雙渦卷Jerk非線性系統(tǒng)混沌電路設(shè)計(jì)

陳嬌英，彭宇寧，唐英姿( .廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，南寧　50004; 2.廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南寧　5000; .廣西師范學(xué)院，南寧　5000)

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雙渦卷Jerk非線性系統(tǒng)混沌電路設(shè)計(jì)

陳嬌英1，2，彭宇寧1，唐英姿3
( 1.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，南寧530004; 2.廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南寧530001; 3.廣西師范學(xué)院，南寧530001)

摘要:為進(jìn)一步探討非線性混沌系統(tǒng)的可控規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對(duì)混沌現(xiàn)象的利弊進(jìn)行有效控制，根據(jù)雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程，采用模塊化電路設(shè)計(jì)理論設(shè)計(jì)了雙渦卷Jerk非線性混沌電路，并使用Matlab軟件仿真其數(shù)學(xué)模型，Multisim軟件仿真其硬件電路。仿真結(jié)果證明:設(shè)計(jì)的雙渦卷非線性混沌電路能產(chǎn)生與數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果一致的混沌波形，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)雙渦卷Jerk混沌電路的正確性。

關(guān)鍵詞:非線性系統(tǒng);雙渦卷Jerk混沌電路;模塊化電路設(shè)計(jì)理論

混沌系統(tǒng)是一門交叉學(xué)科，屬于物理、數(shù)學(xué)和控制的交叉研究領(lǐng)域［1］。混沌自20世紀(jì)90年代以來一直都是非線性學(xué)科研究的熱點(diǎn)。正如人類如果沒有發(fā)現(xiàn)“黑色黃金”——石油的價(jià)值所在，今天就不會(huì)擁有如此發(fā)達(dá)的交通工具——飛機(jī);如果人類沒有認(rèn)識(shí)到電磁感應(yīng)現(xiàn)象，就不會(huì)有現(xiàn)在的萬家燈火和高科技?；煦绗F(xiàn)象廣泛存在于各種非線性控制系統(tǒng)中。廣泛地發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，探索新型混沌系統(tǒng)，用電子器件構(gòu)造和演示混沌現(xiàn)象，做出典型混沌系統(tǒng)的實(shí)物模型，在演示器上尋找和研究混沌系統(tǒng)控制方法，通過模擬尋求共性，實(shí)時(shí)控制趨利避害，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)用價(jià)值。

筆者采用直接觀測(cè)法［2］對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究，分析混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的原因及原理，通過動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值和器件仿真相軌跡在相空間中隨時(shí)間的變化及狀態(tài)方程中變量隨時(shí)間的走向，對(duì)數(shù)值器件仿真和硬件電路圖產(chǎn)生的混沌相圖進(jìn)行對(duì)比，總結(jié)混沌的規(guī)律。用模塊化電路設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)雙渦卷Jerk非線性系統(tǒng)混沌電路，從仿真結(jié)果相圖中觀察變量運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到完整清晰的雙渦卷Jerk混沌波形。

1　雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

雙渦卷Jerk非線性混沌系統(tǒng)是2000年美國科學(xué)家J C Sportt提出來的［3－4］，其無量綱狀態(tài)方程為式中的各參數(shù)取值:β為0. 45～0. 7，x、y、z、τ均為無量綱變量。當(dāng)式f( x) = | x |－1時(shí)，該狀態(tài)方程將產(chǎn)生單渦卷混沌現(xiàn)象;而當(dāng)f( x) = sgn( x)－x時(shí)，該狀態(tài)方程將產(chǎn)生雙渦卷混沌現(xiàn)象。非線性函數(shù)f( x) = sgn( x)－x為鋸齒波，而F( x) = sgn( x)是階梯波，由此可知鋸齒波和階梯波其實(shí)只是通過增加或者減少一個(gè)線性函數(shù)便可以實(shí)現(xiàn)兩者之間的相互轉(zhuǎn)換。如果將鋸齒波的函數(shù)f( x) = sgn( x)－x改成由階梯波函數(shù)F( x) = sgn( x)來代替，則式( 1)變換為

2　數(shù)學(xué)模型Matlab仿真

利用Matlab軟件對(duì)雙渦卷Jerk系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式式( 2)進(jìn)行仿真(取β= 0. 5)。在仿真前需要對(duì)仿真時(shí)間T、步長(zhǎng)Step和雙蹤示波器的坐標(biāo)范圍進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，以便對(duì)波形進(jìn)行觀察和分析。

從圖1所示的仿真波形可以觀察到清晰的雙渦卷混沌波形。在雙渦卷系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型仿真中發(fā)現(xiàn)，雖然β在0. 45～0. 7間任意取值時(shí)產(chǎn)生的波形有所不同，但是都能產(chǎn)生穩(wěn)定相似的混沌波形;如果β的取值不在此范圍內(nèi)，將不會(huì)產(chǎn)生混沌波形，而會(huì)產(chǎn)生以下的兩種情況:

①當(dāng)β＜0. 45時(shí)仿真的波形將向外發(fā)散，無法形成穩(wěn)定的混沌波形;

②當(dāng)β＞0. 7時(shí)，仿真的波形將由外向內(nèi)運(yùn)動(dòng)逐漸終止，最后也無法形成穩(wěn)定的混沌波形。

可見，混沌系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)的初值有決定性作用。如果系統(tǒng)各參數(shù)取值不當(dāng)或者有微小的變化，隨著混沌軌跡的不斷變化將會(huì)產(chǎn)生巨大偏差，最終將不能產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌波形或者波形將消失。參數(shù)取值的不同對(duì)混沌造成的影響，證明了混沌系統(tǒng)的可控性?；煦缦到y(tǒng)表面看上去都是一些無規(guī)則、雜亂無章的運(yùn)動(dòng)軌跡，并沒有什么規(guī)律可言，但其系統(tǒng)內(nèi)部是遵循一定的規(guī)律的，運(yùn)動(dòng)軌跡始終在一定范圍內(nèi)作非線性運(yùn)動(dòng)，似乎有一種無形的吸引力在約束它。對(duì)此可以利用混沌現(xiàn)象原理對(duì)一些非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制，利用類似“混沌吸引子”系統(tǒng)將難以控制的非線性動(dòng)力學(xué)控制在安全穩(wěn)定的范圍之內(nèi)，使之發(fā)揮有利作用，同時(shí)去除造成危害的部分。

圖1　雙渦卷Jerk系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型仿真波形Fig. 61Jerk system state equation simulation phase diagram

3　雙渦卷Jerk混沌電路的設(shè)計(jì)

采用模塊化電路設(shè)計(jì)方法［5－9］，設(shè)計(jì)過程主要分為3個(gè)步驟。

1)進(jìn)行變量的比例壓縮變換。通常所用的運(yùn)算放大器芯片的電源電壓為±15 V，而運(yùn)算放大器的線性動(dòng)態(tài)范圍是±13. 5 V，所以首先利用Matlab對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真，觀察該系統(tǒng)相圖中的變量是否超出線性動(dòng)態(tài)范圍(±13. 5 V)。如果沒有超出這個(gè)范圍，則該系統(tǒng)無量綱方程不需要作比例壓縮變換;如果超出這個(gè)范圍就需要作變量比例壓縮變換。在對(duì)雙渦卷系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真過程中可以觀察到圖1中各相圖的變量變化范圍都沒有超過運(yùn)算放大器±13. 5 V的動(dòng)態(tài)范圍，因此在進(jìn)行電路設(shè)計(jì)時(shí)不需要對(duì)狀態(tài)方程作變量比例壓縮。

2)作時(shí)間尺度的變換、微分－積分轉(zhuǎn)換、標(biāo)準(zhǔn)化處理。對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行積分－微分的轉(zhuǎn)換及時(shí)間尺度的變換，然后將積分方程標(biāo)準(zhǔn)化，得到的狀態(tài)方程:

其中: R0、C0為積分時(shí)間常數(shù); f( x) = sgn( x)－x為非線性函數(shù)，其模塊電路設(shè)計(jì)如圖2所示。

3)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)積分方程設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模塊化電路。系統(tǒng)模塊化電路設(shè)計(jì)如圖3所示。運(yùn)算放大器采用LF353P型號(hào)，芯片采用±15 V雙電源供電方式;電阻采用固定阻值的電阻和可調(diào)電位器，主要是方便對(duì)電路中的可調(diào)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，同時(shí)通過對(duì)可調(diào)電位器的調(diào)整探索參數(shù)變換對(duì)于整個(gè)混沌系統(tǒng)的影響。

圖2　非線性函數(shù)電路圖Fig. 62Diagram of nonlinear function circuit

4　系統(tǒng)電路Multisim仿真

在Multisim仿真軟件中，對(duì)圖3雙渦卷Jerk系統(tǒng)電路進(jìn)行仿真。電容采用無極性電容。電路及元件參數(shù)見圖3。仿真結(jié)果在泰克示波器上輸出(圖4)，輸出波形圖見圖5。

將電路輸出的混沌波形與Matlab數(shù)值仿真的混沌波形圖1進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明兩種仿真的波形是一致的，說明所設(shè)計(jì)的電路是正確的。

圖3　雙渦卷Jerk系統(tǒng)模塊電路圖Fig. 63Jerk system module circuit diagram

圖4　雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)硬件電路3個(gè)輸出端波形仿真Fig. 64Three output waveform simulation of Jerk system hardware circuit

圖5　雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)硬件電路仿真Fig. 65Jerk system hardware circuit chaos waveforms phase diagram

5　結(jié)論

本文研究了雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)模塊化電路的設(shè)計(jì)方法。通過Matlab數(shù)值仿真、Multisim器件仿真的對(duì)比，找出了混沌系統(tǒng)的一般規(guī)律以及參數(shù)取值的不同對(duì)混沌造成的影響，證明了雙渦卷Jerk混沌系統(tǒng)的可控性。對(duì)非線性控制領(lǐng)域發(fā)掘更多新的混沌系統(tǒng)和混沌現(xiàn)象，對(duì)混沌的利弊實(shí)現(xiàn)有效控制，減少混沌現(xiàn)象對(duì)人類的影響有一定參考價(jià)值。特別是就電力系統(tǒng)而言，掌握對(duì)混沌現(xiàn)象的控制方法和手段、探索混沌現(xiàn)象的應(yīng)用前景具有很大的實(shí)際意義。

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Chaotic circuit design for double turbination Jerk nonlinear system

CHEN Jiao-ying1，2，PENG Yu-ning1，TANG Ying-zi3
( 1. College of Electrical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China; 2. Guangxi Vocational and Technical Institute of Industry，Nanning 530001，China; 3. Guangxi Normal Institute，Nanning 530001，China)

Abstract:In order to explore the control rule of nonlinear chaotic system and realize the pros and cons of chaos phenomenon under effective control，based on double turbination Jerk chaos system state equation，and the theory of modular circuit design，double turbination Jerk nonlinear chaotic circuit is introduced，its mathematical model by Matlab software simulation，Multisim software simulation of hardware circuit．The simulation results prove that the design of double turbination nonlinear mathematical model for the simulation results is in agreement with the chaotic circuit and can produce chaotic waveform．The correctness of the design of double turbination Jerk chaotic circuit has also been verified，with reference for the control and application of the chaotic phenomenon in the future．

Key words:modular circuit design theory; dual-scroll chaotic nonlinear phenomena demonstrator; Matlab and Multisim simulation

作者簡(jiǎn)介:陳嬌英( 1966—)，女，碩士，副教授，研究方向:電力系統(tǒng)分析與控制，cjy-6647@163. com。

基金項(xiàng)目:廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(桂科基0663022)

收稿日期:2014－12－08

doi:10. 3969/j．issn. 1674－9057. 2015. 01. 035

文章編號(hào):1674－9057( 2015) 01－0213－04

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

中圖分類號(hào):TM13

引文格式:陳嬌英，彭宇寧，唐英姿．雙渦卷Jerk非線性系統(tǒng)混沌電路設(shè)計(jì)［J］．桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，35( 1) : 213－216．