基于不動點的新弱化緩沖算子的研究

基于不動點的新弱化緩沖算子的研究

韓然，吳正朋

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

摘要：在灰色系統(tǒng)理論緩沖算子公理體系下，基于反函數(shù)與廣義時間序列的平均發(fā)展速度構(gòu)造了一類新的弱化緩沖算子，并研究其一些特性和內(nèi)在聯(lián)系，有效解決了沖擊擾動數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測過程中經(jīng)常出現(xiàn)的定量預(yù)測結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題，實例分析結(jié)果表明該類算子的有效性和實用性。

關(guān)鍵詞：時間序列；平均發(fā)展速度；不動點；弱化緩沖算子

中圖分類號：N94文獻標識碼：A

收稿日期：2014-06-21

作者簡介：韓然(1976-)，男(漢族)，山東濰坊人，中國傳媒大學(xué)理學(xué)院講師.E-mail：hanran@cuc.edu.cn種實用弱化緩沖算子，文獻[7-9]構(gòu)造了一種強化緩沖算子。本文在上述工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)“新信息優(yōu)先利用”的原理和緩沖算子三公理，提出了一類新的弱化緩沖算子，并研究其特性及各種弱化緩沖算子之間的內(nèi)在關(guān)系，從而使序列前一部分增長(減緩)速度過快，而后一部分增長(衰減)速度過慢的沖擊擾動系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測過程中常常出現(xiàn)的定量預(yù)測結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題得到有效解決。

Study on New Weakening Buffer Operators

HAN Ran，WU Zheng-peng

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024 )

Abstract：Under the axiomatic system of buffer operator in grey system theory，some new weakening buffer operators are established，which have been based on average tempo of time series. Meanwhile，the characters and the inherent relation among them are studied. The problem that there are some contradictions between quantitative analysis and qualitative analysis in pretreatment for vibration data sequences is resolved effectively. A practical example shows their validity and practicability.

Keywords：time series；average tempo；fixed point；weakening buffer operator

1前言

無論是對實驗數(shù)據(jù)還是對統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在選擇模型之前必須對所獲得的數(shù)據(jù)進行分析，否則就會出現(xiàn)定量預(yù)測結(jié)果和定性分析結(jié)論不相符的情況，問題的癥結(jié)往往不在于所選模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種外在沖擊而失真。因此，尋求定量預(yù)測與定性分析的結(jié)合點，設(shè)法排除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊干擾，還原數(shù)據(jù)本來面目，從而提高預(yù)測的精度，乃是擺在每一位預(yù)測工作者面前的一項重要任務(wù)[1]。灰色系統(tǒng)理論通過對社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)挖掘和整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種從數(shù)據(jù)來尋找數(shù)據(jù)規(guī)律的理論體系。灰色系統(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但是它是有整體功能的，因此必然蘊含某種內(nèi)在規(guī)律，關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈネ诰蛩屠盟?。劉思峰教授提出的緩沖算子理論[2-4]可以對所獲得的數(shù)據(jù)序列經(jīng)過某種生成，弱化其隨機性，顯示其規(guī)律性，成功地排除了外在沖擊干擾，得到了能夠反映系統(tǒng)變化規(guī)律的數(shù)據(jù)序列。

沖擊擾動因素對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的干擾既有加快數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或者使數(shù)據(jù)的振蕩幅度變大，也有減緩數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或使數(shù)據(jù)序列的振蕩幅度變小。為排除這些沖擊因素的干擾，文獻[5，6，10]提出了一------------------------

2基本概念

定義1[1]設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若

(1) 若?k=2，3，…n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調(diào)增長序列；

(2)若?k=2，3，…n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調(diào)衰減序列；

(3)若?k，k′∈{2，…，n}有x(k)-x(k-1)>0，x(k′)-x(k′-1)<0，則稱X為隨機振蕩序列。令

M=max{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

m=min{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

稱M-m為序列X的振幅。

定義2[1]設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過D作用后記為

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)

稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

序列算子作用可以多次進行。相應(yīng)地，若D1，D2，D3都為序列算子，稱D1D2為二階算子作用序列，等等。

公理1(不動點公理)[1]設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)。

不動點公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)x(n)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進行調(diào)整時，不會改變x(n)。

公理2[1](信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k)，k=1，2，…，n都應(yīng)充分參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有序列中的信息為基礎(chǔ)進行定義，不允許拋開原始數(shù)據(jù)序列。

公理3[1](解析化、規(guī)范化公理)任意的x(k)d，k=1，2，…，n，都可以由一個統(tǒng)一的x(1)，x(2)，…，x(n)初等解析式表達。

解析化、規(guī)范化公理要求由系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列得到算子作用序列的程序清晰、規(guī)范、統(tǒng)一且盡可能簡化、以便于計算出算子作用序列并使計算易于在計算機上實現(xiàn)。

定義3[1]稱上述三個公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階緩沖算子作用序列稱為一階、二階、三階緩沖序列。

定理1[1]設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，緩沖序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，那么

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時，D為弱化緩沖算子?x(k)d≥x(k)，k=1，2，…，n；

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時，D為弱化緩沖算子?x(k)d≤x(k)，k=1，2，…，n；

(3)當(dāng)X為振蕩序列時，D為弱化緩沖算子則

從上述定理可以看出，單調(diào)增長序列在弱化算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹；單調(diào)衰減序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮。

3一類新的弱化緩沖算子的構(gòu)造

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列和振蕩序列時，D2都為弱化緩沖算子。

證明：容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理，所以，D2為緩沖算子。下面證明D2為弱化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。

又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

0≤f(x(k))≤…≤f(x(n))

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D2為弱化緩沖算子。

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

f(x(k))≥…≥f(x(n))≥0

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D2為弱化緩沖算子。

(3)若X為振蕩序列時，設(shè)

x(α)=max{x(i)|i=1，2，…，n}

x(β)=min{x(i)|i=1，2，…，n}

x(α)≥x(1)，…，x(n)，x(β)≤x(1)，…，x(n)

由x(α)≥x(n)，x(β)≤x(n)，又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

所以

f(x(α))≥f(x(n))，f(x(β))≤f(x(n))

又因g為f為反函數(shù)，則

同理可證x(β)d2≥x(β)，即

故X為震蕩序列時，D2為弱化緩沖算子。

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列和振蕩序列時，D3都為弱化緩沖算子。

證明：容易驗證，D3滿足緩沖算子三公理，所以，D3為緩沖算子。下面證明D3為弱化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。

又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

0≤f(x(k))≤…≤f(x(n))

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D3為弱化緩沖算子。

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

f(x(k))≥…≥f(x(n))≥0

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D3為弱化緩沖算子。

(3)若X為振蕩序列時，設(shè)

x(α)=max{x(i)|i=1，2，…，n}

x(β)=min{x(i)|i=1，2，…，n}

x(α)≥x(1)，…，x(n)，x(β)≤x(1)，…，x(n)

由x(α)≥x(n)，x(β)≤x(n)

又因f為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，f>0。

所以

f(x(α))≥f(x(n))，f(x(β))≤f(x(n))

又因g為f為反函數(shù)，則

同理可證x(β)d3≥x(β)，即

故X為震蕩序列時，D3為弱化緩沖算子。

從以上討論可知，由于弱化緩沖算子必須要滿足不動點公理，即x(n)d=x(n)，因此，弱化緩沖算子作用于單調(diào)增長序列，數(shù)據(jù)膨脹，弱化緩沖序列的增長速度比原始序列的增長速度減緩；而對于單調(diào)衰減序列，在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮，即弱化緩沖序列的衰減速度比原始序列衰減速度減緩。因此，當(dāng)原始序列的前半部分增長(衰減)速度較快，后半部分增長(衰減)速度較慢時，可以利用本文所構(gòu)造的弱化緩沖算子對原始序列進行作用，將使序列變得比較平緩，并且考慮了“新信息優(yōu)先”的原則，能夠有效地消除沖擊擾動對系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列造成的“失真”現(xiàn)象，因而能夠提高模型的模擬精度和預(yù)測精度。

4實例分析

取f(x)=g(x)=x來構(gòu)造緩沖算子，以中國城鎮(zhèn)登記失業(yè)人數(shù)(單位為萬人)為例來驗證本文弱化緩沖算子在GM(1，1)預(yù)測過程中的作用。選取2000～2006年中國城鎮(zhèn)登記失業(yè)人數(shù)作為原始數(shù)據(jù)序列，見表1。

表1　中國城鎮(zhèn)登記失業(yè)人數(shù) 　單位：萬人

以2000～2005年的數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，2006年數(shù)據(jù)作為模型檢驗數(shù)據(jù)。計算城鎮(zhèn)登記失業(yè)增長率分別為14.454%、13.069%、3.896%、3.375%、1.451%、0.954%，顯然前半部分增長速度較快，后半部分增長速度比較慢，如果用此數(shù)據(jù)直接建模預(yù)測，不可取。認真分析，筆者發(fā)現(xiàn)原因有二：一方面20世紀90年代中后期到21世紀初，由于國有企業(yè)改革，造成了許多工人下崗；另一方面因為大中專院校擴大招生規(guī)模，為社會培養(yǎng)了許多畢業(yè)的大學(xué)生，因此，就業(yè)壓力增大，失業(yè)人數(shù)大大增加。后來，由于中央政府和地方政府陸續(xù)出臺了許多促進下崗職工再就業(yè)和扶持大學(xué)生就業(yè)的政策，減緩了就業(yè)壓力，表現(xiàn)為城鎮(zhèn)登記失業(yè)人數(shù)增長減緩。為了消除原始數(shù)據(jù)序列受到?jīng)_擊擾動因素的影響，用緩沖算子進行作用。

以本文構(gòu)造的緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進行一階弱化處理，分別建立預(yù)測模型如下：

無緩沖算子作用，由原始數(shù)據(jù)序列直接建立GM(1，1)模型為：

緩沖算子D2作用后得到弱化緩沖序列XD2，建立GM(1，1)模型為：

緩沖算子D3作用后得到弱化緩沖序列XD3，建立GM(1，1)模型為：

無緩沖算子作用和緩沖算子D2和D3作用后的緩沖序列的建立GM(1，1)模型得到平均相對誤差和預(yù)測值見表2。

表2　四種情況平均相對誤差和預(yù)測值

由表2知，原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過弱化緩沖算子D2和D3作用后，平均相對誤差都比原始序列直接建模的平均相對誤差小，其中D3作用后得到的弱化緩沖序列的平均相對誤差最小，預(yù)測值為848.6，比較逼近觀測值847，一步預(yù)測相對誤差只有-0.19%，即預(yù)測精度最高。

5結(jié)論

本文在已有的文獻基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類新的弱化緩沖算子，并研究了它們之間的相互關(guān)系。利用所構(gòu)造的緩沖算子對具有前半部分增長速度較快，而后半部分增長速度較慢特征的原始數(shù)據(jù)序列與一階弱化緩沖序列分別進行了預(yù)測精度比較。結(jié)果表明：(1)用D2和D3弱化處理的緩沖序列預(yù)測精度比原始數(shù)據(jù)序列有顯著提高；(2)通過比較3個新的弱化緩沖算子作用后的弱化緩沖序列的平均相對誤差和預(yù)測值可以發(fā)現(xiàn)，D2和D3弱化的緩沖序列平均相對誤差遞減，一步預(yù)測誤差也是遞減的，其中原始序列經(jīng)過D3弱化后，無論是模擬的平均相對誤差還是預(yù)測誤差，都是最小的。該弱化緩沖算子能夠充分有效地消除原始數(shù)據(jù)序列中的沖擊擾動因素的干擾。

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(責(zé)任編輯：宋金寶)