改進多尺度法求解環(huán)形極板機電耦合強非線性系統(tǒng)主共振的研究

改進多尺度法求解環(huán)形極板機電耦合強非線性系統(tǒng)主共振的研究

楊志安1，李熙2,孟佳佳3

(1.唐山學(xué)院唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點實驗室，河北唐山063000； 2.天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津300072； 3.河北聯(lián)合大學(xué)機械工程學(xué)院，河北唐山063009)

摘要：研究環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)的強非線性問題。按照彈性力學(xué)理論建立環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程，利用Galerkin方法將其轉(zhuǎn)化為非線性振動方程。轉(zhuǎn)化后的振動方程是杜芬-馬修方程，有兩個外激頻率。應(yīng)用多尺度法求得系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)曲線，分析了不同的系統(tǒng)參數(shù)對共振的影響。

關(guān)鍵詞：環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)；改進多尺度法；強非線性；簡諧激勵；主共振

中圖分類號:O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.033

Abstract:In order to study primary resonance of an annular plate electromechanical coupled strong nonlinear system, the nonlinear dynamic equation of the system was established by applying the elastic theory. The nonlinear oscillation equation was obtained based on Galerkin’s method. It was a Duffing-Mathieu equation with two external excitation frequencies. The approximation solutions to the primary resonance of the system were gained with the improved multi-scale method. The influences of different system parameters on the primary resonance of the system were analyzed in detail.

Improved multi-scale method for primary resonance of an annular plate electromechanical coupled strong nonlinear system

YANGZhi-an1,LIXi2,MENGJia-jia2(1. Tangshan Municipal Key Laboratory of Structure and Vibration, Tangshan College, Tangshan 063000, China;2. School of Mechanical Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China; 3. College of Mechanical Engineering, Hebei United University, Tangshan 063009, China)

Key words:annular plate electromechanical coupled system; improved multi-scale method; strong nonlinear; harmonic excitation; primary resonance

機電耦合系統(tǒng)廣泛存在于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，在國民經(jīng)濟發(fā)展中占有重要的地位[1]。環(huán)形板在工程中有廣泛的應(yīng)用，在一些空間立體結(jié)構(gòu)、電子元器件、和旋轉(zhuǎn)機械等都可以看到環(huán)形板的存在。微電子機械系統(tǒng)中的環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)屬于典型的機電耦合系統(tǒng)。將環(huán)形板應(yīng)用到機電耦合系統(tǒng)中有一定的優(yōu)點。在機電耦合系統(tǒng)中環(huán)形薄板內(nèi)外邊緣都可以固定，相對于微梁和圓薄板具有穩(wěn)定性好，可操作性高等優(yōu)點。關(guān)于環(huán)形板的研究已經(jīng)有一些成果。love[2]首次嘗試解決圓環(huán)平面振動的問題，推到出了環(huán)形薄板在自由邊界條件下的運動方程和通解。Irie等[3]利用矩陣的傳遞公式計算了環(huán)形板不同邊界條件下在平面內(nèi)振動的固有頻率，但是不同邊界條件對應(yīng)的振型沒有給出。Ambati等[4]提出了環(huán)形板平面振動分析一般化的公式，對于圓盤和圓環(huán)都適用，作者還通過試驗對分析結(jié)果進行了驗證。Arafat等[5]研究了邊界固定環(huán)形板在軸對稱的熱載荷作用下的非線性強迫振動，結(jié)合馮·卡門板的方程和熱傳導(dǎo)方程描述系統(tǒng)的運動，利用解析和數(shù)值的方法分析了環(huán)形板在主共振附近的一個模態(tài)在簡諧激勵下的振動。 Arafat等[6]研究了受熱載荷以及邊界固定條件下的環(huán)形板在一階和二階軸對稱模態(tài)之間發(fā)生三分之一內(nèi)共振時的強迫振動，考慮環(huán)形板內(nèi)部受軸對稱熱載荷，外部受到二階模態(tài)主共振附近簡諧力的激勵，利用馮·卡門板的方程描述系統(tǒng)的振動，應(yīng)用多尺度法研究系統(tǒng)的響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)兩種模態(tài)下系統(tǒng)會發(fā)生周期振動，其中大部分周期振動來自一階模態(tài)，另外周期解會經(jīng)歷Hopf分岔從而導(dǎo)致環(huán)形板發(fā)生非周期振動。

系統(tǒng)的主共振是不考慮系統(tǒng)動力學(xué)方程中參數(shù)項的影響，令外部激勵的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相接近而引起的共振現(xiàn)象。系統(tǒng)在主共振情況下同樣具有復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象,熊蕊等[7]研究了含PID控制器的遲滯非線性閉環(huán)控制系統(tǒng)在簡諧激勵下的主共振，利用奇異性理論對分岔方程進行了分析，得到了轉(zhuǎn)遷集和分岔圖，并分析了系統(tǒng)參數(shù)對開折參數(shù)和分岔參數(shù)的影響。本文研究環(huán)形極板機電耦合強非線性系統(tǒng)在簡諧激勵下的主共振問題。

1環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)基本方程

圖1　靜電驅(qū)動環(huán)形極板耦合模型 Fig.1 Model of coupled annular plate actuated by an electric load

見圖1，環(huán)形電容器在電路中的模型。在軸對稱情況下，考慮圓環(huán)的內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2，厚度為h，阻尼系數(shù)為c，面密度為ρ，該圓環(huán)有橫向均勻分布的對稱載荷電磁力F。由F激起的軸對稱振動模式，其基本方程為動力學(xué)馮·卡門偏微分方程，即：

(1)

(2)

電容器的環(huán)形極板，假定內(nèi)外邊緣為固定加緊。即邊界條件為：

(3)

應(yīng)用伽遼金法求解非線性振動控制方程，將撓度函數(shù)進行時間與空間的分離，即設(shè)定環(huán)形極板的瞬間撓度為：

W(ξ,t)=hx(t)w(ξ)

(4)

式中：h為環(huán)形電容器極板的厚度，x(t)是關(guān)于時間t的無量綱函數(shù)，由振動控制方程給出。在軸對稱橫向均勻載荷電磁力F的激勵下，設(shè)w(ξ)為無量綱的偶數(shù)項冪函數(shù)，即

w(ξ)=c0+c2ξ2+c4ξ4+c6ξ6+ξ8

(5)

將式(5)代入式(4)，在進行求導(dǎo)運算得：

由環(huán)形極板邊緣固定夾緊的邊界條件得：

(7)

式中的環(huán)形極板厚度h與關(guān)于時間的x(t)均為無量綱函數(shù)，兩者都不能恒為零，在極板外邊緣固定時，即在ξ=1時有：

(8)

同理考慮環(huán)形極板內(nèi)邊緣固定(ξ=0.41)時邊界條件：

(9)

聯(lián)立式(8)和式(9)解得：

c0=0.0283；c2=-0.3927；c4=1.7007；c6=-2.3362。

將c0、c2、c4、c6的值代入式(2)整理可得：

(10)

解上式可得：

(11)

將式(4)、式(5)和式(11)代入式(1)得：

(12)

應(yīng)用伽遼金法消除殘余值得：

(13)

計算上式可得：

(14)

等式(14)右端的交變電壓為：v(t)=v0sinω1t(式中v0為交變電壓的幅值，ω1為交變電壓的頻率)，則有：

(15)

(16)

其中等號右端分母可以由泰勒級數(shù)進行展開為：

(17)

將式(17)代入式(16)整理可得：

2η2sinω1t)u(t)+(3η1cos2ω1t-

3η2sinω1t)u2(t)+(η3+4η1cos2ω1t-

4η2sinω1t)u3(t)=-η1cos2ω1t+η2sinω1t

(18)

2環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)主共振理論分析

通過代入數(shù)據(jù)可知，非線性項系數(shù)的數(shù)量級比線性項系數(shù)的數(shù)量級大，可以確定靜電驅(qū)動下環(huán)形極板機電耦合模型數(shù)學(xué)方程(18)為強非線性方程，且有兩個不同的外激頻率。下面研究主共振的定常運動方程，不考慮參數(shù)項的影響，在阻尼項、杜芬項和激勵項前引入非小量參數(shù)ε得系統(tǒng)的振動方程為：

4η2sinω1t)u3-η1cos2ω1t+η2sinω1t]

(19)

令：

(20)

引入?yún)?shù)變換：

(21)

則有：

(22)

將小參數(shù)α引入到多尺度方法中，設(shè)方程(19)的一次漸近解為：

u(t,α)=u0(T0,T1)+αu1(T0,T1)+…

(23)

式中：T0=t，T1=αt。

將式(22)、(23)代入方程(19)且比較α同次冪的系數(shù)，得到一組線性偏微分方程：

(24)

(25)

式(24)的解為：

(26)

式中：

(27)

將式(26)代入式(25)可以得到消除長期項的條件為：

(28)

式中：

(29)

將式(27)、(29)代入式(28)，整理可得：

(30)

(31)

3數(shù)值計算及結(jié)果分析

參考文獻為了定量求解給各個參數(shù)賦值。電容器環(huán)形極板取值[8-9]，極板內(nèi)外邊緣固定且ξ=0.41，具體值為：E=200GPa，γ=0.27，ρ=2300kg/m`3，c=1.2kg·m/s`3，h=1.5 μm，d=85μm，r2=760μm，v0=3V，vp=3V， ε0=8.85×10`(-12)，εr=1。按式(31)用Matlab語言可以計算系統(tǒng)不同參數(shù)的幅頻響應(yīng)曲線，分析系統(tǒng)參數(shù)對幅頻響應(yīng)曲線的影響。

圖2～圖6為系統(tǒng)主共振不同參數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出他們具有單共振峰，且向右傾斜，呈現(xiàn)系統(tǒng)的硬特性特征。

圖2　幅頻響應(yīng)曲線 Fig.2 Frequence-response curves

圖2是取不同外徑r2時的幅頻響應(yīng)曲線，從圖中可以振幅和共振區(qū)隨外徑的減小而減小，這是由于減小極板半徑極板彎曲剛度增大的緣故。

圖3　幅頻響應(yīng)曲線 Fig.3 Frequence-response curves

圖3為不同的極板間距對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出極板間距越大振幅和共振區(qū)越小。這是因為增大極板間距極板間的電磁力減小的緣故。

圖4　幅頻響應(yīng)曲線圖 Fig.4 Frequence-response curves

圖5　幅頻響應(yīng)曲線圖 Fig.5 Frequence-response curves

圖6　幅頻響應(yīng)曲線 Fig.6 Frequence-response curves

圖4是不同的極板厚度對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出極板厚度越大振幅越小，這是由于這是因為增加極板厚度極板彎曲剛度增大的緣故。但是在圖4取值范圍內(nèi)改變極板的厚度對共振區(qū)的影響不是太顯著。圖5是不同的交流電壓對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，增大電壓幅值振幅和共振區(qū)明顯的增加，這是由于增大電壓的幅值可以使極板間電磁力增大的緣故。圖6是不同阻尼系數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出阻尼越大振幅就越小。

4結(jié)論

(1)建立了環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程。通過代入?yún)?shù)比較線性項與非線性項的系數(shù)可知環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)為強非線性系統(tǒng)。

(2)將參數(shù)變換思想應(yīng)用到多尺度法中可以對其進行求解。數(shù)值計算結(jié)果分析顯示：增大交流電壓幅值，可以增大振幅和共振區(qū)；增大極板間距可以減小振幅和共振區(qū)；增大阻尼系數(shù)和極板剛度對振幅有抑制作用。

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