從解題的視角解密“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”

張文虎

摘要：“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”是許多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中有過(guò)的切身體會(huì)，特別是學(xué)困生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈感受。那么，為什么會(huì)“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”呢？筆者通過(guò)仔細(xì)琢磨學(xué)生的典型錯(cuò)誤，終于發(fā)現(xiàn)了其中的一些秘密。

關(guān)鍵詞：解題 解密 數(shù)學(xué)

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.156

“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”是許多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中有過(guò)的切身體會(huì)，特別是學(xué)困生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈感受。那么，為什么會(huì)“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”呢？筆者通過(guò)仔細(xì)琢磨學(xué)生的典型錯(cuò)誤，終于發(fā)現(xiàn)了其中的一些秘密。

一、審不清題

例1【2015年重慶，文11】.復(fù)數(shù)（1+2i）i的實(shí)部為 ? ? ? ? ? ? ?。

錯(cuò)解：1。

試題分析：復(fù)數(shù)運(yùn)算是高考中的必考知識(shí)，也是必拿分題之一，（1+2i）·i=i-2，顯然實(shí)部為-2，他卻偏偏填1，因?yàn)樗选皩?shí)部”看成了“虛部”。

二、讀不懂題

例2【2015高考山東，理19】.若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）。在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次。得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得-1分;若能被10整除，得1分。

（1）寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;

（2）若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX。

錯(cuò)解分析：第一問(wèn)略;第二問(wèn)學(xué)生在審題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不可逾越的思維障礙——由題得“三位遞增數(shù)”的個(gè)位數(shù)字最大，所以個(gè)位數(shù)字不可能為0，而個(gè)位數(shù)字不為0的整數(shù)不可能被10整除，因此條件中“若能被10整除，得1分”是不可能實(shí)現(xiàn)的，題目有問(wèn)題！于是陷入了思維困頓，這道題做不下去了。

三、算不對(duì)數(shù)

例3【2015高考重慶，文19】已知函數(shù)f（x）=ax3+x（a∈R）在x=-處取得極值。

（1）確定a的值;

（2）若g（x）= f（x）ex，討論的單調(diào)性。

錯(cuò)解一：f'（x）=3ax2+2x，由f'（-）=0，求 得a=;g（x）=（x3+x2）ex，這里的錯(cuò)誤在于將“x3”抄成了“x3”;

錯(cuò)解二：f'（x）=3ax2+2x，由f'（-）=0，求 得a=;g（x）=（x3+x2）ex，g'（x）=（x2+x）ex+（x3+x2）ex=ex（x3+x2+x）=（x2+5x+2），錯(cuò)在第一步求導(dǎo)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)應(yīng)為“2x”而非“x”。

例4【2015高考江蘇，理18】如圖，在平面直角坐標(biāo) 系xOy中，已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程。

試題分析：解析幾何解答題以運(yùn)算量大而著稱，令許多學(xué)生望而生畏，有些學(xué)生索性就不看這道題目，有些學(xué)生則選擇只列出步驟和式子不計(jì)算。設(shè)直線AB為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓和直線方程，解得（1+2k2）x2-4k2+2（k2-1）=0。

四、知識(shí)與方法脫臼

例5【2015年浙江，理13】.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 ? ? 。

試題分析：看到這道題目，我們自然知道它在考查圓與直線的問(wèn)題，解決方法應(yīng)當(dāng)是去絕對(duì)值，那么如何去呢？顯然要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)進(jìn)行討論，然而，2x+y-2和6-x-3y沒(méi)有明顯的關(guān)聯(lián)，那該怎么辦呢？是不是這樣想不對(duì)？猶豫中他放棄了這道題目。

五、教學(xué)改進(jìn)策略

（一）重視閱讀訓(xùn)練，積累審題經(jīng)驗(yàn)

審題是解決問(wèn)題的第一步，如果沒(méi)有從已知條件中獲得準(zhǔn)確的信息，那么其后的一切努力都是白搭，即使結(jié)果正確，那也是誤打誤撞或者干脆就是錯(cuò)誤的?？梢?jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，提高學(xué)生的閱讀能力至關(guān)重要。閱讀能力是一種根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，順利而有效地從書(shū)面材料獲得意義的心理過(guò)程，它的培養(yǎng)不只是語(yǔ)文教師的事情，也應(yīng)是數(shù)學(xué)教師不可推卸的責(zé)任。

1.給學(xué)生閱讀的機(jī)會(huì)。教師不僅自己要精鉆教材，深挖其中的精髓，而且也不應(yīng)該讓學(xué)生成為被動(dòng)的接受者。正如“一百個(gè)人眼中有一百個(gè)哈姆雷特”一樣，學(xué)生獨(dú)立閱讀教材，可能對(duì)同樣的內(nèi)容產(chǎn)生與老師不同的解讀，有了質(zhì)疑與釋疑的過(guò)程，學(xué)生自然會(huì)對(duì)教學(xué)內(nèi)容有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)。因而不能忽視對(duì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的能力和習(xí)慣的培養(yǎng)，相反應(yīng)當(dāng)留給學(xué)生一定的閱讀時(shí)間，重視數(shù)學(xué)閱讀的教學(xué)，使學(xué)生在不斷的數(shù)學(xué)閱讀中逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.加強(qiáng)閱讀指導(dǎo)。抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)閱讀的重要原因。數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言三類，在數(shù)學(xué)閱讀中常常需要對(duì)三種語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把不容易理解的語(yǔ)言形式轉(zhuǎn)化為易于接受的語(yǔ)言形式，把抽象的條理不清的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的條理清楚的問(wèn)題，用自己的語(yǔ)言來(lái)表述，這就要求閱讀者有靈活的思維能力。教師通過(guò)自身演示，指導(dǎo)學(xué)生分析題干，如畫(huà)出關(guān)鍵詞，標(biāo)注重點(diǎn)條件，明確題目問(wèn)題，思考如何從條件出發(fā)到達(dá)目標(biāo)。長(zhǎng)期的閱讀訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生條理性思維，克服漏詞、丟字、跳句等的閱讀陋習(xí)。

（二）重視運(yùn)算板演，培養(yǎng)運(yùn)算習(xí)慣

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本技能，是從小學(xué)就開(kāi)始培養(yǎng)的一種能力，到了高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)講問(wèn)題的分析方法，很少講運(yùn)算，因此學(xué)生的計(jì)算在很多情況下是按照他（她）多年養(yǎng)成的計(jì)算習(xí)慣而進(jìn)行的，這對(duì)于運(yùn)算能力較差的同學(xué)來(lái)說(shuō)無(wú)形中是一個(gè)災(zāi)難，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)某些運(yùn)算如分式運(yùn)算、帶負(fù)號(hào)去括號(hào)是不過(guò)關(guān)的，究其原因，主要是算理不清而且不夠熟練，需要查漏補(bǔ)缺，因此即使新課的內(nèi)容聽(tīng)得再明白，也難免在解答過(guò)程中跌倒。

作為新課，高中數(shù)學(xué)主要有四塊關(guān)于計(jì)算的知識(shí)點(diǎn)：一是集合運(yùn)算，二是指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，三是向量運(yùn)算，四是復(fù)數(shù)運(yùn)算。以對(duì)數(shù)運(yùn)算為例，在講新課時(shí)，首先應(yīng)該讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)運(yùn)算的定義，明確對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，真數(shù)一定為正;其次，要讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上識(shí)記對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則;再次，多進(jìn)行計(jì)算過(guò)程的板演和練習(xí)，同時(shí)教師不能急于求成，針對(duì)難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)要不惜時(shí)間投入地進(jìn)行計(jì)算練習(xí)，最終讓學(xué)生真正掌握該種運(yùn)算。

章建躍老師曾指出“運(yùn)算錯(cuò)誤”不僅是技能不過(guò)關(guān)，更主要的是“算法”不好。從算法的角度來(lái)看，例4的運(yùn)算沒(méi)有進(jìn)行下去的原因在于沒(méi)有選擇好的運(yùn)算方法。這里只談例4第二問(wèn)的一步運(yùn)算，設(shè)AB：x=my+1通過(guò)聯(lián)立方程組求得C（，-）、P（-2，（2+）-），到這里求PC有兩種方法，一是先化簡(jiǎn)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)再運(yùn)算yp=，PC=，二是不化簡(jiǎn)，直接代入P點(diǎn)求PC， =顯然，第二種方法在算法上要優(yōu)于第一種。因此教師應(yīng)該在算法的講解上多下工夫，讓學(xué)生想得清楚，算得明白。

有些學(xué)生輕視運(yùn)算，突出表現(xiàn)在沒(méi)有良好的運(yùn)算習(xí)慣：有的學(xué)生滿足于聽(tīng)懂即可，對(duì)于課上沒(méi)算完的題目，他（她）會(huì)敷衍了事或者置之不理;有的學(xué)生書(shū)寫(xiě)潦草，在草稿紙上隨意亂寫(xiě)，往往寫(xiě)著寫(xiě)著就不知到哪里了，錯(cuò)了只好再來(lái)一遍;有的學(xué)生喜歡口算，不愿意動(dòng)筆，這樣做一般小題能夠較快解決，一旦遇到計(jì)算量大的題目就知難而退。因此養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣是提高計(jì)算能力的第一要?jiǎng)?wù)。首先，計(jì)算時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真審題。其次，計(jì)算時(shí)要規(guī)范計(jì)算過(guò)程，做到書(shū)寫(xiě)工整，字跡清晰，當(dāng)發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)后，養(yǎng)成自我驗(yàn)算的習(xí)慣，避免出現(xiàn)上述例3那樣的錯(cuò)誤。同時(shí)教師應(yīng)當(dāng)以身作則，率先垂范。

（三）重視錯(cuò)題多練，打破思維定勢(shì)

從某個(gè)角度來(lái)看，例1、例2的兩種錯(cuò)誤也反映出學(xué)生的思維定勢(shì)。定勢(shì)又稱心向，在問(wèn)題解決過(guò)程中，如果以前曾經(jīng)遇到過(guò)類似的問(wèn)題，那么以后再遇到同類問(wèn)題時(shí)，也會(huì)重復(fù)同樣的想法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，隨著練習(xí)量的增加，學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)思維定勢(shì)的現(xiàn)象。一方面思維定勢(shì)有時(shí)有利于問(wèn)題的解決，所謂熟能生巧;另一方面，思維定勢(shì)導(dǎo)致解決的思維活動(dòng)刻板化，在很大程度上限制了學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力。因而教師要重視錯(cuò)題的分析、重做、再分析，讓學(xué)生在反復(fù)練習(xí)中建構(gòu)起自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與方法體系，打破原有的錯(cuò)誤思路，形成正確的思維方式，從而填平知識(shí)與方法之間的溝壑。

（四）克服急躁心理，回歸冷靜思考

不可否認(rèn)的是，上述幾道例題的錯(cuò)解都反映出了學(xué)生在解題過(guò)程中急于求成的心態(tài)，不能不說(shuō)其中也包含了教師的影子。一聽(tīng)就懂，只能說(shuō)明學(xué)生理解了老師講解的具體的知識(shí)或方法，并不代表他（她）理解了問(wèn)題的抽象解法，即抓住了問(wèn)題的核心，更不能代表他（她）能夠獨(dú)立解決類似的問(wèn)題，毋庸說(shuō)他（她）擁有了運(yùn)用知識(shí)和方法去解決問(wèn)題的技能。如此，一做就錯(cuò)的概率是非常大的。事實(shí)上，從“聽(tīng)懂”到“做對(duì)”需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)練習(xí)——出錯(cuò)——再練習(xí)——再出錯(cuò)的曲折過(guò)程。唯有耐得住性子、經(jīng)得起挫折的學(xué)生才能品嘗到勝利的果實(shí)。而在這一過(guò)程中，教師的耐心糾錯(cuò)、悉心輔導(dǎo)必不可少。（責(zé)編 趙建榮）