微波諧振腔運(yùn)動時(shí)電磁場的能量和動量?

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,湖北武漢430074)

0 引言

微波是一些機(jī)載[1-2]和星載[3-4]電子設(shè)備的主要工作電磁波段。在微波范圍,通常采用諧振腔產(chǎn)生高頻電磁振蕩。在微波電路中,諧振腔也常用作濾波器、頻率計(jì)和調(diào)諧放大器等。依據(jù)電磁場的相對論變換,文獻(xiàn)[5]計(jì)算了電容器和螺繞環(huán)等電子部件運(yùn)動時(shí)電磁場的能量和動量,結(jié)果出乎意料,從而引發(fā)了作者對微波諧振腔運(yùn)動時(shí)的電磁場的關(guān)注。本文沿用文獻(xiàn)[5-6]的相關(guān)思路,計(jì)算了微波矩形諧振腔勻速運(yùn)動時(shí)電磁場的能量和動量,以期未來進(jìn)一步探討微波諧振腔在較高速度下的狀態(tài)及其對電路穩(wěn)定性的影響。

1 波模(0,n,p)的電磁場

不妨設(shè)諧振腔運(yùn)動方向?yàn)閤方向。在矩形諧振腔上建立慣性參考系Σ′,矩形諧振腔的6個(gè)面為腔內(nèi)的電場的全實(shí)數(shù)表達(dá)形式為

腔內(nèi)對應(yīng)的磁場可由麥克斯韋方程或亥姆霍茲方程求得。

考慮簡單的諧振波模(0,n,p),即

此種波模下電場方向平行于諧振腔運(yùn)動方向。諧振腔內(nèi)總的電場能量對時(shí)間(一個(gè)周期)的平均值為

上述積分運(yùn)算中利用了三角函數(shù)的半角公式和周期性,即充分利用了諸如之類的等式,使得積分運(yùn)算非常簡單而可行。

諧振腔內(nèi)總的磁場能量對時(shí)間(一個(gè)周期)的平均值為

即整個(gè)諧振腔內(nèi)的總電場能量和總磁場能量對時(shí)間(一個(gè)周期)的平均值總相等[7]。考慮電場和磁 場 的 時(shí) 間 因 子 分 別 為 cosω′t′和 cos(ω′t′+π/2),雖然電場能量和磁場能量隨時(shí)間反相變化,但在任何時(shí)刻電場能量和磁場能量之和保持不變。因此在Σ′系,在整個(gè)靜止的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)為

設(shè)諧振腔在慣性參考系Σ中以速度v沿x的正方向勻速運(yùn)動,即Σ′系相對Σ系以速度v沿x的正方向勻速運(yùn)動。在Σ系中,諧振腔的面為x=vt,依據(jù)電磁場的相對論變換[7-8],在Σ系中電磁場表現(xiàn)為以V表示Σ系中電磁場分布空間(下同)。在Σ′系中,諧振腔中各處的電(磁)場同步作簡諧振動,但在Σ系中觀察,嚴(yán)格來講,微波諧振腔中各處的電(磁)場不再同步振動,但是由于諧振腔的尺寸較小,由諧振腔尺寸引起的電(磁)場振動的相對論時(shí)間差T為微波的振動周期)可忽略不計(jì),即在Σ系中觀察諧振腔中各處的電(磁)場仍同步振動。

由此可得在Σ系中電磁場的各個(gè)分量表示為

該電磁場最后一個(gè)分量B x=0。

下面計(jì)算電磁場的各個(gè)分量對能量的貢獻(xiàn):

同前面一樣,上述積分運(yùn)算中也是利用了三角函數(shù)的半角公式和周期性。

在Σ系中,在一個(gè)周期內(nèi)整個(gè)運(yùn)動的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)平均值為

在Σ系中電磁場動量密度gEM=ε0E×B的各個(gè)直角分量表示為g x=ε0(E y B z-E z B y),g y=ε0(E z B x-E x B z),g z=ε0(E x B y-E y B x)。

下面計(jì)算電磁場的各種分量對動量的貢獻(xiàn):

易知,P y=P z=0。即此種情況下諧振腔內(nèi)一個(gè)周期電磁場的平均總動量為

以上計(jì)算結(jié)果可類比于運(yùn)動粒子的相對論能量與動量[8]。

2 波模(m,n,0)的電磁場

有了上面的計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn),下面繼續(xù)考慮在Σ′系諧振腔內(nèi)另一簡單的諧振波模(m,n,0)的電磁場,即

此種波模下電場方向垂直于諧振腔的運(yùn)動方向。同樣,設(shè)在Σ′系整個(gè)靜止的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)為W0,則有

該電磁場其余3個(gè)分量E x=E y=B z=0。

下面首先計(jì)算該波模的電磁場的能量。同理于前面的公式推導(dǎo),有

于是,此種波模的電磁場的一個(gè)周期平均總能量為

下面再計(jì)算此種情況下電磁場的動量。首先,

其次易知,相應(yīng)的該電磁場動量密度其余(如ε0E y B z等5個(gè))分量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值均為零。由此可得,此種情況下諧振腔內(nèi)一個(gè)周期電磁場的平均總動量為

以上計(jì)算結(jié)果說明,和運(yùn)動粒子的相對論能量與動量[8]相比,此種情況下電磁場的能量與動量具有一定的特殊性。

3 結(jié)束語

前面分別計(jì)算了矩形諧振腔運(yùn)動時(shí)腔內(nèi)兩種簡單的諧振波模(0,n,p)和(m,n,0)的電磁場的能量和動量。這兩種波模的電磁場在一個(gè)周期內(nèi)的平均能量和動量隨運(yùn)動速度不同步增加,差別很大。諧振腔及其周邊的電子元件一起構(gòu)成電壓回路或電流通路。如果諧振腔工作在高速運(yùn)動的載體(如飛機(jī)或衛(wèi)星)上,當(dāng)載體的速率或方向急劇變化(如急轉(zhuǎn)彎)時(shí),這兩種波模在其周邊的電路中激發(fā)的相應(yīng)電流或電壓擾動應(yīng)該是不同的。這種擾動的強(qiáng)度有待進(jìn)行定量計(jì)算。由此可以預(yù)見,(m≠0,n≠0,p≠0)的情況會更加復(fù)雜,這也有待進(jìn)一步深入研究。

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