費(fèi)馬數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

馬元魁　張?zhí)炱?/p>

摘要：本文給出針對(duì)費(fèi)馬數(shù)的一種教學(xué)設(shè)計(jì)，以應(yīng)用實(shí)例引入，通過(guò)對(duì)費(fèi)馬數(shù)的研究歷程來(lái)進(jìn)行講解，重點(diǎn)讓學(xué)生理解費(fèi)馬數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。整堂課按照引入—知識(shí)回顧—概念的表述—應(yīng)用—小結(jié)的模式進(jìn)行設(shè)計(jì)，全程既具有趣味性又具有啟發(fā)性。

關(guān)鍵詞：費(fèi)馬數(shù)；尺規(guī)作圖；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）04-0214-02

一、引言

近幾十年來(lái)，數(shù)論在代數(shù)編碼、密碼學(xué)、信號(hào)的數(shù)字處理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)得到廣泛的應(yīng)用，尤其值得一提的是許多較深刻的結(jié)果都得到了應(yīng)用，并收到了意想不到的良好效果。注意到這些情形，教師在講授初等數(shù)論課程時(shí)，除了包含通常初等數(shù)論教科書(shū)所共同具有的最基本的內(nèi)容外，應(yīng)該適當(dāng)拓展新的內(nèi)容，以適應(yīng)不斷發(fā)展的理論和應(yīng)用方面的需要。在講解那些熟知的經(jīng)典結(jié)果的同時(shí)，也要注意介紹新的證明方法和近代的進(jìn)展，并盡可能地提到它們的應(yīng)用，從而有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，這就是我們?cè)O(shè)計(jì)這堂課的主要意圖。費(fèi)馬數(shù)是初等數(shù)論在介紹素?cái)?shù)性質(zhì)時(shí)所給出的一個(gè)重要例子，本文以費(fèi)馬數(shù)為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、趣味引入

大家都知道，核導(dǎo)彈爆炸的威力無(wú)疑是驚人的，因而核導(dǎo)彈的安全問(wèn)題就顯得至關(guān)重要了。各個(gè)國(guó)家的核導(dǎo)彈都由安全性能極高的密碼系統(tǒng)所控制，而數(shù)論已成為控制成千上萬(wàn)顆核導(dǎo)彈密碼系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。實(shí)踐證明，最好的密碼之一是利用大素?cái)?shù)制造的，極難破譯。那么，什么是素?cái)?shù)呢？如何快捷有效地產(chǎn)生一些大素?cái)?shù)以用于密碼設(shè)計(jì)呢？就讓我們首先做一下知識(shí)回顧。

三、知識(shí)回顧

1.素?cái)?shù)及合數(shù)的定義[1]：一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫做素?cái)?shù)，否則就叫做合數(shù)。常見(jiàn)的素?cái)?shù)，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、27、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97……

2.算術(shù)基本定理[1]：任意一個(gè)大于1的正整數(shù)都可以表示成一些素?cái)?shù)的乘積，而且如果把這些素因子按從小到大的順序排列后，表示方法是唯一的，如6936=23×3×172。

從這個(gè)意義上講，如果研究清楚了素?cái)?shù)的性質(zhì)，自然數(shù)的性質(zhì)從某種程度上講也就清楚了。

早在古希臘時(shí)期的歐幾里德首先證明了有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。但是令人遺憾的是他并沒(méi)有找到素?cái)?shù)的模型或產(chǎn)生素?cái)?shù)的有效工具。要是有一個(gè)公式能夠表示出所有的素?cái)?shù)，那該多好啊！于是一場(chǎng)尋找素?cái)?shù)公式的風(fēng)潮席卷數(shù)學(xué)界數(shù)百年的研究歷史。

四、概念的表述

截至2015年4月，人們也僅僅發(fā)現(xiàn)了區(qū)區(qū)280個(gè)費(fèi)馬合數(shù)以及322個(gè)費(fèi)馬數(shù)的素因子。這在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的21世紀(jì)，簡(jiǎn)直是不可想象的！于是人們更傾向于認(rèn)為“從第6項(xiàng)開(kāi)始，費(fèi)馬數(shù)全部是合數(shù)”以及“存在無(wú)窮多個(gè)費(fèi)馬合數(shù)”等結(jié)論，但遺憾的是至今都沒(méi)有嚴(yán)格的證明。而這些結(jié)論倘若與費(fèi)馬當(dāng)初的猜想去比較的話(huà)，很容易會(huì)發(fā)現(xiàn)二者相去甚遠(yuǎn)，這就不免讓人開(kāi)始擔(dān)心這將會(huì)毀了費(fèi)馬的一世英名。然而費(fèi)馬素?cái)?shù)后來(lái)鬼魅般的出現(xiàn)在了另一個(gè)古老而又著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題——尺規(guī)作圖。

五、應(yīng)用

1.簡(jiǎn)單介紹尺規(guī)作圖的發(fā)展歷程[3]：這里演示一下正5邊形的尺規(guī)作圖法。古希臘人對(duì)于用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)做正多邊形的方法十分感興趣：利用正3邊形，能做出具有3×2n個(gè)頂點(diǎn)的正多邊形；利用正4邊形，能做出具有4×2n個(gè)頂點(diǎn)的正多邊形；利用正5邊形，能做出具有5×2n個(gè)頂點(diǎn)的正多邊形；利用正15多邊形，能做出15×2n個(gè)頂點(diǎn)的正多邊形。因此我們很自然的會(huì)問(wèn)，是否所有的正n邊形，都可以尺規(guī)作圖？如果不能，哪些正n邊形可以，哪些不可以？

2.費(fèi)馬素?cái)?shù)與尺規(guī)作圖：1796年，年僅19歲的高斯證明了做出正17邊形的可能性，從而首次在這一兩千年來(lái)懸而未決的問(wèn)題上做出了重大突破！5年后的1801年，高斯又給出了一個(gè)正n邊形可尺規(guī)作圖的充分條件[1]：當(dāng)奇數(shù)n是一個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)，或是若干個(gè)不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積時(shí)，正n邊形才能尺規(guī)作圖。對(duì)奇數(shù)n，這一條件后來(lái)被證明也是必要的。費(fèi)馬數(shù)居然不可思議地出現(xiàn)在了用直尺和圓規(guī)做正多邊形這樣一個(gè)完全不同的問(wèn)題當(dāng)中。

從這個(gè)定理的結(jié)果可以看出：正3邊形和正5邊形可以做出，因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)；但卻不能做出正7邊形，因?yàn)?不是費(fèi)馬素?cái)?shù)；也不能做出正9邊形，因?yàn)?=3×3是兩個(gè)相同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積；也不能做出正11邊形和正13邊形，因?yàn)?1和13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù)；但可以做出正15邊形，因?yàn)?5=3×5是兩個(gè)不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積；也可以做出正17邊形，因?yàn)?7是費(fèi)馬素?cái)?shù)；然后能夠用直尺和圓規(guī)作圖的正多邊形依次是正51邊形、正85邊形、正255邊形、正257邊形等。

這里需要指出的是高斯本人實(shí)際上并未給出正17邊形的具體作圖法，第一個(gè)真正的正17邊形尺規(guī)作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出。

六、結(jié)論

素?cái)?shù)公式是能夠表示出所有素?cái)?shù)的公式，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。費(fèi)馬數(shù)猜想是費(fèi)馬試圖給出素?cái)?shù)公式的重要嘗試，歷史發(fā)展證明了這是偉大的費(fèi)馬在這一問(wèn)題上所犯的一次美麗的“錯(cuò)誤”，但是，同樣偉大的高斯卻出人意料地把它用于尺規(guī)作圖，從而從某種意義上“救贖”了費(fèi)馬的“錯(cuò)誤”，所以在課程設(shè)計(jì)時(shí)要重點(diǎn)讓學(xué)生理解費(fèi)馬數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，通過(guò)對(duì)費(fèi)馬數(shù)的研究歷程來(lái)進(jìn)行講解，整堂課按照引入—知識(shí)回顧—概念的表述—應(yīng)用—小結(jié)的模式進(jìn)行設(shè)計(jì)，全程既具有趣味性又具有啟發(fā)性?！靶?wèn)題，大智慧”，從而充分展現(xiàn)初等數(shù)論這一學(xué)科的無(wú)窮魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1]柯召，孫琦.數(shù)論講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]維基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Fermat_numbers

[3]維基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Compass-and-straightedge_con-struction.

Abstract：An instructional design for Fermat Numbers is provided in this paper. Starting with an example，the Fermat numbers are explained through the history of study. The key point is to help the students understand their property，along with the applications. The process is consisted in introduction，knowledge review，concept presentation，applications，and summary. The whole process is both interesting and instructive.

Key words：Fermat Numbers；Compass-and-straightedge construction；Instructional Design