Hilbert空間A—可因子分解算子的性質(zhì)

王勵冰 王超杰

摘要：在已有A-可因子分解算子概念的基礎上，建立了A-可因子分解算子是有界的若干充要條件，同時討論了其對偶算子的性質(zhì)。

關鍵詞：A-可因子分解算子 對偶算子 有界

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.017

泛函分析是20世紀發(fā)展起來的一門新學科，是現(xiàn)代數(shù)學中一個較新的重要分支。它綜合地運用分析的、代數(shù)的和集合的觀點和方法，研究分析數(shù)學、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術提出的許多問題?，F(xiàn)在，泛函分析的概念和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代純粹數(shù)學、應用數(shù)學和理論物理的許多分支，如微分方程、概率論、量子場論和統(tǒng)計物理學等方面。德國數(shù)學家希爾伯特和波蘭數(shù)學家巴拿赫等對此都做出過重要貢獻。泛函是函數(shù)概念的推廣，是函數(shù)與數(shù)之間的對應關系。比如在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)全體記為C[a，b]。C[a，b]中的每個函數(shù)都有一個積分值，即對任意的f∈C[a，b]，總有唯一的實數(shù)f（x）dx與之對應。于是C[a，b]上的黎曼積分是一個泛函。算子是函數(shù)空間和函數(shù)空間之間的對應關系。設C1[a，b]表示一階連續(xù)可微的函數(shù)所成的空間，那么微分就是一個從空間C1[a，b]到空間C[a，b]的算子。經(jīng)典的泛函分析書中對算子理論做了大量的論述（見文獻[1-2]），文獻[3]從A-內(nèi)積的定義出發(fā)，提出了L2（Rd）上A-可因子分解算子的概念，本文在此基礎上進一步探討了A-可因子分解算子的性質(zhì)，建立了若干充要條件，并討論了其對偶算子的性質(zhì)。

首先列出A-可因子分解算子的定義。

定義1[3] 設1≤p≤∞，線性算子L：L2（Rd）→LP（E）（E為Rd的一個可測子集）。如果對于任意可因子分解函數(shù)f=?g，其中f，g∈L2（Rd），?是Rd上以ZdA為周期的函數(shù)，算子L具有下列形式

L（f）=L（?g）=?L（g），

那么稱算子L為A-可因子分解算子。

下面給出A-可因子分解算子的兩個性質(zhì)。

定理1[3] 算子L：L2（Rd）→L1（Q0）是有界A-可因子分解算子當且僅當存在g∈L2（Rd），使得L（f）=（f，g）A（t），?f∈L2（Rd）。更多地，||L||=||g||。

引理1[3] 設A-可因子分解算子L1，L2：L2（Rd）→L1（Q0），則L1=L2當且僅當

L1（f）（t）td=L2（f）（t）td

現(xiàn)在接著討論A-可因子分解算子的性質(zhì)，首先給出A-可因子分解算子是有界的三個充要條件。

定理2 ?設L：L2（Rd）→L2（Q0）是線性A-可因子分解算子，則L是有界的當且僅當存在常數(shù)B>0（B=||L||），使得對?f∈L2（Rd）有

|L（f）（t）|≤B||f||A（t）， a.e. t∈Q0。

更多的，L是同構(gòu)算子當且僅當存在常數(shù)A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得對任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

證明 對Rd上任意有界ZdA周期函數(shù)?和?f∈L2（Rd）有

|?（t）|2|L（f）（t）|2dt=|L（?f）（t）|2dt=||L（?f）||2L2（Q0）

≤||L||2||?f||2L2（Rd）=||L||2|?（t）|2|f（t）|2dt

=||L||2|?（t）|2||f||（t）dt

所以|L（f）（t）|2≤||L||||f||（t），a.e.t∈Q0。其他的可類似證明。

定理3 算子L：L2（Rd）→L2（Q0）是有界A-可因子分解算子當且僅當存在g∈L，使得L（f）=（f，g）A，?f∈L2（Rd）。更多地，||L||2=ess supQ（g，g）A。

證明（?）設g∈L，令B=ess supQ||g||（t），定義算子L：L（f）=（f，g）A，則

||L（f）||2L2（Q0）=||（f，g）A（t）||2L2（Q0）

≤（f，f）A（t）（g，g）A（t）dt

≤B（f，f）A（t）dt=B||f||2L2（Rd）

在上式中若令g=f，則可得出算子的范數(shù)。

（?）設算子L：L2（Rd）→L2（Q0）是有界A-可因子分解算子。因為L2（Q0）?L1（Q0）。所以由定理1可知，存在函數(shù)g∈L使得L（f）=（f，g）A，?f∈L2（Rd）。由定理2可得

|（g，g）A（t）|=||g||（t）=|L（g）|≤||g||（t）||L||

因此||g||（t）≤||L|| a.e，g∈L。

注：定理3也可以稱為A-可因子分解算子Riesz表示定理。

對于映射到L2（Rd）的A-可因子分解算子，我們可以得到相應的A-范數(shù)界。

定理4 ? 如果算子L：L2（Rd）→L2（Rd）是A-可因子分解算子，則L是有界的當且僅當存在常數(shù)B>0（B=||L||）使得對?f∈L2（Rd）有

||L（f）||A（t）≤B||f||A（t）， a.e.t∈Q0。

更多的，L是同構(gòu)算子當且僅當存在常數(shù)A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得對任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤||L（f）||A（t）≤B||f||A（t），a.e.t∈Rd。

證明 ?對任意f∈L2（Rd）和任意的ZdA周期函數(shù)?，有

||L（?f）||2L2（Rd）=|L（?f）（t）|2dt=|?（t）|2|L（f）（t）|2dt

=|?（t）|2|L（f）（t-nA）|2dt

≤||L||2||?f||2L2（Rd）=||L||2|?（t）|2|f（t）|2dt

=||L||2|?（t）|2||f||（t）dt

所以||L（f）||（t）≤||L||2||f||（t），a.e.t∈Q0。余下部分類似可證。

定理4表明A-有界可因子分解算子必須是把A-有界函數(shù)映到 有界函數(shù)。

最后，我們給出A-可因子分解算子L的對偶算子L*的性質(zhì)。

定理5 ? 如果算子L：L2（Rd）→L2（Rd）是A-可因子分解算子，則對任意的f，g∈L2（Rd）有

（L（f），g）A（t）=（f，L*（g））A（t）。

證明 ?考慮算子ζ（f）=（L（f），g）A（t），ζ*（f）=（f，L*（g））A（t），它們都是L2（Rd）→L2（Q0）A-可因子分解算子且

ζ（f）（t）dt=（L（f），g）=（f，L*（g））=ζ（f）dt

所以由引理1可得結(jié)論。

綜上所述，定理2、定理3和定理4建立了A-可因子分解算子是有界的充要條件，于是可以用這三個定理來判定A-可因子分解算子的有界性，定理5對A-可因子分解算子L的對偶算子L*進行了討論，給出了對偶算子L*的一個性質(zhì)。

參考文獻：

[1]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社，2003.

[2]夏道行，吳卓人.實變函數(shù)論與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]王勵冰，王超杰.Hilbert空間A-可因子分解算子[J].科技展望，2015，25（17）：265.

[4]王勵冰，王超杰.A-內(nèi)積及其性質(zhì)[J].佳木斯職業(yè)學院學報，2015（2）：240-241.

[5]李登峰，薛明志.Banach 空間上的基和框架[M].北京：科學出版社，2007.

作者簡介：

王勵冰（1986- ），男，河南省周口人，助教，碩士研究生，主要從事小波分析及其應用方面的研究。（責編 趙建榮）