以學習材料為支點，撬動學生的分析問題能力

宋煜陽

《數(shù)學課程標準》在“課程目標”中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，使學生能……增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！本途唧w解決問題步驟而言，無論是問題的發(fā)現(xiàn)、提出還是問題的分析、解決，都離不開觀察、識別、比較、分析等認知活動的支持。也就是說，分析活動是貫穿整個解決問題過程的，一旦缺乏或中止分析活動，思維鏈條就會被切斷。而分析問題能力，是需要以具體的學習材料為媒介進行歷練與培養(yǎng)的。其中，加強學習材料的整體呈現(xiàn)和圖形表征，是培養(yǎng)學生分析問題意識、提高學生分析問題能力的有效通道。

一、加強學習材料的整體呈現(xiàn)，提升認知沖擊力

與實驗版教材相比，人教版教材在修訂版中新增了較多的解決問題策略教學內(nèi)容，教師們普遍感到新教材難度加大，學生困難較多，于是在問題解決中減緩坡度，把原本隸屬一個整體的問題分解為若干問題，拾級而上。表面上看，課堂更順暢了，學生解決問題的正確率提高了。問題是，長此以往學生無形中滋長了對教師的依賴性，削弱了對實際問題的整體判斷和獨立分析能力、面臨困難的受挫性和忍耐力、獨立思考的持續(xù)力。如同一棵幼苗，長期在溫室中成長，在自然環(huán)境中生命就脆弱得多。在教學中，要還原教材問題的整體性呈現(xiàn)，讓學生經(jīng)歷困境的洗禮，組織學生梳理面臨的困難、明確思考的方向，這本身就是分析問題能力的重要訓練點。

比如，在六年級上冊新增了“用假設(shè)法解決問題”，以對話形式呈現(xiàn)信息：“這條道路，如果我們一隊單獨修，12天能修完”，“如果我們二隊單獨修，18天才能修完”，給出“如果兩隊合修，多少天能修完？”的問題。實際教學顯示，絕大多數(shù)學生第一次面臨這個問題，會感到束手無策，此時教師不要急于提供假設(shè)思路方法，而是組織學生梳理出“因為這條道路具體長度未知”這一認知拐點，引導學生繼續(xù)思考，讓學生在“如果具體長度知道了該多好”“具體長度不知道又該怎么辦呢”的認知>中突中多逗留一會兒，加深對假設(shè)策略頓悟的體驗。

如果說，上述情形是屬于對學習材料整體性“人為破壞”進行復原的話，教學中還要善于在已有典型材料基礎(chǔ)上附加材料，由單個（類）材料轉(zhuǎn)為整體性結(jié)構(gòu)材料，通過材料之間的相近性、差異性增強干擾性，促使學生“擦亮眼睛”“細心思考”，提高學習材料的識別、分化水平，從而進一步逼近學習本質(zhì)的理解。

比如，概念“高”的教學是“三角形認識”一課中的重難點所在。教學中，通常提供水平方向的正例進行概括“高”的概念；也有教師更進一步在水平正例基礎(chǔ)上進行旋轉(zhuǎn)變式，再組織學生將不同方位的“高”進行概念分析概括。應(yīng)該說在這個過程中，學習材料由單一的水平方向擴展到不同方位，學習材料的整體性有所增強。其實這個整體性視角還可以進一步拉大。可以在不同方位變式基礎(chǔ)上（圖1），增加一組不是“高”的材料（圖2），明確告訴學生第二組材料都不是三角形的高，讓學生觀察分析思考“究竟什么是三角形的高”。這里給出一組正例和一組反例，讓學生在“是高”“不是高”的辨別中進行分析，提升學生的分化水平，有效推動了學生分析問題能力的訓練。

又如，在“正比例”教學中，教材例題只提供了“文具店有一種彩帶，銷售的數(shù)量與總價的關(guān)系（表1）”材料，組織學生觀察思考“表中有哪兩個量”“總價是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的”“相應(yīng)的總價和數(shù)量的比分別是多少，比值是多少”，從而直接揭示正比例概念。顯然，學習材料過于單一，學生對“兩種量之間的變化趨勢”感知是不夠的，缺乏一種識別的沖擊力。教學中可以整體性提供一組材料（表一、表二、表三），組織學生進行觀察并根據(jù)變化趨勢分類。

讓學生分析得出“表一、表二為一個量隨著另一個量的增加（減少）而增加（減少）”，進一步分析表一“正比例”變率的特殊性。這樣，通過材料的擴展、干擾，增強了認知沖突力，促發(fā)學生萌生分析的意識，為分析問題能力的培養(yǎng)與提升奠定基礎(chǔ)。

二、加強學習材料的圖形表征，提升自主表達力

美國認知心理學家Simon認為：“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來的?！边@也就是說，表征是學習者實現(xiàn)自我分析、自我表達的有效手段。常見的表征形式有語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等。由于圖形表征主要是通過畫圖方式表達題意和解題思路，有助于直觀分析與交流，應(yīng)成為培養(yǎng)學生分析問題能力的重要訓練手段。

對于理解題意的分析，主要表現(xiàn)為兩個方面。一方面是將圖畫、圖文、對話形式的信息材料整理成純文字；另一方面是將純文字的信息材料轉(zhuǎn)譯為圖畫。隨著年級的升高，純文字形式的信息材料居多，教學中要特別關(guān)注從文到圖的表征訓練。比如，在三年級上冊新增了“歸總問題”，例題內(nèi)容為“媽媽的錢買6元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”，教材安排了運用線段圖進行分析題意。測試顯示，多數(shù)學生能正確列式解答但分析意識和能力很弱。顯然，本課教學除了能正確列式解答外，還承載著一個重要教學目標是“讓學生學會用線段圖整理、分析條件和問題，使問題和條件之間建立直觀的數(shù)量關(guān)系，感知歸總問題的結(jié)構(gòu)特點”。而在條件和問題梳理分析中，學生既要解讀出“這些錢”總量不變這一關(guān)鍵問題，并在線段圖上反映為長度相等，又要用不等長的線段區(qū)分出“6元”“9元”價錢不一，在“等長”和“不等長”的圖示表達中經(jīng)常會顧此失彼。如下圖（圖3、圖4）就是表征出現(xiàn)困難的典型：

此時，需要引導學生圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長是反映哪條信息？”“不同樣長想表達什么信息？”等一系列問題開展討論，在圖文對照分析中，促發(fā)學生對歸總問題本質(zhì)的感知與理解。

分析解答是解決問題步驟中的核心環(huán)節(jié)，主要涉及數(shù)量關(guān)系和數(shù)學原理的分析。由于數(shù)量關(guān)系和數(shù)學原理相對比較抽象，經(jīng)常需要借助圖示材料予以直觀化，讓學生清晰地看到分析的依據(jù)和過程。依然以“假設(shè)法解決問題”為例（一條道路，一隊單獨修，10天修完；二隊單獨修，15天修完。兩隊合修，多少天修完？），當學生發(fā)現(xiàn)把這條道路千米數(shù)假設(shè)為“30”“60”“150”等數(shù)據(jù)，結(jié)果一致，就自然生發(fā)出“為什么長度變了，合修的天數(shù)不變”的探究需求。在這個尋理分析過程中，有的學生是根據(jù)“30÷（30÷10+30÷15）”“60÷（60÷10+60÷15）”“150÷（150÷10+150÷15）”數(shù)據(jù)的縮放規(guī)律分析，有的學生則能發(fā)現(xiàn)每天修的千米數(shù)和總路長比例是不變的。后者是“理”的本質(zhì)所在，但需要借助下圖（圖5）進行直觀分析，發(fā)現(xiàn)“一隊在全長30千米、60千米中每天修的米數(shù)占全長的比例始終是1/10，同理二隊工作效率為1/15，兩隊合修天數(shù)為1÷（1/10+1/15）”。通過直觀的圖形表征讓學生看到“每天修的千米數(shù)和總路長比例不變”，才真正深入理解抽象為單位“1”為特征的工程問題本質(zhì)。

分析問題，作為一種意識與能力，對其培養(yǎng)與訓練既需要“入境”又需要“明理”。教學中，要善于通過學習材料，制造學生認知沖突，產(chǎn)生“知其然”的需求，并在內(nèi)化表征、直觀交流中“知其所以然”，逼近知識本質(zhì)的分析，從而實現(xiàn)以學習材料為支點撬動學生問題分析能力的有效培養(yǎng)與發(fā)展。

責任編輯 曾維平