凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

文/程雙青

摘　要：凸函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一重要的概念,在其他學(xué)科中應(yīng)用比較多,本文主要研究凸函數(shù)的性質(zhì)及性質(zhì)的一些應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：凸函數(shù);性質(zhì);應(yīng)用

凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

文/程雙青

摘要：凸函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一重要的概念,在其他學(xué)科中應(yīng)用比較多,本文主要研究凸函數(shù)的性質(zhì)及性質(zhì)的一些應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：凸函數(shù);性質(zhì);應(yīng)用

作者簡(jiǎn)介：程雙青,碩士,西安汽車科技職業(yè)學(xué)院。

中圖分類號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：碼：A

文章編號(hào)：號(hào)：2095-9214(2015)08-0180-01

1.凸函數(shù)的性質(zhì)

文[1]給出了如下的兩定理:

定理1.1設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上定義,f(x)是凸函數(shù)充分必要條件為：?x1,x2,x3∈[a,b],x1

(1.1)

定理1.2設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上定義,且在(a,b)上可導(dǎo),則f(x)是凸函數(shù)的充分必要條件是：?x0∈(a,b)有

f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)(a≤x≤b)

(1.2)

定理1.3 對(duì)R上連續(xù)的凸函數(shù)g(x),存在R上的實(shí)值非降函數(shù)h(x),使得對(duì)任意的x,y∈R,成立不等式：

g(y)-g(x)≥h(x)(y-x)

(1.3)

比較(1.2)、(1.3),從而得出凸函數(shù)的一等價(jià)性質(zhì).

定理1.4設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,則f(x)是凸函數(shù)的充分必要條件為：存在(a,b)上定義的函數(shù)h(x),使得?x0∈(a,b)有

f(x)≥f(x0)+h(x0)(x-x0)x∈[a,b]

2.凸函數(shù)的應(yīng)用

例1設(shè)f(x)是[a,b]上連續(xù)的凸函數(shù),試證：?x1,x2∈[a,b],x1

證明 令t=x1+λ(x2-x1),λ∈(0,1),則

(2.1)

同理,令t=x2-λ(x2-x1),亦有

從而

(2.2)

故由(2.2)得

另外,由(3.1),應(yīng)用f(x)的凸性,

例2設(shè)f(x)為區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù),試證：f(x)在(a,b)的任一閉區(qū)間[α,β]?(a,b)上滿足Lipschitz條件.

證明 要證明f(x)在區(qū)間[α,β]上滿足Lipschitz條件,即要證明：?L>0,使得?x1,x2∈[α,β]有

因?yàn)閇α,β]?(a,b),故可取h>0充分小,使得[α-h,β+h]?(a,b)于是?x1,x2∈[α,β],若x1

其中M,m分別表示f(x)在[α-h,β+h]上的上下界,從而

(*)

若x2

由此亦可推得(*)成立.

(作者單位：西安汽車科技職業(yè)學(xué)院)

參考文獻(xiàn)：

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