改進(jìn)的Mumford-Shah模型及其在圖像恢復(fù)和分割中的應(yīng)用

改進(jìn)的Mumford-Shah模型及其在圖像恢復(fù)和分割中的應(yīng)用

畢翔，豆?jié)申?，李?/p>

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

摘要：在本文中，我們討論了幾個在圖像恢復(fù)和圖像分割中的經(jīng)典泛函，并且我們用非凸泛函去近似它們。這些經(jīng)典泛函和兩個變量相關(guān)u、v，其中u是圖像本身，v是它的邊緣。這樣的話，這個問題就包含著兩個方程和兩個未知變量，而在我們的近似非凸泛函中，只需要解關(guān)于u的一個單變量系統(tǒng)，因?yàn)槲覀円肓粟吔?的參數(shù)ρ，把v表示成了一個關(guān)于u的梯度的函數(shù)。我們還討論了這些近似模型關(guān)于時間的演化方程。最后，在我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，計算了p=1的情況。我們發(fā)現(xiàn)算法不但很快，而且也可以很好地保留邊緣。

關(guān)鍵詞：圖像恢復(fù)和分割；偏微分方程；歐拉方程；非凸泛函

中圖分類號：O241.82文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收稿日期：2014-12-26

作者簡介：畢翔(1991-)，男(漢族)，江蘇淮安人，中國傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：bixiang@cuc.edu.cn題的最終解。變分法研究的對象是泛函極值問題，而變分歐拉方程可以利用曲線演化的偏微分方程來逼近。

TheReducedMumford-ShahModelandItsApplicationsin

ImageRecoveryandSegmentation

BIXiang，DOUZe-yang，LIHao

(SchoolofScience，CommunicationUniversityofChina，Beijing100024)

Abstract：In this paper，we discuss several classical functionals in image recovery and segmentation.Moreover，we approximate them by nonconvex functional.These classical functionals are related to two variables u and v，where u is the image function and v is another variable which allows to detect the contours.Then this question consists in two equations and two unknowns，while in our approximate nonconvex functional，we only need to solve a system about one variable u.Because we introduce a parameter ρ，which goes to zero.Then we could express v as a function of the gradient of u .We also discuss the evolution equation of these models about time.Finally，in our numerical experiment，we compute the model in the case p=1 and find that not only the algorithms are faster but also the edges are very-well preserved.

Keywords：image recovery and segmentation；partial differential equation；Euler equation；nonconvex functional

1引言

在圖像分析領(lǐng)域，圖像去噪和分割是兩個非常重要的問題。圖像分割對于圖像目標(biāo)的特征提取和表達(dá)具有重要的意義。一般的問題是這樣的：對于給定的一幅帶有噪聲的圖像，我們需要在對其去噪的基礎(chǔ)上提取出它的邊緣。

基于偏微分方程的圖像分割方法是將圖像分割問題轉(zhuǎn)化為能量泛函的極小化問題，并用變分法尋求問

本文通過對經(jīng)典的Mumford-Shah模型的近似模型做簡化，將原來的雙變量系統(tǒng)變?yōu)閱巫兞肯到y(tǒng)，從而使得算法更快并且能夠很好地保留邊緣。

2預(yù)備知識

2.1　偏微分方程的基本概念及其差分格式

如果一個微分方程中，自變量的個數(shù)為兩個或者兩個以上，那么我們稱之為偏微分方程(partialdifferentialequation，PDE)，PDE的階次即為方程中階次最高的偏導(dǎo)數(shù)的次數(shù)。

在圖像處理中常用到的是偏微分方程中的橢圓形方程和拋物型方程。橢圓形方程是指方程中只包含對空間變量的偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程。泊松方程：

是典型的橢圓形方程。拋物型方程中不僅包含對空間的偏導(dǎo)數(shù)，還包含對時間的偏導(dǎo)數(shù)。熱傳導(dǎo)方程：

是典型的拋物型方程。

常用的PDE數(shù)值計算方法有：有限元法、有限差分法和譜法[1]。在圖像處理中，有限差分法用的比較多。有限差分的基本思想是用相距有限距離的兩個鄰點(diǎn)函數(shù)值的差與兩點(diǎn)間距離的比值來近似函數(shù)對變量的偏導(dǎo)數(shù)。一般情況下，我們會用向前差分來近似對時間的偏導(dǎo)數(shù)：

在空間中，對x的一階偏導(dǎo)數(shù)的近似，我們通常使用以下三種差分格式。

向前差分：

向后差分：

中心差分：

對于二階偏導(dǎo)數(shù)，我們只需在一階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再做一次近似即可。通過近似，我們就可以把偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)方程，從而選定數(shù)值方案進(jìn)行計算了。數(shù)值方案分為顯式、隱式和半隱式三種。從顯式到半隱式再到隱式，格式會越來越穩(wěn)定，但是實(shí)現(xiàn)起來也會越來越困難。因此，經(jīng)常會選擇穩(wěn)定性較好且實(shí)現(xiàn)較容易的半隱式格式方案。

2.2　變分原理

泛函的求極值問題成為變分問題。基于偏微分方程的圖像去噪及圖像分割問題，通常最終會歸結(jié)于求一個能量泛函的極小值問題。在一維情況下，能量泛函可能有如下形式：

(1)

由于擾動v在邊界上的值v(x0)=v(x1)=0，所以有u(x0)+v(x0)=a，u(x1)+v(x1)=b。根據(jù)分布積分法：

代入(1)式得：

(2)

在二維情況下，能量泛函的形式為E(u)=∫∫F(x，y，u，ux，uy)dxdy，其Euler方程的推導(dǎo)類似，結(jié)果為：

2.3　梯度下降流

一般情況下，上述Euler方程會是一個非線性PDE，離散之后的計算比較困難。我們可引入一個時間輔助變量，將橢圓型方程轉(zhuǎn)化為拋物型方程，將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)問題。當(dāng)方程隨著時間演化達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，得出的u便是該變分問題的解。

那么E(u)就會不斷減小。

3主要模型及推導(dǎo)

3.1　 Mumford- Shah及其近似模型

在圖像恢復(fù)和分割領(lǐng)域有一個的模型——Mumford-Shah模型[2]：

GMS(u)=∫(α|▽u|2+β|u-u0|2dxdy)+H1(su)

(3)

其中，α，β是兩個正權(quán)值參數(shù)。su是u的不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的跳躍集，即邊緣。H1是一維Hausdoff測度。在Rn上，簡單曲線的一維Hausdoff測度等價于曲線的長度，由于H1(su)的計算不方便，故后人提出了很多簡化的模型。該泛函的第一項(xiàng)為光滑項(xiàng)，保證u在連續(xù)區(qū)域上的充分光滑。第二項(xiàng)是保真項(xiàng)，保證了分割前后的圖像不偏差太大。第三項(xiàng)是邊緣長度，保證邊緣不致填滿整幅圖像。

Ambrosio和Tortorelli提出用對偶變量來表征跳躍集su[3]，得出：

(4)

現(xiàn)分別對(4)式中的u和v做一階變分，則有：

(5)

(6)

這樣，我們就將原來的雙變量系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單變量系統(tǒng)了，從而使算法更加得高效。

Shah根據(jù)A-T的這個思想，也提出了一個M-S模型的近似模型[4]：

GS(u，v)=∫

(7)

我們可以利用同樣的方法將其變成一個單變量系統(tǒng)：

Gs(u)=∫

(8)

我們將以上兩個近似模型統(tǒng)一成[5]：

其中p≥1。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們用|u-u0|的L2范數(shù)代替原來的Lp范數(shù)[6]，計算以下模型：

Gρ(u)=∫

(9)

3.2　模型的離散化

(8)式中的Euler方程為

(10)

再將外層的差分展開：

其中：

故

若加入梯度下降流[8]，則演化模型為：

則：

4數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在我們的實(shí)驗(yàn)中，我們采用256×256的Lenna彩色圖像和 256×256的Camera灰度圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。采用的噪聲是均值為0、方差為0.01的高斯白噪聲，效果對比圖如圖1、圖2所示。在圖1和圖2中，(a)為原始圖像，(b)為加噪圖像，(c)為恢復(fù)后圖像，(d)為分割后圖像。

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們采用平均平方誤差(meansquareerror，簡稱MSE)和信噪比(SignaltoNoiseRations，簡稱SNR)來評估圖像恢復(fù)的質(zhì)量。MSE和SNR定義如下：

其中，g(i，j)與f(i，j)分別表示原始圖像與恢復(fù)后的圖像，M、N分別是圖像的長和寬。表1給出了兩幅圖像的最優(yōu)平均平方誤差、信噪比和迭代時間，圖3、圖4分別反映出了Camera灰度圖像的平均平方誤差與迭代步數(shù)的關(guān)系以及信噪比與迭代步數(shù)的關(guān)系。圖5、圖6分別反映出了Lenna彩色圖像的平均平方誤差與迭代步數(shù)的關(guān)系以及信噪比與迭代步數(shù)的關(guān)系。

所有實(shí)驗(yàn)都是在MATLABR2014a版本上運(yùn)行的。執(zhí)行運(yùn)算的筆記本電腦是Intel(R)Core(TM)i7-4710MQCPU@ 2.50GHz2.50GHz處理器，4.00GB的內(nèi)存。在解方程組時，使用Gauss-Seidel迭代方法[9]進(jìn)行迭代，Gauss-Seidel方法是一種不動點(diǎn)迭代，當(dāng)達(dá)到最優(yōu)解附近時趨于穩(wěn)定。

表1　半徑采樣下核磁共振圖像重建實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(a)原始圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)加噪圖像

(c)恢復(fù)后的圖像　　　　　　　　　　　　　　　　(d)分割圖像 圖1

(a)原始圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)加噪圖像

(c)恢復(fù)后的圖像　　　　　　　　　　　　　　　　(d)分割圖像 圖2

圖3　平均平方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系

圖4　信噪比與迭代步數(shù)的關(guān)系

圖5　平均平方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系

圖6　信噪比與迭代步數(shù)的關(guān)系

5結(jié)論

在本文中，我們基于Mumford-Shah的簡化模型，利用對偶變量將原來的雙系統(tǒng)變成了單變量系統(tǒng)，并且引入了時間演化模型，使得算法變得更加快速的基礎(chǔ)上，依然可以很好地保留邊緣。

事實(shí)上，我們可以看到，在我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們極小化的泛函是一個非凸泛函，這是一個病態(tài)問題。但是，我們依然可以看到：在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，加噪的圖像被很好地恢復(fù)，而且分割的邊緣也比較清晰。因此，我們才可以在非凸問題上有所妥協(xié)。然而，對這部分的理論分析以及解釋還需要做進(jìn)一步的分析和研究。

參考文獻(xiàn)

[1]FombergB.Thepseudospectralmethod：Comparisonswithfinitedifferencesfortheelasticwaveequation[J].Geophysics，1987，52：483-501.

[2]DMumford，JShah.OptimalApproximationsbyPiecewiseSmoothFunctionsandAssociatedVariationalProblem[J].CommunicationsonPureandAppliedMathematics，VolXLII(1989)，577-685.

[3]AmbrosioL，TortorelliV.Approximationoffunctionalsdependingonjumpsbyellipticfunctionalsvia-convergence[J].CommunicationonPureandAppliedMathematics， 1990，43：999-1036.

[4]JShah.ACommonFrameworkforCurveEvolution，SegmentationandAnisotropicDiffusion[J].ProceedingsofIEEEConferenceonComputervisionandpatternrecognition，SanFrancisco，June，1996，136-142.

[5]ChanT.VariationalImagerestoration&segmentationmodelsandapproximations[OL].http：//www.math.ucla.edu/~imagers/htmls/seg.html.

[6]ChanT.Reducednon-convexfunctionalapplicationsforimagerestoration&segmentation[OL].http：//www.math.ucla.edu/~imagers/htmls/seg.html.

[7]王橋.數(shù)字圖像處理[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[8]LVese.VariationalproblemsandPDE’sforimageanalysisandcurveevolution[D].PHDThesis，UniversityofNice，Nov，1996.

[9]TimothySauer.NumericalAnalysis[M].NewJersey：PearsonEducationInc，2006.

(責(zé)任編輯：宋金寶)