩組特殊值，只知道截距和斜率，能解題嗎？可以.就這個物理模型，對小物塊進行受力分析，應用牛頓第二定律列出表達式：

mgsinθ-kvcosθ-μ（mgcosθ+kvsinθ）=ma

代人數(shù)據(jù)得a與v的函數(shù)表達式：

a=6-8μ-（0.8+0.6μ）kv

由截距的值b=6-8μ，斜率的值

|K|=（0.8+0.6μ）k

不難求出μ和k.

點撥：解決好此類問題的關鍵是找到圖象中物理量的函數(shù)表達式.

物理公式與物理圖象的結合是中學物理的重要題型，也是近年高考的熱點，特別是v-t圖象在考題中出現(xiàn)頻率極高，對于已知圖象求解相關物理量的問題，往往是結合物理過程從分析圖象的橫、縱軸所對應的物理量的函數(shù)人手，分析圖象的斜率、截距所代表的物理意義得出所求結果.解決這類問題的核心是分析圖象，我們應特別關注v-t圖中的斜率（加速度）和力的圖線與運動的對應關系.