基于離心角變化的橢圓插補算法研究*

李銀華，趙　凡，黃軍壘

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，鄭州　450002；2.鄭州斯倍思機電有限公司，鄭州　450001)

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基于離心角變化的橢圓插補算法研究*

李銀華1，趙凡1，黃軍壘2

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，鄭州450002；2.鄭州斯倍思機電有限公司，鄭州450001)

摘要：為提高橢圓焊縫的焊接質(zhì)量，針對現(xiàn)有插補算法存在的不足，研究一種基于橢圓離心角變化的插補算法。該算法通過離心角增量來計算插補點橫縱坐標進給量與相應(yīng)進給速度，并將其傳給相應(yīng)伺服電機。在焊接中算法可時刻保持橢圓焊縫焊接線速度一致，焊縫平滑，確保焊接質(zhì)量。分析算法的基本原理，算法實現(xiàn)步驟并進行仿真實驗。仿真結(jié)果進一步驗證算法的可行性、有效性與優(yōu)越性，為橢圓焊縫的實現(xiàn)提供了一種新的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：離心角；橢圓；插補算法

0引言

據(jù)統(tǒng)計表明，90%散熱器漏水漏氣現(xiàn)象都是由焊接質(zhì)量不好所造成的[1]。目前大多數(shù)廠家對于復(fù)雜焊縫焊接是采用手工焊接。手工焊接對工人的技術(shù)要求高，由于氬弧焊的危險性，工人不能長期從事此行業(yè)，以免危害身體，這就造成了行業(yè)內(nèi)熟練工人的短缺。有部分廠家采用自動焊，其焊接系統(tǒng)是由雕刻機改裝而成，由于焊機本身磁場較大，會對焊接系統(tǒng)產(chǎn)生很大干擾，極大地影響了焊機焊接軌跡，使得焊機不能嚴格按照所給焊道進行焊接，嚴重影響焊件質(zhì)量。因此如何才能高效地實現(xiàn)高質(zhì)量焊接就成為亟待解決的問題。本文主要研究的是橢圓焊縫自動焊接，主控制器采用軟PLC，研究的重點是橢圓焊縫的插補算法，使其可保證焊接平滑性與焊接高質(zhì)量。

自動化系統(tǒng)常用插補算法有逐點比較法與數(shù)字積分法(DDA)。逐點比較法可以保證在焊接過程中速度的平和性，但在多軸聯(lián)動系統(tǒng)中插補不均勻，這對于對密封性能要求較高的散熱器管道焊接來說，很不適用；數(shù)字積分法利用弦長近似等于弧長來求插補點，在多軸聯(lián)動系統(tǒng)中易于實現(xiàn)，且運算效率高，很適用于函數(shù)運算。但其在計算過程中使用了除法，使得數(shù)據(jù)處理起來比較復(fù)雜，且在實現(xiàn)過程中速度會隨著被積函數(shù)的大小而變化，插補速度不平穩(wěn)，插補精度不高，很容易產(chǎn)生焊接缺陷[2-4]。文獻[3]提出了一種比較積分法，結(jié)合了比較法和積分法的優(yōu)點，在每一次脈沖進給時需比較各坐標進給脈沖間隔的大小，才能確定每次具體進給的基準軸，每輸出一個脈沖就得作偏差判別、坐標進給和新偏差計算，此外還需要進行過象限處理，計算繁瑣[5]。本文基于生產(chǎn)實際情況考慮，提出了一種基于橢圓離心角變化的插補算法，該算法基于軟件可很大程度上發(fā)揮上位機的計算優(yōu)勢，加快系統(tǒng)運行速度，減小硬件部分的負擔。

1焊接要求

散熱器焊接，包括管板焊接與管管焊接，本文主要研究管板焊接。管板焊接通用的幾種方法：手工氬弧焊、焊條電弧焊、脈沖自動全位置氬弧焊[6-7]。脈沖自動氬弧焊是管板焊接的主流發(fā)展方向。在焊接過程中焊接線速度基本一致，不會出現(xiàn)因材料受熱不均勻所產(chǎn)生的焊不穿或焊透等缺陷，使得焊接質(zhì)量、加工柔性、焊接精度等都顯著提高，這是自動化焊接的基本要求。

散熱器的管板焊接軌跡為幾個并排的橢圓，如圖1所示。

圖1　散熱器焊接圖

焊機控制的核心問題就是如何控制焊槍的移動，如何使焊槍能夠按照指定軌跡運行。在管板類型焊件的實際焊接過程中，由于焊件受熱會變形，導(dǎo)致焊縫收縮，焊接軌跡會發(fā)生變化，因此要實時修改焊接的軌跡，是非常必要的。而且在焊接過程中，焊接不可能嚴格的按照預(yù)定的焊接軌跡來運行，即使預(yù)定軌跡是直線，也不可能。因此，要實時的提供無限的接近圓弧的直線來實現(xiàn)橢圓軌跡的焊接，這就需要研究適合橢圓曲線的插補算法[8]。

2插補算法的選擇

在焊接系統(tǒng)中運用比較普遍的可控步長實時插補算法，它適用于相交的圓柱管相貫線接縫的焊接[8]。這種曲線線速度與角速度之間有明確的函數(shù)關(guān)系，計算比較簡單，而橢圓曲線角速度與線速度的函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜，用類似的算法很難得出進給量。

文獻[9]采用基于弧長的插補算法，直接利用弧長來求插補點，根據(jù)x與y兩個變量對弧長的影響程度將橢圓曲線分成了四個區(qū)域，然后各自求其弧長、插補點與進給量[9]。這種方法精準度很高，但是計算過于復(fù)雜。

為選擇一種適用于橢圓圓弧的插補算法，要以實現(xiàn)快速、簡便、并能達到一定精度要求為主要目標[10]。運用可控步長實時插補算法的設(shè)計理念——根據(jù)角度的變化推導(dǎo)出各個坐標軸的進給量，加以改進，簡化其計算過程，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，推導(dǎo)出變離心角實時插補算法。此種算法不需考慮插補過程中的步長問題，插補全過程都保持線速度一致。插補過程中根據(jù)具體的運動軌跡確定焊接曲線的變化，并轉(zhuǎn)化為離心角的變化，由此來推導(dǎo)具體插補軌跡。

3變離心角插補算法

對橢圓曲線焊接是通過微小直線段來無限逼近的，因此插補算法需解決的重點就是對直線段的軌跡和速度的確定。

本文所研究的變離心角插補算法，就是在線速度與插補步長一定的情況下，根據(jù)橢圓曲線及步長值得到下一插補點的離心角增量，已知起始點坐標和離心角的增量，就可以根據(jù)橢圓的參數(shù)方程計算出下一插補點的坐標值，進而可以推導(dǎo)出下一插補點各坐標的進給量與進給速度，以此類推就可得到有限步插補的進給量與進給速度。將各坐標軸的進給量與速度作為控制量來控制相應(yīng)軸的伺服電機，即可實現(xiàn)橢圓曲線的焊接。最終的插補效果就是用有限條等長的直線段去無限接近橢圓上的圓弧。前提是每次插補的線段長度是一定的。由于橢圓曲線的曲率不斷變化，使得等長的直線段對應(yīng)的圓弧長度和離心角的大小都不相同，所以稱為變離心角插補算法。計算過程使用橢圓的參數(shù)方程所求得變化后的坐標值，因此在插補過程中不會產(chǎn)生累計誤差，插補精度較高。

3.1算法原理

在已知橢圓中，設(shè)其長軸為a，短軸為b，則橢圓的參數(shù)方程為：

(1)

式(1)中的θ與圓的參數(shù)方程中的φ意義不同，圓的參數(shù)方程為：

(2)

其中r為圓半徑，參數(shù)φ是圓半徑的旋轉(zhuǎn)角，稱為圓心角。θ是橢圓長軸(或短軸)所對應(yīng)曲率圓半徑的旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，稱為橢圓離心角，如圖中∠AOD為點C的離心角。設(shè)橢圓上任意點為M(xi,yi)、N(xi+1,yi+1)，則M、N點對應(yīng)離心角為θi、θi+1。橢圓中也有圓心角之說，橢圓圓心角ψ是指橢圓上的點與橢圓焦點O之間的連線與X軸所形成的角，如∠COD為點C的圓心角。橢圓的離心角θ和圓心角ψ之間的關(guān)系為：

(3)

圖2　橢圓離心角示意圖

橢圓上點M到焦點O距離OM為點M對應(yīng)的曲率圓半徑Ri，則OM=Ri，且有

(4)

插補步長ΔL與插補周期T、線速度v三者滿足關(guān)系式：

ΔL=v×T

(5)

若T一定，系統(tǒng)確定了v，則插補步長ΔL亦可確定。而v是X軸方向速度vx與Y軸方向速度vy合成值，三個量之間滿足三角函數(shù)關(guān)系[11]：

(6)

在實際運行中，焊接的起始點確定，坐標為(xi,yi)，則起始的離心角θ與圓心角ψ也確定。在焊接過程中，隨著插補軌跡從M點移動到N點，離心角由θi變?yōu)棣萯+1，離心角增量Δθ可表示為：

(7)

如果焊接時采用順時針方式進行焊接，則圓心角ψ和離心角θ會越來越小。反之，采用逆時針，圓心角ψ和離心角θ會越來越大。

在具體插補中，若插補周期T很小，且ΔL<

(8)

因此，知道第i個插補點M的坐標(xi,yi)，便可根據(jù)式(7)與式(8)得出第i+1個插補點N的離心角θi+1。從M點到N點的橫縱坐標的增量Δxi+1、Δyi+1的求解公式為：

(9)

根據(jù)式(9)和式(1)，由橢圓第i個插補點的坐標(xi,yi)即可得出第i+1個插補點N的坐標(xi+1,yi+1)及相應(yīng)坐標軸進給量Δxi+1、Δyi+1。各軸的進給量與進給速度滿足關(guān)系式為：

(10)

由此推算出各軸的進給速度。插補過程實質(zhì)就是控制伺服電機的速度和進給量，使其能夠按照給定的速度和位移來進行移動，用有限條無限接近圓弧的直線段代替圓弧，實現(xiàn)橢圓軌跡的焊接。這種插補方法是由橢圓離心角變化推導(dǎo)出插補進給量和插補速度，因此稱為變離心角增量插補方法。

3.2插補步驟

焊接軌跡由兩排相同大小的橢圓焊孔組成。在實際焊接中，若先沿一排焊孔焊接會造成工件嚴重變形，因此，需要在保證焊接完整的基礎(chǔ)上，在上下兩排焊孔之間來回焊接。對于具體橢圓的焊接，我們只需要研究其中一個橢圓的插補算法即可。

在實際焊接過程中，如果線速度不一致，就會造成焊接軌跡不均勻，嚴重者會造成焊不透或焊穿。因此在焊接過程中要始終保持焊接速度一致性，即線速度v不變。

在插補過程中，插補步長ΔL和插補周期T是固定的，由式(5)可知線速度v也確定，保證了焊接過程的實際需要。

具體插補過程流程圖如圖3所示。在橢圓參數(shù)方程中，都是以橢圓焦點作為原點，在實際插補過程中往往不能滿足這個條件，因此在插補開始前需進行坐標轉(zhuǎn)換。

圖3　插補過程流程圖

3.3插補實例

在焊接控制系統(tǒng)中，插補算法將得到橫縱坐標進給量和進給速度傳遞給相應(yīng)的伺服電機，使伺服電機帶動焊槍按指定軌跡移動，如圖4所示。

圖4　插補示意圖

為驗證此算法的插補效果，需在軟件上進行算法仿真。

設(shè)橢圓其長軸a=20mm，短軸b=16mm，起始點坐標為(0,16)，仿真過程只插補第一象限，則終點坐標為(20,0)，采用順時針方式，插補速度為5mm/s，插補周期為10ms，則插補步長值為0.05mm，采用變離心角增量插補算法插補此橢圓。根據(jù)本文所研究的插補算法公式，得到如圖5a的實際插補軌跡圖。由于在實際操作中，焊縫是由一個個焊接點組成，因此在仿真過程中，采用圓點來代替焊接點。圖5b是理想橢圓曲線與焊接曲線的對比圖。由兩種軌跡對比，可知插補算法達到了預(yù)期的目的，可實現(xiàn)焊接。插補的結(jié)果很平滑，插補曲線即為給定的焊接曲線。由于插補算法是建立在橢圓曲線的參數(shù)方程的基礎(chǔ)之上，每個插補點都滿足此方程。因此插補的步長值的選擇將直接影響到焊接的精度。在實際運行過程中，要根據(jù)實際焊機運行情況選擇適合的焊機速度與插補周期，以期得到最好的焊接軌跡。

圖5　仿真圖

圖6　插補軌跡路線圖

圖6是各種不同插補算法的具體插補軌跡，逐點比較法每一步只能提供某一個方向的插補進給，并由偏差方程確定下一個插補點的具體方向，只需要滿足向使加工偏差減小并趨向軌跡終點的方向插補即可，插補效果如圖6a所示。因此插補的精度比較低，不適用于對插補精度要求高的場合[13]。

比較積分插補算法是根據(jù)偏差函數(shù)來判斷進給方向并確定進給量，插補點不一定都在橢圓曲線上，因此插補的誤差比較大，會造成焊接的軌跡偏離原軌跡，如圖6b所示，影響焊接的美觀性和焊接質(zhì)量[14]。

運用變離心角插補算法所得出的每個插補點都滿足橢圓方程，因此插補點不會產(chǎn)生偏差，如圖6c，插補的結(jié)果相對的比較貼合橢圓軌跡，提高了插補的精度和質(zhì)量。不同的算法其逼近方法不同，就造成了插補精度的差異，影響焊接質(zhì)量。

這種變離心角增量插補算法其優(yōu)點如下：

(1)每一個插補點的坐標都是滿足橢圓方程，因此都在橢圓曲線上，不會因為插補次數(shù)太多而產(chǎn)生累積誤差，但會因為計算精度問題而產(chǎn)生逼近誤差，這是不可避免的。

(2)運用原理和計算方法簡單，每次插補時，同時給出兩個坐標軸的進給量，且不用考慮跨象限問題，實現(xiàn)方便。

(3)插補過程速度平穩(wěn)，滿足曲率大的地方步長值小，使焊機焊接均勻，質(zhì)量穩(wěn)定。

該算法的不足之處是：插補過程中，所用點的坐標都是基于橢圓焦點為圓心時所計算的結(jié)果，因此在每個橢圓插補之前，都需要進行坐標轉(zhuǎn)換，這增加了程序編寫的難度和復(fù)雜度。

4總結(jié)

本文通過分析了以往焊接插補算法的弊端，將變步長插補算法加以改進，使其適用于橢圓曲線，提出了一種適用于橢圓焊縫的變離心角插補算法，并對算法加以仿真研究，結(jié)果表明，此算法插補精度高，很容易實現(xiàn)橢圓曲線焊縫的焊接，對于橢圓焊縫的管板焊接水平的提高有很大的促進所用，可明顯提高焊接的質(zhì)量。該算法可適用于由PLC作為主控制器，由伺服系統(tǒng)作為執(zhí)行機構(gòu)的焊接控制系統(tǒng)，伺服系統(tǒng)執(zhí)行插補算法，實現(xiàn)對各個軸的進給，完成了焊槍的移動，實現(xiàn)對橢圓焊接曲線的焊接。

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(編輯趙蓉)

Research of the Ellipse Interpolation Algorithm Based on Centrifugal Angle Change

LI Yin-hua1,ZHAO Fan1,HUANG Jun-lei2

(1.College of Electric and Information Engineering ,Zhengzhou University of Light Industry,Zhengzhou 450002, China; 2.Zhengzhou Spaceme Co. Ltd., Zhengzhou 450001, China)

Abstract：Improving quality of elliptical welding an ellipse interpolation algorithm based on centrifugal angle change was been proposed against the deficiency of interpolation algorithm in existence. The feed and feed speeds of interpolated points were calculated with the increment value of centrifugal angle to control servo motors in this algorithm. Line velocity can remains constant during welding, so weld seam is smooth to ensure quality. The theory of algorithm and implementation steps are introduced, simulation experiment is done. Application and result of simulation shows that algorithm is feasible, has a high accuracy, calculates simply. Therefore, a new theoretical basis for welding of ellipse is provided.

Key words：centrifugal angle；elliptic；interpolation algorithm

中圖分類號：TH123；TG659

文獻標識碼：A

作者簡介：李銀華(1964—)，男，湖北應(yīng)城人，鄭州輕工業(yè)學(xué)院教授，研究生導(dǎo)師，工學(xué)碩士，研究方向為嵌入式系統(tǒng)的開發(fā)、智能儀表應(yīng)用及自動化控制系統(tǒng)，(E-mail)zzfcc@126.com。

*基金項目：鄭州輕工業(yè)學(xué)院校研究生科技創(chuàng)新基金第一批立項項目(01002)；2013年河南省重點科技攻關(guān)計劃項目(132102210057)；2013年鄭州市產(chǎn)學(xué)研項目(131PCXYY141)；2014年鄭州市工業(yè)重點攻關(guān)項目(141PZDGG119)

收稿日期：2014-12-30；修回日期：2015-03-06

文章編號：1001-2265(2015)12-0039-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.12.011