基于閾值改進(jìn)的小波變換在高鐵變形分析中的應(yīng)用

袁明月，文鴻雁，周　呂，陳冠宇(桂林理工大學(xué)a.廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心; b.測(cè)繪地理信息學(xué)院; c.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林　541004)

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基于閾值改進(jìn)的小波變換在高鐵變形分析中的應(yīng)用

袁明月，文鴻雁，周呂，陳冠宇
(桂林理工大學(xué)a.廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心; b.測(cè)繪地理信息學(xué)院; c.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

摘要:對(duì)小波變換閾值函數(shù)算法進(jìn)行了改進(jìn)，并實(shí)現(xiàn)了高鐵變形數(shù)據(jù)的去噪處理，使得去噪后均方根誤差相對(duì)于改進(jìn)前明顯減小，信噪比相對(duì)于改進(jìn)前明顯增大，改進(jìn)效果明顯。算例表明，用Kalman濾波模型對(duì)改進(jìn)閾值函數(shù)小波去噪結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果較好，說(shuō)明本文改進(jìn)方法是一種有效的去噪方法，可以用于建筑物變形分析預(yù)處理。

關(guān)鍵詞:小波變換;閾值;去噪;變形分析; Kalman濾波

小波變換是一種時(shí)－頻分析方法，具有低熵性、多分辨率、去相關(guān)性和選基靈活性的特點(diǎn)，小波去噪是低通濾波和特征提取的結(jié)合，去噪效果明顯。1995年D. L. Donoho提出閾值法小波去噪，包括硬閾值和軟閾值法［1］。為了克服傳統(tǒng)閾值法的缺點(diǎn)，本文在軟、硬閾值法去噪的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)閾值函數(shù)去噪方法，并對(duì)某高鐵一監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)沉降變形數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，即用小波變換對(duì)變形信號(hào)進(jìn)行消噪，提取信號(hào)。結(jié)果證明，該改進(jìn)閾值函數(shù)濾波方法較傳統(tǒng)閾值函數(shù)法有更好的濾波效果。

1　小波變換去噪

1. 1小波閾值法去噪

小波閾值法去噪的基本思想是:選擇合適的閾值對(duì)小波函數(shù)分解后的信號(hào)進(jìn)行處理，使低于該閾值的小波系數(shù)變?yōu)榱?，?dāng)高于或等于該閾值時(shí)，將對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)予以保留，從而使信號(hào)中的噪聲得到有效抑制［2］。

閾值函數(shù)是對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理的方法，包括硬閾值法、軟閾值法。

設(shè)對(duì)疊加了高斯白噪聲的有限長(zhǎng)度信號(hào)，某尺度j時(shí)小波變換系數(shù)yj= Ajf( x)可表示為

其中: xj為原始信號(hào)的小波變換系數(shù); zj為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲，服從正態(tài)分布。

硬閾值法:

軟閾值法:

1. 2閾值函數(shù)改進(jìn)算法

軟、硬閾值法雖然都得到廣泛應(yīng)用，但是此方法也有不足之處，如:硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性使得重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生振蕩;在軟閾值中| yj|＞δ時(shí)，^xj與yj總存在恒定偏差，并且因?yàn)闇p小了絕對(duì)值大的小波系數(shù)，還會(huì)導(dǎo)致信號(hào)邊緣模糊?；谏鲜隹紤]，本文在傳統(tǒng)閾值函數(shù)法的基礎(chǔ)上對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，其改進(jìn)表達(dá)式如下:

式中，a∈［0，1］為可變參數(shù)。

4)當(dāng)a = 1時(shí)，閾值函數(shù)等效于軟閾值函數(shù)。由以上分析以及圖1可知，參數(shù)a取不同的值，改進(jìn)閾值函數(shù)的發(fā)展方向會(huì)呈現(xiàn)不同的趨勢(shì)，但始終是一條不間斷的折線(xiàn): a = 0時(shí)，改進(jìn)閾值函數(shù)曲線(xiàn)包括硬閾值函數(shù)的曲線(xiàn);當(dāng)a = 1時(shí)，改進(jìn)閾值函數(shù)曲線(xiàn)即為軟閾值函數(shù)曲線(xiàn)。該方法既解決了軟閾值函數(shù)產(chǎn)生恒定偏差的問(wèn)題，又克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的問(wèn)題，新閾值函數(shù)兼有軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，可以通過(guò)調(diào)節(jié)a，直至達(dá)到最佳去噪效果。

由圖2可知隨a的增大，信噪比曲線(xiàn)先增大后減小，因此選擇合適的參數(shù)才能達(dá)到最優(yōu)的去噪效果。結(jié)合信噪比、信號(hào)均方差、光滑度等方面選擇a =0. 011時(shí)的濾波為最優(yōu)濾波。

圖1　改進(jìn)閾值函數(shù)(其中a =0.5，δ=2)Fig. 61Improved threshold function ( a =0.5，δ=2)

圖2　改進(jìn)閾值法不同參數(shù)a的信噪比Fig. 62SNR of improved threshold method by different a

2　Kalman濾波模型的建立

對(duì)于離散時(shí)間線(xiàn)性隨機(jī)系統(tǒng)的卡爾曼濾波，其數(shù)學(xué)模型由狀態(tài)方程與觀測(cè)方程構(gòu)成，離散化形式可以表示為［2］

式中: Xk為系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)向量; Fk/k－1為系統(tǒng)從k－1時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣; Gk－1為系統(tǒng)k－1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲矩陣; Wk－1為系統(tǒng)k－1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲，其協(xié)方差矩陣為Qk; Lk是系統(tǒng)k時(shí)刻的觀測(cè)向量; Hk是系統(tǒng)k時(shí)刻的觀測(cè)矩陣; Vk為系統(tǒng)k時(shí)刻的觀測(cè)噪聲，其協(xié)方差為Rk。

根據(jù)最小二乘原理，推出隨機(jī)離散線(xiàn)性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式［2］:

狀態(tài)向量的一步預(yù)測(cè)

狀態(tài)向量的一步預(yù)測(cè)方差陣

狀態(tài)向量的估計(jì)值

狀態(tài)向量的估計(jì)值的方差矩陣

J是濾波增益矩陣

式中，Rk是系統(tǒng)的觀測(cè)噪聲方差陣。

Kalman濾波是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，其濾波方程是一組遞推計(jì)算公式，計(jì)算過(guò)程是不斷預(yù)測(cè)、修正的過(guò)程，特別適合變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)處理［3］。

3　應(yīng)用實(shí)例

3. 1小波去噪

以某高鐵一監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，基于Matlab軟件平臺(tái)下編程實(shí)現(xiàn)小波去噪，本文采用了db4小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了4層分解，用軟、硬閾值以及改進(jìn)閾值函數(shù)3種方法進(jìn)行去噪。去噪曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)值曲線(xiàn)比較如圖3～圖5所示。圖3表明，軟閾值法得到的去噪信號(hào)比較光滑，但將一些有用的信號(hào)當(dāng)作隨機(jī)噪聲被濾掉，失真較大，邊緣比較模糊，濾波效果不佳;圖4表明，硬閾值法去噪后得到的曲線(xiàn)保留了一些有規(guī)律起伏變化信息，效果優(yōu)于軟閾值;從圖5可以看出，改進(jìn)閾值函數(shù)去噪曲線(xiàn)與原始信號(hào)曲線(xiàn)更逼近，能真實(shí)地反映變形趨勢(shì)，濾波效果較好?？傮w上，改進(jìn)閾值函數(shù)去噪曲線(xiàn)與原始信號(hào)的曲線(xiàn)的逼近程度較軟、硬閾值函數(shù)法更高，即信號(hào)特征保留的更加完整，能更真實(shí)的反映變形情況。

為了從數(shù)值上說(shuō)明改進(jìn)閾值函數(shù)法去噪效果，比較幾種方法的信噪比( SNR)與均方根誤差( RMSE)，如表1所示。

可以看出，軟閾值函數(shù)法信噪比為18. 339 5，低于硬閾值函數(shù)法，而改進(jìn)閾值函數(shù)法信噪比最高為19. 775 7，且改進(jìn)閾值函數(shù)法的去噪信號(hào)均方差最小為0. 097 4，硬閾值函數(shù)法以及軟閾值函數(shù)法均高于改進(jìn)閾值函數(shù)法。以上表明，改進(jìn)閾值函數(shù)具有更好濾波精度，去噪效果較佳，在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理方面具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

3. 2 Kalman濾波模型預(yù)測(cè)

基于上節(jié)小波改進(jìn)閾值法濾波結(jié)果進(jìn)行變形分析預(yù)測(cè)。首先利用Kalman濾波模型分別對(duì)小波改進(jìn)閾值法濾波結(jié)果以及原始數(shù)據(jù)的前41期數(shù)據(jù)建模進(jìn)行擬合，后5期作為預(yù)測(cè)序列，然后對(duì)比模型預(yù)測(cè)效果，結(jié)果如圖6、圖7所示。

可以看出，Kalman濾波模型對(duì)小波改進(jìn)閾值法濾波結(jié)果以及原始數(shù)據(jù)的擬合效果都比較好，但是對(duì)小波改進(jìn)閾值法濾波結(jié)果的擬合效果更好、預(yù)測(cè)精度更高;改進(jìn)閾值函數(shù)小波去噪是對(duì)變形信號(hào)進(jìn)行消噪，使信號(hào)特征保留的更加完整，能夠更真實(shí)的反映變形情況，有利于對(duì)后期進(jìn)行變形分析與預(yù)測(cè)，提高預(yù)測(cè)精度。

圖3　軟閾值函數(shù)法處理結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 63Comparison of soft threshold function method and original data

圖4　硬閾值函數(shù)法處理結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 64Comparison of hard threshold function method and original data

圖5　改進(jìn)閾值函數(shù)法處理結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 65Comparison of improved threshold function method and original data

表1　3種閾值法去噪的均方根誤差與信噪比Table 1　RMSE and SNR of denoising in three threshold methods

圖6　改進(jìn)閾值函數(shù)法處理結(jié)果與經(jīng)Kalman濾波模型擬合、預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig. 66Comparison of improved threshold function method and values and predictions of Kalman filtering model

圖7　原始數(shù)據(jù)與經(jīng)Kalman濾波模型擬合、預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig. 67Comparison of original data and values and predictions of Kalman filtering model

本文采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法中的后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P對(duì)模型的精度進(jìn)行評(píng)判，評(píng)判結(jié)果如表2所示。

表2　兩種Kalman濾波模型預(yù)測(cè)模型的精度對(duì)比表Table 2　Comparison of precision of two methods

由模型的精度表2可知，兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度均能夠達(dá)到一級(jí)，且小誤差概率達(dá)到100%，但對(duì)小波改進(jìn)閾值法濾波結(jié)果的后驗(yàn)差比值是對(duì)原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果的后驗(yàn)差比值的84. 5%，說(shuō)明基于改進(jìn)閾值法去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行變形分析預(yù)測(cè)可信度更高，具有更好的優(yōu)越性和應(yīng)用價(jià)值。

4　結(jié)論

本文提出了一種對(duì)傳統(tǒng)小波改進(jìn)閾值函數(shù)的算法，并用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)軟、硬閾值函數(shù)與改進(jìn)閾值函數(shù)法去噪。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明:

( 1)改進(jìn)閾值函數(shù)法與傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)法相比，有效地抑制了信號(hào)波形失真，去噪曲線(xiàn)與原始數(shù)據(jù)曲線(xiàn)更加逼近，具有更好的可信度。

( 2)從信噪比和均方根誤差的角度看，改進(jìn)閾值函數(shù)法信噪比最高，原始信號(hào)與估計(jì)信號(hào)的均方根誤差最小，消噪信號(hào)更接近于原始信號(hào)，能夠有效地識(shí)別信號(hào)和噪聲，較好地消除噪聲并且保留特征信號(hào)，去噪效果明顯改善，適合于變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的去噪處理，具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

( 3)用Kalman濾波模型對(duì)改進(jìn)閾值函數(shù)法處理結(jié)果的后5期進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果更好，證明本文的改進(jìn)閾值函數(shù)法有效并具有可行性，可以作為在變形分析預(yù)測(cè)中的一種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。

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Application of high-speed railway deformation analysis based on improved wavelet threshold value

YUAN Ming-yue，WEN Hong-yan，ZHOU Lyu，CHEN Guan-yu
( a. Guangxi Scientific Experiment Center of Mining，Metallurgy and Environment; b. College of Geomatics and Geoinformation; c. Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin University of Technology; Guilin 541004，China)

Abstract:An improved algorithm of wavelet transform threshold function is proposed，by the denoising processing of high-speed rail deformation data．Compared with previous methods，this algorithm reduces the denoising a lot．When RMSE is decreased，the signal-to-noise is obviously increased．A prediction is made for the improved threshold function wavelet denoising by Kalman filter model．This improved method is proved to be an effective denoising method and can be applied to the pretreatment of the building deformation analysis．

Key words:wavelet; the threshold value; denoising; deformation; Kalman filter

通訊作者:文鴻雁，博士，教授，glitewhy@163. com。

作者簡(jiǎn)介:袁明月( 1990—)，女，碩士研究生，研究方向:變形監(jiān)測(cè)與數(shù)據(jù)處理，770695716@ qq. com。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 41461089) ;廣西“八桂學(xué)者”專(zhuān)項(xiàng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目;廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(桂科能130511402; 1207115－06) ;廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 2014GXNSFAA118288) ;廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心項(xiàng)目( KH2012ZD004) ;廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目( YCSZ2014151; YCSZ2012083)

收稿日期:2014－03－11

doi:10. 3969/j．issn. 1674－9057. 2015. 01. 016

文章編號(hào):1674－9057( 2015) 01－0107－04

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

中圖分類(lèi)號(hào):P228

引文格式:袁明月，文鴻雁，周呂，等．基于閾值改進(jìn)的小波變換在高鐵變形分析中的應(yīng)用［J］．桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，35 ( 1) : 107－110．