一個(gè)矢量定理及其在物理教學(xué)與研究中的應(yīng)用

一個(gè)矢量定理及其在物理教學(xué)與研究中的應(yīng)用*

周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢430072)

摘 要：將一個(gè)矢量與其微分矢量之間的標(biāo)積恒等式擴(kuò)充推廣為兩個(gè)任意平行矢量之間的一個(gè)矢量定理，并舉例討論了該矢量定理在大學(xué)物理教學(xué)與研究不同領(lǐng)域中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：矢量點(diǎn)乘(標(biāo)積)動(dòng)能定理有心力共點(diǎn)力萬有引力庫(kù)侖引力

基金項(xiàng)目*國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)，項(xiàng)目編號(hào): 202276003

作者簡(jiǎn)介：周國(guó)全(1965-)，男，博士，副教授, 兼任湖北省中學(xué)生物理競(jìng)委會(huì)辦公室主任、領(lǐng)隊(duì)和主教練.研究方向?yàn)榉蔷€性可積方程與場(chǎng)論.

收稿日期：(2015-01-20)

物理規(guī)律的定量表達(dá)都是通過不同物理量的張量方程來表達(dá)的.物理學(xué)中通常的物理量大都是標(biāo)量與矢量等低階張量，標(biāo)量即零階張量，矢量即一階張量，還有極少數(shù)高階張量[1,2].高階張量通過縮并(即指標(biāo)收縮，亦即對(duì)相同指標(biāo)求和)得到低階張量, 如兩矢量的標(biāo)積(即點(diǎn)乘或內(nèi)積)就得到一零階張量(標(biāo)量).可見在物理教學(xué)中，關(guān)于張量與矢量的運(yùn)算規(guī)律及其性質(zhì)的教學(xué)非常重要.文獻(xiàn)[3]討論了矢量與其微分矢量點(diǎn)積的一個(gè)恒等式

A(t)?dA(t)=AdA

(1)

及其在物理教學(xué)中的應(yīng)用[4,5].本文將這一無條件成立的矢量恒等式擴(kuò)充推廣為兩個(gè)任意平行矢量之間的一個(gè)矢量定理[下文式(2)]，并舉例討論了該矢量定理在物理教學(xué)研究不同領(lǐng)域中的應(yīng)用.

1一個(gè)矢量定理

定理:對(duì)于任意兩個(gè)時(shí)變的矢量A(t), B(t), 若A∥(±)B, 則必有如下標(biāo)積公式

A?dB=AdB

(2)

證明: 對(duì)于任意時(shí)變的矢量A(t)和B(t), 在 A∥B或A∥(-B)時(shí), 可設(shè)

A(t)=k(t)B(t)

(3)

注意在一般情形，其中k(t)是一時(shí)變的任意標(biāo)量函數(shù), 且其值可正可負(fù), 視乎A(t), B(t)之間為同向平行或反向平行而定.于是此二矢量的量值亦必有關(guān)系

A(t)=k(t)B(t)

(4)

另一方面，由矢量標(biāo)積的定義，我們有如下矢量恒等式

B(t)?B(t)=B2

(5)

兩邊微分可得

dB(t)?B(t)+B(t)?dB(t)=

(dB)B+B(dB)

(6)

根據(jù)矢量標(biāo)積的可交換性,式(6)左側(cè)的兩項(xiàng)相等,右側(cè)兩項(xiàng)亦然, 故有矢量的微分恒等式

B(t)?dB(t)=B(dB)

(7)

將式(7)兩側(cè)同乘以時(shí)變的標(biāo)量因子k(t), 可得

k(t)B(t)?dB(t)=k(t)BdB

(8)

即得前述矢量微分定理式(2)，定理獲證.下面舉例說明該定理在物理教學(xué)研究中的應(yīng)用.

2應(yīng)用于動(dòng)能定理的證明

2.1應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的證明

作用力的功是能量轉(zhuǎn)化的量度, 是力的空間累積效應(yīng).受力物體動(dòng)能的改變就是力所做的功的這種空間累積效應(yīng)的體現(xiàn).力的元功可表達(dá)為力與物體受力點(diǎn)的微位移矢量的標(biāo)積，即

dW=F?dr

(9)

作用力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的元功又可表達(dá)為

(dp)?v=v?dp

(10)

由于p=mv∥v，因而由矢量微分定理式(2)可得v?dp=vdp, 進(jìn)而可得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

Ek2-Ek1

(11)

2.2應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的證明

力矩的元功仍可表達(dá)為力矩與剛體的微分角位移矢量的標(biāo)積，即

(12)

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中變力矩的功

(13)

其中最后一步運(yùn)用了矢量微分定理式(2)，這是因?yàn)閷?duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)L=Iω∥ω, 滿足定理?xiàng)l件, 進(jìn)而可得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

(14)

(15)

2.3應(yīng)用于相對(duì)論性動(dòng)能定理與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系之推導(dǎo)

根據(jù)功能原理，外力對(duì)粒子做功等于粒子總能量的增量，即

dE=F?dr=F?vdt=

v?(Fdt)=v?d(mv)=vd(mv)

(16)

式(16)最后一步運(yùn)用了矢量微分定理式(2).注意其中的v并不正比于mv.這是因?yàn)閙=γm0=γ[v(t)]m0為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總質(zhì)量，是隱含時(shí)間變量的標(biāo)量函數(shù)

其中m0為質(zhì)點(diǎn)的靜止總質(zhì)量.則由式(16)兩側(cè)積分可得

m0c2(γ-1)=mc2-m0c2

(17)

基于式(17)，人們定義E=mc2為粒子的總能量，粒子的一切形式的能量均包含在內(nèi)，并且定義E0=m0c2為粒子的靜能，為粒子靜止時(shí)的總能.進(jìn)而定義粒子的總能量由于運(yùn)動(dòng)而得的增量

Ek=E-E0=mc2-m0c2

(18)

為粒子的相對(duì)論動(dòng)能, 即由于運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致的總能量的增量.

3應(yīng)用于有心力(場(chǎng))是保守力(場(chǎng))的證明

有心力場(chǎng)的一個(gè)重要特征是，F(xiàn)(r)∥r，無論是兩質(zhì)點(diǎn)(M,m)間的萬有引力

還是兩點(diǎn)電荷(Q,q)間的庫(kù)侖引力

亦或是做角速度為ω的圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(m)所受的向心(或慣性離心)力

F(r)=(±)mω2r

概莫能外, 均可表達(dá)為

(19)

盡管一般情況下r=r(t),r=r(t)，但根據(jù)矢量微分定理式(2)可得

F(r)?dr=f(r)dr

(20)

因此,有心力對(duì)受力質(zhì)點(diǎn)所做的功W為

-[Φ(r2)-Φ(r1)]

(21)

是一個(gè)與路徑無關(guān)的有勢(shì)場(chǎng)的功，據(jù)此斷定一切有心力都是保守力；一切有心力/場(chǎng)都是保守力/場(chǎng).當(dāng)然，學(xué)過場(chǎng)論的人知道，旋度為零的矢量力/場(chǎng)是保守力/場(chǎng)，因而更加直接和簡(jiǎn)潔的證明方法是驗(yàn)證如下矢量等式

(22)

運(yùn)用如下矢量場(chǎng)旋度公式

(23)

和標(biāo)量場(chǎng)梯度公式

(24)

讀者不難證明式(22).但對(duì)于初學(xué)矢量運(yùn)算規(guī)律和保守力概念的中學(xué)生或大學(xué)低年級(jí)學(xué)生而言，運(yùn)用式(19)～(21)證明有心力/場(chǎng)的保守性質(zhì)更為淺顯易懂.

4用于靜平衡共點(diǎn)力系統(tǒng)的一個(gè)幾何性質(zhì)的證明

以分析力學(xué)中的虛功原理為出發(fā)點(diǎn), 運(yùn)用前述矢量定理，可以推導(dǎo)出關(guān)于空間共點(diǎn)力系的穩(wěn)定靜平衡的一條幾何極值定理.

達(dá)到極小.其中Fi(i=1,2,…,N)滿足比例關(guān)系

(25)

圖1　空間共點(diǎn)力系的穩(wěn)定靜平衡

在理想約束下的多力系統(tǒng)，其靜平衡的充要條件是滿足分析力學(xué)中的虛功原理[6].據(jù)此給出本定理的證明如下.

對(duì)于n個(gè)給定的點(diǎn)Pi(i=1,2,…,N)，大小分別給定為nif的共點(diǎn)力

(26)

這是因?yàn)棣膔=δri, (i=1,2,…,N), 另一方面, 力Fi(i=1,2,…,n)是指向取定的P點(diǎn)的有心力 ,有

(27)

Fi?δri=(nif)δri

(28)

正如同萬有引力做功或靜電荷之間的庫(kù)侖力做功一樣[1,2].于是共點(diǎn)力Fi達(dá)到平衡的充要條件式(26)變?yōu)?/p>

即

(29)

而這正是加權(quán)幾何路程

筆者在文獻(xiàn)[7]中更運(yùn)用滑輪組技術(shù)解決了這一幾何極值問題的逆命題的證明.

5總結(jié)與討論

運(yùn)用矢量定理式(2)及其特例情形的恒等式(1), 本文枚舉數(shù)例展示說明了其在物理教學(xué)與研究的各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.有條件成立的矢量定理式(2), 對(duì)任意兩個(gè)不成比例但平行或反平行的時(shí)變矢量均成立，因而它是恒等式(1)的推廣, 而不是其簡(jiǎn)單推論.恰恰相反, 恒等式(1)是矢量定理(2)的簡(jiǎn)單推論和特例.例如在證明和推導(dǎo)相對(duì)論的動(dòng)能公式和愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系時(shí)，就只能運(yùn)用矢量定理(2)，而不能運(yùn)用恒等式(1).

參 考 文 獻(xiàn)

1趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，2004.330～332

2虞國(guó)寅, 周國(guó)全. 電動(dòng)力學(xué).武漢：武漢大學(xué)出版社, 2008.14～16,178～180

3彭成曉, 房彩麗, 王超. 關(guān)于矢量與矢量微分之間標(biāo)積的若干討論.物理通報(bào)，2014(4): 31～32

4馬文蔚, 周雨青. 物理學(xué)教程(上冊(cè)). 北京：高等教育出版社，2005. 62

5漆安慎, 杜嬋英. 普通物理學(xué)教程·力學(xué).北京：高等教育出版社， 2005. 471

6周衍柏. 理論力學(xué).北京:人民教育出版社, 1979.169～170

7周國(guó)全. 空間匯交平衡力系的一個(gè)幾何定理.力學(xué)與實(shí)踐, 2013 (5): 83～85

A Vector Theorem and Its Application in

Physics Teaching and Research

Zhou Guoquan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan, Hubei430072)

Abstract：An identity about the scalar product of a vector and its vector differentiation has been extended to a new vector differentiation theorem for two arbitrary parallel vectors; and some examples are numerated to discusss and illustrate its applications in teaching and researching involving many fields of university physics.

Key words: vector; scalar product; kinetical-energy theorem; centric force; common-point forces;gravitation force; Coulomb force