復(fù)式類正方格子聲子晶體薄板的帶隙研究

復(fù)式類正方格子聲子晶體薄板的帶隙研究

趙浩江，劉榮強(qiáng)，郭宏偉，史創(chuàng)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱150001)

摘要：將一種復(fù)式類正方格子引入聲子晶體薄板，其基元包含5個(gè)圓形散射體。利用平面波展開(kāi)法研究了其縱向振動(dòng)帶隙結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變基元內(nèi)不同位置處散射體的半徑比及填充率，可以調(diào)節(jié)聲子晶體帶隙的寬度和位置。通過(guò)與相同填充率下的正方格子和Bathroom格子對(duì)比發(fā)現(xiàn)，復(fù)式類正方格子在合適的半徑比之下可以獲得更寬的帶隙。

關(guān)鍵詞：聲子晶體；帶隙；平面波展開(kāi)法；薄板

中圖分類號(hào):TB53

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.027

Abstract:A thin phononic crystal plate with complex square-like lattice and five circular scatterers in its unit cell was studied. Longitudinal vibration band gaps of this plate were calculated with the plane wave expansion method. Numerical results showed that the width and location of the band gaps can be tuned by changing the filling fraction and the radius ratio of scatterers at different positions in the unit cell; comparing to the square lattice and Bathroom lattice with the same filling fraction, a wider gap can be obtained with the complex square-like lattice under an appropriate radius ratio.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51269019，51469015，51409139) ;天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究項(xiàng)目(201206);廣東省水利科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目(2014～08) 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51309123)；江蘇省高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(13KJB570002)；江蘇省高?！扒嗨{(lán)工程”資助項(xiàng)目;海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(1407)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PAPD)

收稿日期：2014-06-24修改稿收到日期：2014-09-25 2014-03-23修改稿收到日期：2014-07-01

Band gaps of thin phononic crystal plates with complex square-like lattice

ZHAOHao-jiang,LIURong-qiang,GUOHong-wei,SHIChuang(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Key words:phononic crystal; band gap; plane wave expansion method; thin plate

聲子晶體自其概念被首次提出以來(lái)[1-3]已經(jīng)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究[1-16]。聲子晶體是一種人造周期復(fù)合功能材料。由于構(gòu)成材料的屬性差異以及周期排布特性，使聲子晶體具有彈性帶隙。在帶隙頻率范圍內(nèi)，彈性波或振動(dòng)都無(wú)法通過(guò)。聲子晶體具有許多應(yīng)用前景，如隔振器、聲波導(dǎo)、聲濾波器、聲聚焦成像等[4]。因此研究聲子晶體具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

聲子晶體包括理想聲子晶體和聲子晶體結(jié)構(gòu)。理想聲子晶體如一維、二維、三維聲子晶體，具有無(wú)限的幾何尺寸。而具有有限尺寸的聲子晶體結(jié)構(gòu)更接近實(shí)際應(yīng)用，常見(jiàn)的有聲子晶體桿/梁[5]和聲子晶體板。其中，聲子晶體薄板是一類比較常見(jiàn)和實(shí)用的聲子晶體結(jié)構(gòu)。目前圍繞聲子晶體薄板的研究主要包括帶隙計(jì)算方法[6-8]、帶隙影響因素分析[9]以及缺陷態(tài)等，但主要研究對(duì)象以簡(jiǎn)單晶格為主。相對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，復(fù)雜晶格具有更為靈活的帶隙調(diào)整參數(shù)。降低聲子晶體的對(duì)稱性可以打破聲子晶體相鄰能帶之間的簡(jiǎn)并以獲得更寬的帶隙。降低對(duì)稱性的方法有很多，如旋轉(zhuǎn)非圓散射體[9-11]或各向異性散射體，在簡(jiǎn)單晶格中插入額外的散射體[12-15]，或調(diào)整復(fù)雜晶格中散射體的方位或大小等。本文研究了一種在基元中具有5個(gè)散射體的復(fù)式類正方格子。通過(guò)調(diào)整不同位置處的散射體的半徑比，得到了各填充率下的最寬帶隙。

1研究模型與計(jì)算方法

1.1研究模型

聲子晶體薄板由鋁合金薄圓柱以復(fù)式類正方點(diǎn)陣形式排列于環(huán)氧樹(shù)脂基體薄板中，見(jiàn)圖1。正方形虛線框表示晶格的基元，a為晶格常數(shù)。注意到該復(fù)式類正方點(diǎn)陣是由圓柱A所在的簡(jiǎn)單正方點(diǎn)陣和圓柱B所在的Bathroom點(diǎn)陣混合而成，圓柱A和圓柱B的半徑分別為R2和R1。Bathroom點(diǎn)陣是一種類正方阿基米德格子[16]，與簡(jiǎn)單正方格子具有相同的第一布里淵區(qū)，兩種格子混合后得到的復(fù)式類正方格子也具有相同的第一布里淵區(qū)，見(jiàn)圖1，其中由Γ-M-X組成的三角表示第一不可約布里淵區(qū)。

圖1　復(fù)式類正方格子截面及其第一布里淵區(qū) Fig.1 Transverse cross sections of the complex square-like lattice and its first Brillouin zone

見(jiàn)圖1，基元中屬于Bathroom點(diǎn)陣的4個(gè)圓柱分別位于如下位置

(1)

1.2計(jì)算方法

采用平面波展開(kāi)法計(jì)算聲子晶體薄板的縱向振動(dòng)帶隙。假設(shè)薄板的厚度h遠(yuǎn)小于晶格常數(shù)a，滿足薄板條件。此時(shí)假設(shè)薄板在XOY內(nèi)的變形在厚度方向是一致的。根據(jù)薄板上下表面的自由邊界條件，即可得薄板縱向振動(dòng)的波動(dòng)方程，也就是板的Poisson理論[4]。進(jìn)而可根據(jù)平面波展開(kāi)法，得到薄板縱向振動(dòng)的特征值方程[6]如下

(2)

式中：μ是剪切模量；α=E/(1-v2)；β=Ev/(1-v2)；G是二維空間的倒格矢；k是第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢；ui和uj是位移矢量；i，j分別代表x，y。

將各個(gè)材料參數(shù)(ρ,α,β,μ)統(tǒng)一用g(r)表示，則g(r)是位置向量r的周期函數(shù)，展開(kāi)為如下傅里葉級(jí)數(shù)形式：

(3)

式中，傅里葉系數(shù)g(G)可以簡(jiǎn)化成

g(G)=

(4)

式中：下角標(biāo)1和2分別表示散射體和基體；PA和PB分別是位于正方點(diǎn)陣和Bathroom點(diǎn)陣位置的散射體的結(jié)構(gòu)常數(shù)。

對(duì)于圓形截面的散射體，分別有

(5)

式中：J1為第一類Bessel函數(shù)。

利用波矢k掃描第一布里淵區(qū)的高對(duì)稱邊界Γ-M-X，即可得到聲子晶體薄板縱向振動(dòng)的能帶結(jié)構(gòu)。為保證良好的計(jì)算收斂性，本文在計(jì)算帶隙時(shí)采用了625個(gè)平面波。

2計(jì)算結(jié)果與討論

圖2　三種晶格在填充率f=0.4時(shí)的前10階能帶 Fig.2 Band structures of (a) square lattice, (b) complex square-like lattice and (c) bathroom lattice when f=0.40

首先，計(jì)算了填充率f=0.4時(shí)，聲子晶體薄板的散射體分別按照正方格子、Bathroom格子以及復(fù)式類正方格子(R1=R2時(shí))排列時(shí)的縱向振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，見(jiàn)圖2，陰影部分為帶隙。可以看出，三種晶格類型在相同填充率下的能帶結(jié)構(gòu)具有較大差異，只有正方格子在第3頻帶和第4頻帶之間，以及第5頻帶和第6頻帶之間具有帶隙，Bathroom格子和復(fù)式類正方格子的前10階頻帶之間都沒(méi)有帶隙存在。

2.1半徑比對(duì)帶隙中心頻率的影響

帶隙中心頻率可以表示帶隙所在頻率范圍的位置。圖3給出了不同填充率下，復(fù)式類正方格子的聲子晶體薄板縱向振動(dòng)帶隙的簡(jiǎn)約中心頻率隨散射體的半徑比R1/R2的變化情況，分別是圖3(a)位于第3和第4頻帶之間的帶隙3-4,圖3(b)位于第5和第6頻帶之間的帶隙5-6，以及圖3(c)位于第6和第7頻帶之間的帶隙6-7。各分圖靠近右邊界的空白區(qū)域是由于復(fù)式格子各填充率下半徑取值受約束產(chǎn)生的，屬于不可選用區(qū)域，否則將造成散射體重疊。

由圖3可以看出，三個(gè)帶隙主要出現(xiàn)在R1/R2<1的情況。這是因?yàn)锽athroom格子相對(duì)正方格子更難產(chǎn)生帶隙，而且在基元中屬于Bathroom點(diǎn)陣的散射體有4個(gè)，屬于正方點(diǎn)陣的散射體卻只有1個(gè)。因此，為了更容易產(chǎn)生帶隙，正方點(diǎn)陣的散射體在基元中所占的填充率至少要接近Bathroom點(diǎn)陣的散射體所占的填充率，體現(xiàn)在正方點(diǎn)陣的散射體應(yīng)略大于Bathroom點(diǎn)陣(大多數(shù)情況下)。三個(gè)帶隙的中心頻率都隨填充率的增大而升高，隨半徑比的增大先降低后升高。填充率變化對(duì)帶隙簡(jiǎn)約中心頻率的影響要大于半徑比變化的影響。從圖3(a)可以看出，帶隙3-4出現(xiàn)的填充率范圍最寬(0.22≤f≤0.89)時(shí)，半徑比是R1/R2=0.20；帶隙3-4出現(xiàn)的半徑比范圍最寬(0.1≤R1/R2≤1.0)時(shí)，填充率是f=0.44。而由圖3(b)可知，帶隙5-6出現(xiàn)的填充率范圍最寬(0.42≤f≤0.89)時(shí)，半徑比是R1/R2=0.30；帶隙5-6出現(xiàn)的半徑比范圍最寬(0.1≤R1/R2≤1.1)時(shí)，填充率是f=0.54。由圖3(c)可知，帶隙6-7出現(xiàn)的填充率范圍最寬(0.28≤f≤0.89)時(shí)，半徑比是R1/R2=0.40；帶隙6-7出現(xiàn)的半徑比范圍最寬(0.1≤R1/R2≤0.8)時(shí)，填充率是f=0.66。在實(shí)際設(shè)計(jì)聲子晶體薄板時(shí)，可以根據(jù)需要的帶隙中心頻率位置選取合適的半徑比和填充率。尤其是帶隙6-7，恰當(dāng)?shù)陌霃奖犬a(chǎn)生縱向振動(dòng)帶隙的填充率范圍要明顯大于單獨(dú)正方格子和單獨(dú)Bathroom格子產(chǎn)生帶隙的填充率范圍。

圖3　復(fù)式類正方格子簡(jiǎn)約帶隙中心頻率在各填充率下與半徑比R 1/R 2之間的關(guān)系 Fig.3 Reduced mid-frequency of the gap in complex square-like lattice between bands (a) 3-4, (b) 5-6 and (c) 6-7 as a function of the filling fraction f and the radius ratio R 1/R 2

2.2半徑比對(duì)帶隙寬度的影響

圖4給出了不同填充率下，復(fù)式類正方格子的聲子晶體薄板縱向振動(dòng)帶隙的簡(jiǎn)約寬度隨散射體半徑比R1/R2的變化情況，各帶隙對(duì)應(yīng)圖3所示的帶隙。其中各分圖中的黑點(diǎn)表示每個(gè)填充率對(duì)應(yīng)的帶隙最寬時(shí)的半徑比。(注意圖4表征的帶隙出現(xiàn)的范圍與圖3略有不同，帶隙范圍以圖3為準(zhǔn)。)由圖4(a)和圖4(b)可知，獲得最寬帶隙3-4和最寬帶隙5-6的半徑比在填充率增加的前半段保持R1/R2=0.1，說(shuō)明在這一填充率范圍內(nèi)要獲得最寬帶隙，正方點(diǎn)陣位置上的散射體起的作用更大。而當(dāng)填充率超過(guò)一定值時(shí)(帶隙3-4超過(guò)填充率f=0.59，帶隙5-6超過(guò)填充率f=0.57)，最佳R1/R2隨著填充率的增大而增大，即在較大填充率下要獲得更寬帶隙，位于Bathroom點(diǎn)陣位置上的散射體所起作用逐漸加強(qiáng)。而對(duì)于帶隙6-7, 見(jiàn)圖4(c)，過(guò)小的半徑比R1/R2不利于帶隙產(chǎn)生，要獲得最寬帶隙6-7，最佳半徑比一直隨著填充率的增大而增大。對(duì)比圖3和圖4可知，半徑比對(duì)帶隙寬度的影響要比對(duì)帶隙中心頻率的影響大。

2.3相同填充率下帶隙寬度對(duì)比

對(duì)比三個(gè)帶隙在各填充率下獲得最大帶寬的半徑比分布情況，可知帶隙3-4和帶隙5-6在各填充率下獲得最寬帶隙的半徑比很相似，也就是說(shuō)帶隙3-4和帶隙5-6可通過(guò)相同或相近的半徑比獲得某填充率下最寬帶隙；而帶隙6-7的最優(yōu)半徑比與前兩個(gè)帶隙差異較大，只有在較高填充率下與之接近，也就是說(shuō)只有在較高填充率下才能同時(shí)獲得接近最大寬度的三個(gè)帶隙。

圖4　復(fù)式類正方格子簡(jiǎn)約帶隙寬度在各填充率下與半徑比R 1/R 2之間的關(guān)系 Fig.4 Reduced width of the gap in complex square-like lattice between bands as a function of the filling fraction f and the radius ratio R 1/R 2

圖5　半徑比經(jīng)過(guò)優(yōu)化的復(fù)式類正方格子與 正方格子在相同填充率下帶隙寬度的對(duì)比 Fig.5 Comparison of the gap width of the complex square-like lattice with optimized R 1/R 2and the square lattice as a function of the filling fraction f

3結(jié)論

通過(guò)分析復(fù)式類正方格子的聲子晶體薄板縱向振動(dòng)帶隙受填充率和不同位置散射體半徑比變化的影響，在不同填充率下選取合適的半徑比，可以得到比相同填充率下正方格子和Bathroom格子更寬的縱向振動(dòng)帶隙。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，最寬帶隙半徑比受到正方格子帶隙隨填充率變化規(guī)律的影響。同樣，帶隙的位置也可以通過(guò)改變填充率和半徑比的組合進(jìn)行調(diào)整。這一研究結(jié)果可用于設(shè)計(jì)具有縱向振動(dòng)帶隙的聲子晶體薄板。

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第一作者李火坤男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1981年4月生

通信作者魏博文男，博士，講師，1981年10月生

郵箱：bwwei@ncu.edu.cn

第一作者劉為民女，碩士，講師，1979年生

通信作者谷家揚(yáng)男，博士，副教授，1979年生