指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C群的次生成元及其性質(zhì)

周 陽，趙華新，周裕然

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

算子半群的生成理論是算子半群的重要內(nèi)容之一，許多學(xué)者對此作了大量的研究工作。文獻(xiàn)[1]研究了局部有界雙連續(xù)n次C積分半群的生成元及其性質(zhì)；文獻(xiàn)[2]給出了n階α次積分C半群的概念、預(yù)解集以及次生成元等，并研究了相關(guān)問題；文獻(xiàn)[3]討論了指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群及其性質(zhì)；文獻(xiàn)[4]討論了雙參數(shù)n階α次積分C半群的概念、預(yù)解集、逼近以及生成元等；文獻(xiàn)[5]討論了有界線性算子廣義譜的譜映照定理；文獻(xiàn)[6]討論了雙參數(shù)有界算子群的生成定理及相關(guān)性質(zhì)；文獻(xiàn)[7]討論了指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群的擾動等相關(guān)定理；文獻(xiàn)[8]研究了α次積分C半群的譜映照定理；文獻(xiàn)[9，10]研究了指數(shù)有界的雙連續(xù)n次積分C半群的生成定理及譜映照定理；文獻(xiàn)[11]討論了n次積分C半群的逼近定理和譜映照定理。本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，給出了指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C群的定義，并研究了其次生成元的一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

在本文中，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)；

D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0。

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0，使JnT(s)=0，s≥0。

2 基本概念

定義1 設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，算子族{T(t,s):?t,s∈R}?B(X)被稱為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C群，則以下條件成立：

?t,s∈R；

(2)存在閉線性算子A=(A1，A2)，滿足

?x∈X,t,s∈R,JnT(t,s)∈D(A),

?x∈D(A),t,s∈R,

(3){T(t,s):?t,s∈R}?B(X)強連續(xù)，即對每個x∈X映射(t,s)→T(t,s)x強連續(xù)；

(4)存在M≥0,ω∈R使

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)，?t,s≥0。

稱A=(A1,A2)是{T(t,s):?t,s∈R}?B(X)的次生成元，把G(M,ω,C,t,s)記為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C群。

3 主要結(jié)果

T1(t,s)是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，次生成元是(A1,A2)。

CT1(t,s)=CT(t,s)=T(t,s)C=T1(t,s)C；

(2)?x∈X,t,s≥0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(t,0)x=A1JnT1(t,0)x，

A1JnT(0,s)x=A1JnT1(0,s)x；

(3)任意x∈D(A),t,s≥0，JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(t,0)A1x=JnT1(t,0)A1x，

JnT(0,s)A1x=JnT1(0,s)A1x。

所以T1(t,s)是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，次生成元是(A1,A2)。

當(dāng)t,s≤0時，把T(t,s)記作T2(t,s)，設(shè)T2(t,s)=T(-t,-s)，下面驗證T2(t,s)是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，次生成元是(-A1,-A2)。

T2(t,s)C=T(-t,-s)C=

CT(-t,-s)=CT2(t,s)；

(2)?x∈X,t,s≤0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT2(t,0)x=(-A1)JnT2(u,0)x,

t=-u，

A2JnT2(0,s)x=(-A2)JnT2(0,v)x,

s=-v；

(3)任意x∈D(A),t,s≤0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(-t,0)A1x=JnT2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)(-A1)x,

t=-u，

JnT2(0,s)A2x=JnT2(0,v)(-A2)x,

s=-v。

所以T2(t,s)是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，次生成元是(-A1,-A2)。

證明同定理1證明。

?x∈X,t,s,t1,s1≥0，JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(t1,0)T(t,0)x=A1JnT(t,0)T(t1,0)x=

A1JnT1(t,0)T1(t1,0)x=A1JnT1(t1,0)T1(t,0)x，

A2JnT(0,s1)T(0,s)x=A2JnT(0,s)T(0,s1)x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

?x∈D(A),t,s,t1,s1≥0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(t1,0)T(t,0)A1x=JnT(t,0)T(t1,0)A1x=

JnT1(t,0)T1(t1,0)A1x=JnT1(t1,0)T1(t,0)A1x，

JnT(0,s1)T(0,s)A2x=JnT(0,s)T(0,s1)A2x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

則A1JnT(t1,0)T(t,0)=

A1JnT(t,0)T(t1,0)x=A1JnT1(t,0)T1(t1,0)x=

A1JnT1(t1,0)T1(t,0)x=JnT(t1,0)T(t,0)A1x=

JnT(t,0)T(t1,0)A1x=JnT1(t,0)T1(t1,0)A1x=

JnT1(t1,0)T1(t,0)A1x，

A2JnT(0,s1)T(0,s)x=

A2JnT(0,s)T(0,s1)x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=

A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x=JnT(0,s1)T(0,s)A2x=

JnT(0,s)T(0,s1)A2x=A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=

A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

由指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的定義知，對任意x∈D(A)有

(1)T1(t,s)x=T(t,s)x∈D(A)；

(2)AT1(t,s)x=AT(t,s)x=T(t,s)Ax=

T1(t,s)Ax,?t,s≥0。

當(dāng)t,s≤0時，把T(t,s)記作T2(t,s)，設(shè)T2(t,s)=T(-t,-s),T2(t,s)是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，次生成元是(-A1,-A2)，則

?x∈X,t,s,t1,s1≤0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(-t1,0)T(-t,0)x=

A1JnT(-t,0)T(-t1,0)x=

A1JnT2(t,0)T2(t1,0)x=A1JnT2(t1,0)T2(t,0)x=

(-A1)JnT2(u,0)T2(t,0)x,

t1=-u，

A2JnT(0,-s1)T(0,-s)x=A2JnT(0,-s)T(0,-s1)x=

A2JnT2(0,s)T2(0,s1)x=A2JnT2(0,s1)T2(0,s)x=

(-A2)JnT2(0,v)T2(0,s)x,

s1=-v。

?x∈D(A),t,s,t1,s1≤0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(-t1,0)T(-t,0)A1x=

JnT(-t,0)T(-t1,0)A1x=

JnT2(t,0)T2(t1,0)A1x=JnT2(t1,0)T2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)T2(t,0)(-A1)x,

t1=-u，

JnT(0,-s1)T(0,-s)A2x=

JnT(0,-s)T(0,-s1)A2x=

JnT2(0,s)T2(0,s1)A2x=

JnT2(0,s1)T2(0,s)A2x=

JnT2(0,v)T2(0,s)(-A2)x,

s1=-v。

則A1JnT(-t1,0)T(-t,0)x=

A1JnT(-t,0)T(-t1,0)x=

A1JnT2(t,0)T2(t1,0)x=

A1JnT2(t1,0)T2(t,0)x=

(-A1)JnT2(u,0)T2(t,0)x=

JnT(-t1,0)T(-t,0)A1x=

JnT(-t,0)T(-t1,0)A1x=

JnT2(t,0)T2(t1,0)A1x=JnT2(t1,0)T2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)T2(t,0)(-A1)x,

t1=-u，

A2JnT(0,-s1)T(0,-s)x=

A2JnT(0,-s)T(0,-s1)x=

A2JnT2(0,s)T2(0,s1)x=

A2JnT2(0,s1)T2(0,s)x=

(-A2)JnT2(0,v)T2(0,s)x=

JnT(0,-s1)T(0,-s)A2x=

JnT(0,-s)T(0,-s1)A2x=

JnT2(0,s)T2(0,s1)A2x=

JnT2(0,s1)T2(0,s)A2x=

JnT2(0,v)T2(0,s)(-A2)x,

s1=-v。

由指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的定義知，對任意x∈D(A)，有

(1)T2(t,s)x=T(-t,-s)x∈D(-A)；

(2)(-A)T2(t,s)x=(-A)T(-t,s)x=

T(-t,-s)(-A)x=T2(t,s)(-A)x,?t,s≤0。

證明同定理3證明。