雙調(diào)和Abel-Poisson算子對H?lder函數(shù)類的逼近

雙調(diào)和Abel-Poisson算子對H?lder函數(shù)類的逼近

有名輝

(浙江機電職業(yè)技術(shù)學院數(shù)學教研室，杭州310053)

[摘要]建立了雙調(diào)和Abel-Poisson算子對H?lder函數(shù)類的逼近度的漸進等式，解決了雙調(diào)和Abel-Poisson算子和H?lder函數(shù)類的Kolmogorov-Nikol’skii 問題.

[關(guān)鍵詞]雙調(diào)和Abel-Poisson算子； H?lder函數(shù)類； 逼近； 漸進等式； Kolmogorov-Nikol’skii問題

[收稿日期]2015-03-20;[修改日期]2015-05-15

[中圖分類號]O174.42[文獻標識碼]A

1引言

記C2π是周期為2π的連續(xù)函數(shù)的全體，對f∈C2π定義范數(shù)：

若f∈C2π滿足不等式

‖f(x+h)-f(x)‖∞≤|h|α(0<α≤1)，

(1)

則稱f(x)滿足H?lder條件，滿足條件(1)的函數(shù)的全體稱為H?lder函數(shù)類，記為Hα.

若f∈C2π滿足不等式

‖f(x+h)-2f(x)+f(x-h)‖∞≤2|h|α(0<α≤2，|h|≤2π)，

(2)

則稱f(x)滿足Zygmund條件，滿足條件(2)的函數(shù)的全體稱為Zygmund函數(shù)類，記為Zα.

對于C2π中的可積函數(shù)f，定義雙調(diào)和Abel-Poisson積分A2(f，r，x)如下：

考查雙調(diào)和Abel-Poisson積分算子對某一函數(shù)類K的逼近度，通常用量

(3)

來表示.如果存在函數(shù)φ(1-r)=φ(K;A2(f，r，x);(1-r))滿足：

E(K，r)=φ(1-r)+o(φ(1-r))(r→1-0)，

則稱算子A2(f，r，x)和函數(shù)類K的Kolmogorov-Nikol’skii 問題[3]解決了.

上個世紀60年代，Kaniev[4]，Pych[5]研究了K=H1的情形，并取得了一定的成果.如1968年，Pych[5]建立了如下漸進等式

2000年， Zhigallo和Kharkevych[6]把Pych的結(jié)果進行了如下推廣：

其中

對于K=Hα(0<α<1)的情形，近些年來，一直未見相關(guān)研究成果出現(xiàn).本文在此主要研究雙調(diào)和Abel-Poisson算子對H?lder函數(shù)類Hα(0<α<1)的逼近.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)0<α<1，E(Hα，r)如式(3)定義，則r→1-0時，有如下漸進等式：

(4)

因此，利用式(1)， 即得

(5)

顯然|t|α∈Hα，并且

(6)

結(jié)合式(3)，(5)及(6)可得

(7)

記

∶=I1+I2.

(8)

經(jīng)過簡單的計算，不難得到

(9)

結(jié)合式(9)，可知

(10)

其中

(11)

利用變量代換，可得

(12)

利用β函數(shù)和Γ函數(shù)[7]的性質(zhì)，可得

(13)

同時，不難證明

(14)

再把式(13)，(14)代入到式(12)，可得

(15)

把式(15)代入到式(11)，便得

(16)

(17)

結(jié)合式(16)，(17)，則有

(18)

考查式(10)中的積分，經(jīng)過細致的計算，不難算得

(19)

把式(18)，(19)代入式(10)，可知

(20)

以下考查式(8)中的I2，經(jīng)過簡單而細致的計算，可得

(21)

利用式(21)，易得

I2=I21+O((1-r)2)，

(22)

其中

(23)

再次利用β函數(shù)和Γ函數(shù)的性質(zhì)，可以算得

(24)

把式(24)代入到式(23)，并結(jié)合式(22)，得

(25)

結(jié)合式(17)和式(25)，可知

(26)

把式(20)、(26)代入到(8)，并結(jié)合式(7)，便得

推論1設(shè)0<α<1，E(Zα，r)如式(3)定義，則r→1-0時，有如下漸進等式：

[參考文獻]

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[3]Stepanets A I. Classification and approximation of periodic function by its Poisson integral[J]. Dokl. Akad. Nauk SSSR， 1950， 74:17-20.

[4]Kaniev S. On the deviation of functions biharmonic in a disk from their boundary values[J]. Dokl. Akad. Nauk SSSR， 1963， 153(5): 995-998.

[5]Pych P. On a biharmonic function in unit disk[J]. Ann. Pol. Math， 1968， 20(3): 203-213.

[6]Zhigallo K M， Kharkevych Yu I. On the approximation of functions of the H?lder class by biharmonic Poisson integrals[J]. Ukr. mat. zh.， 2000， 52(7): 1113-1117.

[7]Γ.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第二卷)[M].北京：高等教育出版社，2006.

On the Approximation of Functions of the H?lder Class by

Biharmonic Abel-Poisson Integral

YOUMing-hui

(Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，

Hangzhou 310053， China)

Abstract:This paper establishes the asymptotic equality of the upper bound of the deviation of the biharmonic Abel-Poisson integral from functions of the H?lder class， and solves the Kolmogorov-Nikol’skii problem of the biharmonic Abel-Poisson integral and the functions of the H?lder class.

Key words: approximation; biharmonic Poisson integral; H?lder class; asymptotic equality; Kolmogorov-Nikol’skii problem