Gauss白噪聲參激下懸掛輪對系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性研究

Gauss白噪聲參激下懸掛輪對系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性研究

張波,曾京,劉偉渭

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031)

摘要：在非線性懸掛輪對系統(tǒng)中加入了Gauss白噪聲參激，通過Hamilton系統(tǒng)理論和隨機(jī)微分方程理論，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為擬不可積Hamilton系統(tǒng)伊藤隨機(jī)微分方程組，根據(jù)擬不可積Hamilton系統(tǒng)的隨機(jī)平均法，把該方程組降維為一維擴(kuò)散的平均伊藤隨機(jī)微分方程，使原系統(tǒng)的解依概率收斂到一維伊藤擴(kuò)散過程。通過分析一維擴(kuò)散奇異邊界的性態(tài)得到了隨機(jī)全局穩(wěn)定性的條件。最后對系統(tǒng)的D分叉和P分叉行為進(jìn)行了研究，并畫出了隨機(jī)P分叉圖和隨機(jī)極限環(huán)圖。結(jié)果表明，隨機(jī)項的作用使系統(tǒng)的臨界速度發(fā)生漂移，隨著噪聲項強(qiáng)度增大，臨界速度顯著降低。P分叉后系統(tǒng)表現(xiàn)為最大可能意義上的隨機(jī)極限環(huán)振蕩，而D分叉后統(tǒng)表現(xiàn)為概率1意義下不穩(wěn)定的非極限環(huán)隨機(jī)振蕩。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)平均法；奇異邊界；隨機(jī)P分叉圖；隨機(jī)極限環(huán)圖

中圖分類號:U271.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.008

Abstract:Here, Gauss-White-noise parametric random excitation was input in a nonlinear suspended wheelset system. According to Hamilton system and the stochastic differential equation theory, the system could be expressed as a quasi-non-integrable Hamiltonian system in form of Ito stochastic differential equation. The equation was reduced to one dimensional diffusion Ito average stochastic differential equations with the stochastic averaging method. So, the solution to the original system converged in probability an one-dimensional Ito diffusion process. The global stochastic stability conditions were obtained by analyzing the modality of the singular boundary of the one-dimensional diffusion. At last, the stochastic P-bifurcation and D-bifurcation behaviors of the system were studied. The stochastic P-bifurcation diagram and the stochastic limit cycle one were plotted. The results showed that the random excitation can drift forward the system critical speed and the system critical speed significantly decreases when the intensity of random excitation increases; the P-bifurcation leads to the most possible limit cycle of the system, while the D-bifurcation leads to an unstable non-limit cycle of the system in the sense of probability 1.

基金項目：總裝備部武器裝備預(yù)研基金(9140A27020212JB14311)

收稿日期：2014-08-20修改稿收到日期：2014-09-30

Stochastic stability of a suspended wheelset system under gauss white noise

ZHANGBo,ZENGJing,LIUWei-wei(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Key words:stochastic averaging method; singular boundary; stochastic P-bifurcation diagram; stochastic limit cycle diagram

鐵道車輛系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動穩(wěn)定性是輪軌系統(tǒng)本身的固有屬性。鐵路車輛運(yùn)行速度的提高使車輛動力學(xué)研究變得十分重要。

在以往的研究中，許多學(xué)者對車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了大量深入的研究，并形成了較為完整的軌道車輛系統(tǒng)力學(xué)[1-2]，對蛇行運(yùn)動的研究歷史也可追憶到1個多世紀(jì)以前的Stephenson,車輛系統(tǒng)橫向運(yùn)動穩(wěn)定性的研究經(jīng)歷了一個由線性到非線性的過程。不同的研究人員建立了許多線性的、非線性的系統(tǒng)模型，并針對這些模型提出了具體的定量或定性的方法，同時建立了較為完整和豐富的軌道車輛穩(wěn)定性和分岔理論，這些理論對提高和保障車輛的運(yùn)行性能起到了巨大作用。這些研究都是在確定性系統(tǒng)框架內(nèi)進(jìn)行的，但隨著鐵道車輛的快速發(fā)展，運(yùn)營速度的不斷提高，對車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性提出了更高的要求，這就需要研究車輛系統(tǒng)在受外界隨機(jī)激勵和結(jié)構(gòu)自身參數(shù)隨機(jī)因素影響下的隨機(jī)穩(wěn)定性問題。

軌道車輛系統(tǒng)中隨機(jī)噪聲擾動和結(jié)構(gòu)自身參數(shù)隨機(jī)影響是不可避免的，這些因素經(jīng)常使得系統(tǒng)呈現(xiàn)出隨機(jī)性、不確定性，確定性系統(tǒng)模型只是實(shí)際系統(tǒng)的理想化，因此隨機(jī)系統(tǒng)對自然規(guī)律的描述更本質(zhì)和真實(shí)。在這種情況下，確定的系統(tǒng)模型已經(jīng)無法反映現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)運(yùn)動的真實(shí)行為，也不能滿足理論發(fā)展的需要。許多研究表明，由于噪聲與非線性的相互作用，往往使噪聲對系統(tǒng)的演化起著決定性的作用，這種作用有時可能導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的完全損壞，使系統(tǒng)行為從有序變?yōu)闊o序，有時可能起積極作用，使系統(tǒng)的行為從無序變?yōu)橛行颉Ｉ钊胝J(rèn)識非線性隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在機(jī)理、運(yùn)動形態(tài)，掌握其內(nèi)在規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上加以控制，使其朝有利的方向發(fā)展，無疑是一項具有重要科學(xué)意義和實(shí)際指導(dǎo)價值的研究。

劉偉渭等[3]對彈性輪對隨機(jī)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，其通過李亞普諾夫指數(shù)和奇異邊界理論分析了全局隨機(jī)穩(wěn)定性和局部隨機(jī)穩(wěn)定性，但研究過程中只是簡單涉及隨機(jī)分叉，并未對隨機(jī)分叉問題進(jìn)行深入分析。同時考慮到車輛高速運(yùn)行時，輪動陀螺效應(yīng)不可忽視[4]，本文將輪對陀螺力引入懸掛輪對系統(tǒng)，考慮懸掛剛度參數(shù)隨機(jī)激擾，分析隨機(jī)項對系統(tǒng)的影響，并對系統(tǒng)隨機(jī)分叉行為進(jìn)行較深入研究。

1輪對系統(tǒng)隨機(jī)模型的建立

車輛系統(tǒng)為復(fù)雜多體系統(tǒng)，其非線性問題比較復(fù)雜，而隨機(jī)非線性問題的復(fù)雜度相較一般非線性系統(tǒng)的復(fù)雜度大大提升，如果直接研究整車系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)問題將會非常困難，因此本文不考慮轉(zhuǎn)向架和車體蛇形，采用簡化的輪對模型來進(jìn)行理論分析。

為此，本文建立了懸掛輪對系統(tǒng)搖頭和橫移耦合的隨機(jī)幾何模型(圖1)，模型中考慮了懸掛元件的制造公差、材料老化以及材料不均質(zhì)等問題對懸掛剛度的隨機(jī)影響，將懸掛剛度的隨機(jī)影響簡化為高斯白噪聲隨機(jī)過程ζ(t)。車輛系統(tǒng)中基本包含三類非線性環(huán)節(jié)：非線性輪軌接觸關(guān)系、非線性蠕滑特性和非線性車輛懸掛特性，非線性蠕滑特性一般可近似認(rèn)為是線性的，非線性懸掛特性一般主要體現(xiàn)在二系懸掛(比如抗蛇行減振器、二系空簧等)，但在一系懸掛中非線性因素相對影響較小，本文懸掛輪對系統(tǒng)中主要考慮一系懸掛，故非線性懸掛特性也可不做考慮，因此非線性項主要體現(xiàn)輪軌非線性接觸關(guān)系，系數(shù)α1和α2的選取參考文獻(xiàn)[5]?？紤]輪對陀螺力，輪對的隨機(jī)運(yùn)動方程[5]為

(1)

式中，y為輪對橫移量，φ為輪對搖頭角，m為輪對質(zhì)量，I3為輪對搖頭轉(zhuǎn)動慣量，r0為滾動圓半徑，a為兩滾動圓間的距離之半，L為左右懸掛跨距之半，λe為踏面等效錐度，kx和ky為輪對橫向和縱向定位剛度，fij為Kalker蠕滑系數(shù)，W為軸重，β1,β2為隨機(jī)項控制參數(shù)，ζ(t)為均值為0強(qiáng)度為2D的高斯白噪聲隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)為：

E[ζ(t)ζ(t+τ)]=2Dδ(τ)

(2)

圖1　懸掛輪對的隨機(jī)幾何模型 Fig.1 Dynamic model of suspended wheelset system

(3)

式中，

(4)

設(shè)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

(5)

(6)

(7)

2輪對系統(tǒng)的隨機(jī)平均和全局穩(wěn)定性

2.1輪對系統(tǒng)的隨機(jī)平均

隨機(jī)平均法實(shí)際上是KBM漸近法在隨機(jī)系統(tǒng)中的一個推廣。它的理論依據(jù)是滿足所謂“強(qiáng)混合條件”和弱緊性條件的隨機(jī)系統(tǒng)的一個極限定理[6]。朱位秋[7]在此基礎(chǔ)上建立了擬Hamilton系統(tǒng)的隨機(jī)平均法理論，形成了非線性隨機(jī)動力學(xué)與控制的Hmailton理論體系框架，為解決隨機(jī)激勵下多自由度非線性系統(tǒng)的響應(yīng)、穩(wěn)定性、分岔、可靠性、與控制等問題提供了一個十分有效的新途徑。

在隨機(jī)分岔研究過程中，隨機(jī)平均法有著很重要的作用。使用隨機(jī)平均法能使原系統(tǒng)降維、簡化，而同時保持有原系統(tǒng)的主要非線性特性，特別是所得慢變過程為擴(kuò)散過程，其擴(kuò)散矩陣是非退化的，從而更適宜于研究非線性系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性、隨機(jī)分岔、首次穿越、以及隨機(jī)最優(yōu)控制等問題。

dH=m(H)dt+σ(H)dB(t)

(8)

式中，B(t)為Weiner增量過程，m(H)和σ(H)為別為一為擴(kuò)散過程H(t)的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，經(jīng)積分計算可得：

(9)

式中：

(10)

式中，R是區(qū)域Ω′的邊界方程之解，即R滿足：

(11)

2.2輪對隨機(jī)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性

經(jīng)過隨機(jī)平均，系統(tǒng)(3)依概率收斂到一維擴(kuò)散過程H(t)。對于擴(kuò)散過程H(t)，其概率漸近穩(wěn)定性與其平穩(wěn)概率密度的存在性可以完全由該過程在邊界上的性態(tài)確定。因此下面主要分析擴(kuò)散過程H(t)的兩個邊界性態(tài)：左邊界H→0和右邊界H→∞。

對于右邊界，當(dāng)H→∞時，H應(yīng)對應(yīng)R的高次項，對(11)式關(guān)于θ求期望，得：

(12)

αR=4/3,βR=1

(13)

對于左邊界，當(dāng)H→0時，可得σ2(H)→0,m(H)→0,屬于第一類奇異邊界且H→0為套點(diǎn)，漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)漸近的收斂于下面的兩式:

(14)

相應(yīng)的，判斷邊界類別的擴(kuò)散指數(shù)αL(下標(biāo)L表示左邊界)、漂移指數(shù)βL以及特征標(biāo)值cL分別為：

αL=2,βL=1

(15)

下面討論參數(shù)對系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的影響，當(dāng)cL<1時，左邊界H→0是吸引自然邊界，右邊界H→∞排斥，系統(tǒng)的解曲線會在整個能量域上趨向左邊界，也就是能量趨向0附近，所以此時系統(tǒng)平凡解是全局穩(wěn)定的。

相反，當(dāng)cL>1時，左邊界是排斥自然邊界，左右邊界都是排斥自然邊界，系統(tǒng)的解曲線會在能量域上往返，最終會穩(wěn)定在(0,∞)區(qū)間上的某個穩(wěn)態(tài)能量處(圖5)。所以此時系統(tǒng)平凡解是不穩(wěn)定的。其具體的穩(wěn)態(tài)位置需要求解系統(tǒng)的FPK方程，可知其能量穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)。

圖2　輪對隨機(jī)系統(tǒng)全局穩(wěn)定性示意圖 Fig.2 The global stochastic stability of wheelset

當(dāng)cL=1時，為系統(tǒng)臨界狀態(tài)，由式(15)可得：

(16)

若取噪聲強(qiáng)度D=0.05將附錄參數(shù)表1代入方程 (16)，可知當(dāng)速度小于58.6m/s時，系統(tǒng)在概率意義上全局穩(wěn)定；當(dāng)速度超過58.6m/s時，系統(tǒng)在概率意義上失穩(wěn)，輪對可能出現(xiàn)蛇形失穩(wěn)。

一旦系統(tǒng)失穩(wěn)，系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而發(fā)生定性改變，即發(fā)生分岔。下面將具體分析系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下的隨機(jī)分叉。

3隨機(jī)分叉

所謂隨機(jī)分叉，則是指由參數(shù)的隨機(jī)擾動引起的動態(tài)系統(tǒng)的定性性質(zhì)(穩(wěn)定性、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu))的變化[10]。描述隨機(jī)系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)的量有很多，例如最大Lyapunov指數(shù)、穩(wěn)態(tài)概率密度、響應(yīng)的矩等，不妨將這些量稱為特征量，故根據(jù)不同特征量得出的隨機(jī)分叉點(diǎn)可能是不同的。

目前隨機(jī)分叉主要有兩種形式[10-11]：動態(tài)分叉(D分叉)與唯象分叉(P分叉)。D分岔是研究從一族參考測度中分岔出新的不變測度，可用 Lyapunov 指數(shù)的正負(fù)來判別；P-分岔則是研究隨機(jī)動力系統(tǒng)不變測度的密度及其形狀隨參數(shù)的變化，可從峰的個數(shù)、位置及形狀來辨別。D -分岔是一種動態(tài)概念，它與確定性分岔相對應(yīng)，當(dāng)噪聲強(qiáng)度趨于零時，D 分岔退化為確定性分岔。 P 分岔則是一種靜態(tài)概念。 D 分岔與P 分岔之間一般無關(guān)系，即D 分岔并不意味著P 分岔，反之亦然。

3.1隨機(jī)D分叉

dH=m′(0)dt+σ′(0)dB(t)

(17)

解得：

(18)

[m′(0)-(σ′(0))2/2]/2

(19)

當(dāng)H→0時，H應(yīng)對應(yīng)R的低次項，由于R滿足式(11)，對(11)式R的低次項部分關(guān)于θ求期望，可知

(20)

即R2=2H，則有：

(21)

則最大Lyapunov指數(shù)為：

(22)

當(dāng)λ<0，說明系統(tǒng)總能量會隨著運(yùn)行時間的增加逐漸減小，也就是說，此時系統(tǒng)的能量增加能力小于能量消耗能力，系統(tǒng)會逐漸收斂于平衡位置而穩(wěn)定，λ越小能量減小得越快，系統(tǒng)也越穩(wěn)定。

當(dāng)λ>0，說明此時系統(tǒng)能量增加能力大于能量消耗能力，隨著運(yùn)行時間延長，系統(tǒng)總能量會逐漸積蓄，該部分能量逐漸轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)動能和勢能，并發(fā)生失穩(wěn)行為。λ越大能量積蓄越快，失穩(wěn)也越嚴(yán)重，當(dāng)增加能量達(dá)到系統(tǒng)儲存極限時，系統(tǒng)將失效并發(fā)生脫軌行為。

當(dāng)λ=0，系統(tǒng)處于失穩(wěn)與穩(wěn)定臨界狀態(tài)，系統(tǒng)發(fā)生D分叉。

根據(jù)附錄參數(shù)表1可得最大Lyapunov指數(shù)的三維圖和等勢圖,見圖3和圖4。

圖3　最大Lyapounov指數(shù)三維圖 Fig.3 The 3D map of the Lyapounov exponent

圖4　最大Lyapounov指數(shù)等勢圖 Fig.4 The isopotential map of the Lyapounov exponent

從圖3和圖4看出，Lyapunov最大指數(shù)隨著運(yùn)行速度V和噪聲強(qiáng)度D的增加而增加，隨著速度和噪聲強(qiáng)度的增大，最大Lyapunov指數(shù)逐漸增大，當(dāng)兩者達(dá)到一定值后，最大Lyapunov指數(shù)會由負(fù)變正，即系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，系統(tǒng)發(fā)生D分叉。

圖5為不同噪聲強(qiáng)度下，最大Lyapunov最大指數(shù)隨速度變化圖，當(dāng)λmax=0時，出現(xiàn)D分叉臨界點(diǎn)，對應(yīng)的速度為D分叉臨界速度，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0.05時，可得VD=58.6m/s。

圖5　最大Lyapounov指數(shù)隨速度變化圖 Fig.5 The Lyapounov exponent vary with the speed

隨著噪聲強(qiáng)度D增大，D分叉臨界速度顯著變小。當(dāng)D→0時，D分叉臨界速度逼近對應(yīng)的確定性系統(tǒng)非線性臨界速度Vcr=132.7m/s[5]，D 分岔退化為確定性分岔。

綜上所述，考慮結(jié)構(gòu)自身隨機(jī)因素后，系統(tǒng)臨界速度發(fā)生了較大變化，噪聲項的作用使系統(tǒng)的臨界速度發(fā)生漂移，隨著噪聲項強(qiáng)度增大，臨界速度顯著降低。隨機(jī)激勵使系統(tǒng)發(fā)生D 分岔，分叉前系統(tǒng)表現(xiàn)為概率1意義下的穩(wěn)定運(yùn)動；分叉后系統(tǒng)表現(xiàn)為概率1意義下不穩(wěn)定的非極限環(huán)隨機(jī)振蕩，其具體體現(xiàn)形式有待進(jìn)一步深入研究。

3.2隨機(jī)P分叉

在隨機(jī)動力系統(tǒng)中,所謂的P分叉[11]就是隨機(jī)動力系統(tǒng)概率密度函數(shù)的形狀隨系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生實(shí)質(zhì)變化，P分叉點(diǎn)是非概率1意義的，是對應(yīng)于某一概率值的隨機(jī)分叉。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的主要原因是由于隨機(jī)系統(tǒng)的多樣本的復(fù)雜特性,其隨機(jī)分叉現(xiàn)象的發(fā)生也會因此對應(yīng)有多個概率值。

由擬不可積Hamilton系統(tǒng)的隨機(jī)平均[9]可知，一位擴(kuò)散過程H(t)的FPK方程滿足如下形式：

(23)

對于系統(tǒng)的FPK方程(25)而言，我們感興趣的是響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解，即轉(zhuǎn)移概率密度的定常解。FPK 方程(25)一般需數(shù)值求解，但它的平穩(wěn)解極易求出：

(24)

式中，C為歸一化系數(shù)。

當(dāng)H→0時，省略方程(19)中的高階項，代入方程(26)，可得：

p(H)=CHηexp(-aH-bH2)

(25)

其中，

(26)

在平衡點(diǎn)附近，漂移系數(shù)m(H)和擴(kuò)散系數(shù)σ2(H)可以表示為：

m(H)=O(HβL),βL≥0

σ2(H)=O(HαL),αL≥0

(27)

則穩(wěn)態(tài)概率密度可改寫為：

(28)

當(dāng)βL-αL=-1且H→0時，

p(H)=O{H-αLexp[cLlnH]}=

O{HcL-αL}=O{Hη}

(29)

當(dāng)η<1時，p(H)是一個δ函數(shù)；當(dāng)1<η< 0時，p(H)是一個減函數(shù)且在原點(diǎn)處取得最大值，發(fā)生第一次分岔；當(dāng)η> 0時，p(H)仍會取得最大值，但最大值位置遠(yuǎn)離原點(diǎn)，此時發(fā)生第二次分岔。于是，在η=1時發(fā)生隨機(jī)D-分岔，(意義類似與確定性系統(tǒng)分岔)在η= 0時發(fā)生隨機(jī)P-分岔(概率密度函數(shù)的形狀變化)，這兩次分岔構(gòu)成了隨機(jī)Hopf分岔。

根據(jù)附錄參數(shù)表1，由η=0可得，隨機(jī)P-分岔臨界速度為VP=117.2m/s。當(dāng)η=1時，隨機(jī)D-分岔臨界速度為VD=58.6m/s，與3.1節(jié)計算結(jié)果吻合。

當(dāng)速度增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)能量概率密度函數(shù)的圖形形狀發(fā)生了變化。穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的峰值的位置表示發(fā)生分岔的對應(yīng)系統(tǒng)廣義能量值，峰值的高度代表概率的大小。見圖6，當(dāng)速度為50m/s時，穩(wěn)態(tài)能量概率密度函數(shù)圖是一個δ函數(shù)，在能量0處概率趨近無窮，其他位置幾乎處處為零；當(dāng)速度為110m/s時，p(H)是在H=0處有最大值的減函數(shù)；當(dāng)速度為170m/s時，p(H)在H>0處有最大值，最大值處對應(yīng)的能量值H表示發(fā)生分岔的對應(yīng)系統(tǒng)廣義能量值。且隨著速度進(jìn)一步增加，系統(tǒng)發(fā)生分岔的概率最大對應(yīng)的能量值H也變大，對應(yīng)的峰值降低。

由圖7知，當(dāng)速度逐漸增大后，系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度圖會從單峰漸漸變成“火山口”，且隨著速度進(jìn)一步增加，“火山口”形狀將越來越明顯，對應(yīng)的峰值降低。

由圖8知，當(dāng)速度逐漸增大后，系統(tǒng)的邊緣概率密度ps(y)會從單峰漸漸變成雙峰，且隨著速度進(jìn)一步增加，雙峰會越來越分離，對應(yīng)的峰值也逐漸降低。

系統(tǒng)廣義位移與系統(tǒng)廣義動量的聯(lián)合平穩(wěn)概率密度表達(dá)式為：

(30)

圖6　穩(wěn)態(tài)能量概率密度圖(D=0.05) Fig.6 Stationary energy probability density (D=0.05)

圖7　橫移和搖頭穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度圖(D=0.05) Fig.7 Joint stationary probability density of displacement and velocity (D=0.05)

圖8　橫移穩(wěn)態(tài)邊緣概率密度圖(D=0.05) Fig.8 Marginal probability density with respect to the lateral displacement (D=0.05)

下面研究邊緣概率密度函數(shù)ps(y)的極值情況.概率密度函數(shù)的極值具有重要的意義[10]，這是由于：

①極值點(diǎn)的個數(shù)與位置是最顯著的特征之一，Namachchivaya認(rèn)為它含有非線性隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為的“最根本”的信息。②作為確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為的推廣，當(dāng)噪聲的強(qiáng)度趨近于零時，極值趨近于表現(xiàn)確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為。③極大值表示樣本軌線在此點(diǎn)停留較多時間，因而定常解是穩(wěn)定的；而極小值則標(biāo)志軌線在此點(diǎn)停留較少時間，是不穩(wěn)定的。這個原理與離出問題對穩(wěn)定性的判別相似。

對于懸掛輪對隨機(jī)系統(tǒng)，輪對橫移量最大概率出現(xiàn)的振幅y*由ps(y)的極大值問題決定：

(31)

利用方程(31)可得系統(tǒng)的輪對橫移最大可能振幅隨機(jī)P分叉圖,見圖9。

圖9　輪對橫移最大可能振幅隨機(jī)P分叉圖(D=0.05) Fig.9 P-bifurcation diagram of the most probable lateral displacement amplitude(D=0.05)

由圖9可見，隨機(jī)噪聲項的介入使系統(tǒng)的分叉點(diǎn)發(fā)生漂移，臨界速度變低。當(dāng)速度V=130m/s時，可得系統(tǒng)對應(yīng)的相空間中的極限環(huán)圖，見圖10。

圖10　輪對橫移隨機(jī)極限環(huán)圖(D=0.05, V=130) Fig.10 The stochastic limit cycleof the lateral displacement (D=0.05, V=130)

由圖10可知，當(dāng)分叉參數(shù)跨過P分叉點(diǎn)后，由于噪聲的介入，對應(yīng)的確定Hopf分叉系統(tǒng)中的極限環(huán)變成一個邊界模糊的“隨機(jī)極限圈”，包括一系列不同的可能極限環(huán)，各個可能的極限環(huán)出現(xiàn)的概率不同。在其中存在一個概率最大的極限環(huán)，其對應(yīng)到圖中為顏色最深的極限環(huán)，說明當(dāng)輪對運(yùn)行速度V=130m/s時，系統(tǒng)最可能最終在橫移量為8mm的極限環(huán)上發(fā)生蛇形晃動，與輪對橫移最大可能振幅隨機(jī)P分叉圖結(jié)果吻合。

隨機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為與確定系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為是不同的，隨機(jī)系統(tǒng)由于受到隨機(jī)因素的作用，當(dāng)滿足一定的條件時，系統(tǒng)發(fā)生的分岔是以一定的概率形式來反映的，一方面，這說明即使?jié)M足一定的分岔條件，分岔也并不是一定會產(chǎn)生，發(fā)生分岔的概率反映了發(fā)生分岔的可能性的大小，可見隨機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜性，無法作出確定性的預(yù)測；另一方面，系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，發(fā)生分岔的概率也發(fā)生相應(yīng)的變化，可通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，改變分岔產(chǎn)生的概率。

通過具體分析，我們分析了輪對運(yùn)行速度對隨機(jī)分岔的影響，當(dāng)穩(wěn)態(tài)概率密度出現(xiàn)火山口時即可判定發(fā)生隨機(jī)P分岔，隨機(jī) P分岔的產(chǎn)生會導(dǎo)致輪對系統(tǒng)發(fā)生蛇形晃動，蛇形晃動的極限環(huán)幅值服從一定的概率分布，此時存在最大可能意義上的隨機(jī)極限環(huán)振蕩，可能導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)甚至脫軌。由于車輛在運(yùn)行過程中，不可避免受到各種隨機(jī)因素的影響，且一旦激擾強(qiáng)度較大，系統(tǒng)穩(wěn)定性顯著變差，出現(xiàn)較大安全問題，因此為避免隨機(jī)P分岔的產(chǎn)生，系統(tǒng)運(yùn)行速度應(yīng)遠(yuǎn)離分叉點(diǎn)，留下一定的安全余量，以降低發(fā)生隨機(jī)P分岔的危險。

4結(jié)論

白噪聲參激下懸掛輪對系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)行為將會比確定性Hopf分叉更為復(fù)雜。通過最大Lyapunov指數(shù)、一維擴(kuò)散邊界和FPK方程的考察獲得了以下主要結(jié)論:

隨機(jī)因素對系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性影響很大，甚至決定系統(tǒng)的分岔值?？紤]結(jié)構(gòu)自身隨機(jī)因素后，系統(tǒng)臨界速度發(fā)生了較大變化，噪聲項的作用使系統(tǒng)的臨界速度發(fā)生漂移，隨著噪聲項強(qiáng)度增大，臨界速度顯著降低。

受白噪聲激勵的影響，系統(tǒng)產(chǎn)生了2個分叉點(diǎn)，第1個是概率1意義上的D-分叉點(diǎn),系統(tǒng)概率1意義下失穩(wěn)；第2個是P-分叉點(diǎn)，產(chǎn)生最大可能意義上的隨機(jī)極限環(huán)振蕩。從而導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)3種不同隨機(jī)動力學(xué)行為：概率1意義下的穩(wěn)定運(yùn)動、概率1意義下不穩(wěn)定的非極限環(huán)隨機(jī)振蕩和最大可能意義上的隨機(jī)極限環(huán)振蕩。對于受白噪聲激勵的輪對系統(tǒng)，其概率1意義的隨機(jī)振動和最大可能意義上的隨機(jī)極限環(huán)振蕩這兩種動力學(xué)行為和確定性蛇形運(yùn)動基本類似。但是概率1意義下不穩(wěn)定的非極限環(huán)隨機(jī)振蕩這種動力學(xué)行為只存在于受隨機(jī)激勵的系統(tǒng)中，在確定性非線性分析中不存在這種動力學(xué)行為，這種動力學(xué)行為主要是由系統(tǒng)的非線性和隨機(jī)因素共同作用而產(chǎn)生的。

不同隨機(jī)強(qiáng)度下的輪對系統(tǒng)有著不同的失穩(wěn)臨界速度，這和不能考慮隨機(jī)因素作用下的確定性輪對系統(tǒng)只有一個確定的失穩(wěn)臨界速度有著本質(zhì)區(qū)別。這也為確定性系統(tǒng)框架下無法解釋的軌道車輛在不同線路等級條件下?lián)碛胁煌氖Х€(wěn)臨界速度提供了理論解釋。

車輛在實(shí)際運(yùn)行中總會受到結(jié)構(gòu)自身隨機(jī)因素的作用，考慮隨機(jī)因素后的輪對失穩(wěn)臨界速度更能反映系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動行為，這些隨機(jī)因素都是弱隨機(jī)因素，一般情況下噪聲強(qiáng)度D較小，系統(tǒng)的臨界速度會發(fā)生漂移但不會漂移過大，這與實(shí)際車輛運(yùn)行情況是一致的。

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附錄

表1　輪對系統(tǒng)參數(shù)表

第一作者戴豪民男，博士生，1982年5月生

通信作者許愛強(qiáng)男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年9月生