高中數學不等式易錯題型及解題技巧

文/李嚴

高中數學不等式易錯題型及解題技巧

文/李嚴

摘要：分析高中不等式知識點易錯題型,并分類總結,然后給出解題技巧并用實例加以說明,以期對高中不等式的教學起到一定的促進作用。

關鍵詞：高中數學；不等式；易錯題；解題技巧

中圖分類號：G634.6

文獻標志碼：碼：A

文章編號：號：2095-9214(2015)08-0050-01

不等式是高中數學重點和難點,每年在高考試卷中所占比例也較大,往往結合數列以壓軸題的形式出現,是易錯點之一,筆者結合自己的教學實踐對不等式的易錯題型進行了總結,并給出了一些解題技巧和思路。

1.與線性規(guī)劃結合問題

這類題型在高考數學中占比例較大,考察知識點較多,包括最值、定義域、面積計算等,若沒有準確理解不等式及線性規(guī)劃的性質,容易出錯。

A：-1B：-1/2C：1/2D：1

此題的難點和易錯點在于三條直線所的圍成的圖形示意圖以及三角形面積的計算。解題思路是先畫出三條直線的示意圖,如圖1所示,然后把四個選項代入即可得答案為B。

圖1　例1直線示意圖

解答此類題型的技巧主要有兩個：

a,求目標函數的最值問題,關鍵是準確畫出可行域,理解目標函數的幾何意義

b,目標函數中設置參數,旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性,從目標函數的結論入手,從圖形的動態(tài)分析,對變化過程中的相關量的準確定位,是求解這類問題的主要思維方法。

2高次不等式的解法

高次不等式易錯點主要是容易遺忘特殊點(特殊區(qū)域)以及判斷不準函數的升降。

例2：求(x+3)·(x-2)·(x-4)≤0解集。

圖2　函數曲線示意圖

解題思路：

a,先在數軸上標出方程的3個零點,3個零點-3,2,4把數軸分成4個區(qū)間,如圖2所示。

b,最右的第一區(qū)間為正,以后正負相間,在區(qū)間標明正負號

c,不等式小于等于零的解找標有負號的區(qū)間,得解

d,所以該不等式的解集為{x丨2≤x≤4或x≤-3}

解答此類題型的技巧是擅長使用函數圖線簡圖來劃定區(qū)間,并注意一些特殊點。

3.含參不等式問題

往往需要對參數進行分類討論,選擇合理的分類依據進行完成。(參數是否為零等,不重不漏)

例3解關于x的不等式ax^2-2x+1>0(a為常數,a∈R)

此題要分情況來討論,分別是a=0、a>0和a<0三種情況,同時在a>0時還要區(qū)分△的值。

此類題型的解題技巧是要牢記參數要對參數進行分類來說明,保證不重不漏。

基本不等式：湊項,拆項,配系數,換元,取倒數,“1”的代換

4.解絕對值不等式

解絕對值不等式主要通過同解變形去掉絕對值符合轉化為一元一次或一元二次不等式(組)進行求解,含有多個絕對值符合的不等式,一般可用零點分段法求解,但利用實數絕對值得幾何意義求解較便捷,對于最值問題也可以考慮絕對值三角不等式。核心思想是“想方設法”將其轉換成不含絕對值的式子求解。

5.不等式恒成立問題

不等式恒成立問題往往與數列或抽象函數相結合來命題,這類問題是高中不等式問題的難點,而且由于抽象性較強,極易出錯。

例4(2014年陜西高考數學卷23題)

設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導函數。

(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達式；

(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)設n∈N+,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n﹣f(n)的大小,并加以證明。

該題的考點是結合不等式、函數導數求閉區(qū)間上函數的最值并研究函數的單調性。

解答此類題型的技術往往采取分離變量或適當變形,或變換主元,或構造函數,再利用函數的單調性或基本不等式進行求解；最值問題常常轉化成利用基本不等式求解。同時在轉化不等式中要注意不等式不等號的方向,注意“一正,二定,三相等”。

結束語

筆者結合自己的教學實踐,闡述了不等式知識點的易錯題型,除了上面論述的之外,不等式的證明、不等式的轉換、不等式的最值等問題也容易出錯,任課教師需要在講解時注意。

(作者單位：陜西省渭南市杜橋中學)

參考文獻：

[1]張惠淑.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究[D].天津師范大學,2012.

[2]錢煜.基于高考試題的高中數學不等式教學研究[J].語數外學習(高中數學教學)2014(12).