直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法研究

陳思宇，譚儒龍，郭曉東，闞 磊

（1．重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054；2．陸裝駐重慶地區(qū)第六軍代室，重慶 400042）

剛度激勵是齒輪動態(tài)激勵的主要來源之一，是由齒輪傳動過程中隨時間周期變化的嚙合剛度即時變嚙合剛度所產(chǎn)生的［1－2］，確定齒輪的嚙合剛度一直都是齒輪系統(tǒng)動力學(xué)研究的熱點(diǎn)，對此國內(nèi)外已有大量學(xué)者進(jìn)行研究，并取得了不少成果。在已發(fā)表的文獻(xiàn)中，齒輪嚙合剛度的計算多采用材料力學(xué)法和有限元法，其中材料力學(xué)法是應(yīng)用最早且是最快速的求解方法［3］。

在基于材料力學(xué)的嚙合剛度計算研究中，日本學(xué)者通過對輪齒齒形的大幅簡化，提出了能夠?qū)崿F(xiàn)嚙合剛度快速計算的石川公式，但由于該計算模型未考慮輪齒基體變形對嚙合剛度的影響，計算精度不夠理想［4］。李亞鵬等［5］在石川公式的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)，將輪齒基體的變形量考慮在內(nèi)提出了新的嚙合剛度計算方法。Weber［6］根據(jù)利用能量積分導(dǎo)出包含輪齒彎曲、剪切與壓縮的綜合變形計算方法。Cornell［7］在Weber的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了包含齒根圓角以及輪齒基礎(chǔ)彈性變形的數(shù)值積分法。YANG等［8］基于勢能原理，提出了齒輪嚙合剛度計算模型，WU等［9］和TIAN［10］在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了包含剪切變形的影響。陳再剛等［11］基于剛度與輪齒誤差相互作用的思想，提出了更加符合實(shí)際的時變齒側(cè)間隙嚙合剛度計算模型。貴新成等［12］采用修正的齒面赫茲接觸剛度計算方法，基于勢能法建立了單輪齒對嚙合綜合剛度模型。CHEN Zaigang等［13］通過考慮齒形變形、齒接觸變形、圓角－基礎(chǔ)變形、齒輪體結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)以及齒形偏差等各種變形，提出了一種綜合的、通用的解析齒輪嚙合模型。

與材料力學(xué)理論模型相比，有限元模型可以模擬復(fù)雜的幾何形狀、邊界條件及工況，能夠獲得更加接近實(shí)際的變形及詳細(xì)的應(yīng)力分布情況［11］。WANG J等［14］采用有限元法分析了不同載荷對漸開線直齒圓柱齒輪嚙合剛度的影響。唐進(jìn)元等［15］和雷敦財?shù)龋?6］利用有限元法中的準(zhǔn)靜態(tài)計算方法，針對齒根裂紋、齒廓修形等對嚙合剛度的影響進(jìn)行了計算分析。陸鳳霞等［17］針對時變嚙合剛度的計算，在有限元法基礎(chǔ)上提出了一種新的基于齒輪嚙合特性的有限元網(wǎng)格劃分方法。馮正玖等［18］針對齒輪副的嚙合剛度，運(yùn)用三維有限元法獲得了直齒輪齒面的柔度矩陣，建立了直齒輪嚙合副的線接觸和面接觸2種輪齒承載接觸分析模型。

在齒輪嚙合剛度計算中，材料力學(xué)方法計算耗時短，但計算準(zhǔn)確度較低，以有限元方法為代表的數(shù)值計算方法計算準(zhǔn)確度高，但計算耗時較長。因此，本文力圖探尋一種在精度損失較小情況下，直齒圓柱齒輪嚙合剛度的快速計算方法。本文從能量等效思想出發(fā)，提出單齒嚙合剛度快速計算模型，并結(jié)合位移相容原理，形成直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算方法。最終對比本文中計算方法與有限元分析方法的結(jié)果表明，本文中提出的方法能夠在不顯著降低計算準(zhǔn)確度的情況下，實(shí)現(xiàn)直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度的快速計算。

1 漸開線直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計算模型

由于齒輪在嚙合過程中情況比較復(fù)雜，作為對實(shí)際嚙合狀況的一個合理簡化，在分析齒輪變形時進(jìn)行以下設(shè)定：載荷沿接觸線的均勻分布；無安裝制造誤差及動載荷；漸開線直齒圓柱齒輪齒廓為二維平面曲線。

將漸開線直齒圓柱齒輪輪齒視為如圖1所示的變截面懸臂梁模型。如圖1所示，F(xiàn)是沿嚙合線方向上的嚙合作用力，α1是嚙合力與齒厚方向的夾角，h是嚙合作用點(diǎn)的齒厚的一半，hx是變截面處齒厚的一半，x是截面到嚙合作用點(diǎn)的距離，dx則是截面微段長度，Rint是齒輪內(nèi)孔半徑。

圖1 漸開線直齒圓柱齒輪輪齒截面懸臂梁模型示意圖

將輪齒的變形等效成嚙合力F引起的沿嚙合線方向的彈簧變形，彈簧做工的彈性勢能表達(dá)式為：

剛度K乘上彈簧變形量μ等于這個彈簧的彈簧反力：

結(jié)合式（1）～（2），在嚙合力F作用下，輪齒發(fā)生的彎曲、剪切與沿齒高方向的軸向壓縮變形而存儲的等效彈性勢能為：

式中：Kb、Ks、Ka分別是沿嚙合線方向與輪齒彎曲、剪切、軸向壓縮變形相對應(yīng)的等效彈簧剛度；Eb、Es、Ea分別是嚙合力沿嚙合線方向做的功分別等效為輪齒彎曲變形、剪切變形以及軸向壓縮變形引起的等效彈簧彈性勢能。

結(jié)合式（2）～（5）聯(lián)立求得彎曲、剪切、軸向壓縮變形的等效彈性勢能：

根據(jù)懸臂梁理論，將嚙合力F處的應(yīng)變能分為彎曲、剪切、軸向壓縮應(yīng)變能：

式中：K是量綱為1的量，與橫截面形狀和尺寸有關(guān)，漸開線直齒輪齒截面為矩形截面，故K取值1 2。E和G是材料的彈性模量和剪切模量，其中：

Fb、Fa、M分別是嚙合力F沿輪齒齒厚方向的分力、垂直于齒厚方向的分力以及相對于寬度為dx的微截面力矩，結(jié)合圖1表示為：

Ix、Ax是距離嚙合點(diǎn)x處的截面慣性矩與截面面積，結(jié)合圖1表示為：

式中的b是輪齒的寬度。其中的h與hx的值可通過計算直齒輪任意弦齒厚的方法得到，表達(dá)式為：

結(jié)合式（9）～（17）與圖示1可得彎曲剛度Kb的計算表達(dá)式為：

剪切剛度Ks的計算表達(dá)式為：

軸向壓縮剛度Ka的計算表達(dá)式為：

赫茲接觸剛度Kh計算表達(dá)式為：

齒輪嚙合剛度不僅受到輪齒變形的影響，也會受到輪體變形的影響。輪體變形引起的嚙合線上等效剛度Kf為：

式中，δf為齒輪的輪體變形量［11］。

由式（22）～（26）可得漸開線齒輪單齒嚙合剛度Ke的表達(dá)式：

式中：腳標(biāo)1、2分別對應(yīng)主動輪、從動輪。

2 漸開線直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算模型

為保證齒輪正確傳動，任何瞬間至少要有一對輪齒嚙合。如圖2所示，在齒輪正常傳動過程中，一對輪齒還未完全退出嚙合處于嚙合點(diǎn)B1時，下一對輪齒已經(jīng)于嚙合點(diǎn)B2開始進(jìn)入嚙合。

圖2 漸開線直齒圓柱齒輪連續(xù)嚙合傳動示意圖

利用重合度可得出單齒嚙合區(qū)與多齒嚙合區(qū)，重合度計算式為：

式中：αa1和αa2為齒頂圓的壓力角；α′為分度圓壓力角。

接觸點(diǎn)B1和B2到圓心的距離為：

由于齒輪傳動任意嚙合點(diǎn)都處于如圖2所示嚙合線N1N2上，通過重合度可計算出當(dāng)?shù)诙嘄X開始進(jìn)入嚙合時，第一對輪齒所在嚙合點(diǎn)B1位置。

基于位移相容原理，在從動輪變形轉(zhuǎn)角為θ的情況下，參與嚙合的第一對齒的變形量δ1與同時參與嚙合的第二對齒的變形量δ2的表達(dá)式：

式中α1和 α2是嚙合點(diǎn)B1與B2的壓力角，由式（30）～（31）表明變形量是嚙合副狀態(tài)的函數(shù)。通過變形量與單齒嚙合剛度值可得嚙合齒對的嚙合力表達(dá)式：

式中的腳標(biāo)i表示參與嚙合的第i對齒。

當(dāng)全部嚙合力與外力處于平衡時有：

根據(jù)嚙合剛度定義，每單位齒寬的齒面法向載荷和每個輪齒齒面法向變形量的總和的比值，稱為一對輪齒的嚙合剛度Ke，表達(dá)式為：

由式（32）～（34）可得多齒嚙合剛度表達(dá)式為：

結(jié)合式（30）～（35）簡化可得：

式中的單齒嚙合剛度Ki通過第1節(jié)公式獲得。由該式可見，Ki、Li與αi是齒輪系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)變量的函數(shù)，綜合嚙合剛度K具有非線性。

3 算例分析

通過有限元法的具體實(shí)例來驗(yàn)證文中所提出算法的準(zhǔn)確性，采用如表1所示的3組齒對參數(shù)。

表1 3組齒對參數(shù)

3．1 齒輪有限元前處理模型

將齒對的三維實(shí)體幾何模型導(dǎo)入到有限元前處理軟件中，得到其有限元網(wǎng)格模型。由接觸力學(xué)可知，接觸應(yīng)力在接觸區(qū)附近高度集中，應(yīng)力梯度較大，因此接觸部分網(wǎng)格進(jìn)行密化。根據(jù)彈性力學(xué)圣維南原理，在遠(yuǎn)離接觸區(qū)部分，其受力分布情況對接觸區(qū)應(yīng)力分布影響較小，誤差小于1%。因此，考慮到實(shí)例中的齒輪副參數(shù)重合度大于1小于2，故任何瞬間最多2對輪齒最少1對輪齒參與嚙合，為合理分配計算量，則采用3對輪齒進(jìn)行分析。對于單元類型，由于六面體在接觸問題中的計算代價遠(yuǎn)小于四面體網(wǎng)格，同時在單元積分形式的選擇上，由于網(wǎng)格的扭曲變形對分析精度會有影響，故可選擇產(chǎn)生影響相對較小的減縮積分單元，因此，在本文中，綜合考慮計算效率和計算精度后，采用六面體一次縮減積分單元（C3D8R）建立齒輪有限元模型。三齒漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型如圖3所示，并采用文獻(xiàn)［19］的有限元方法對其進(jìn)行靜力學(xué)分析。

圖3 模數(shù)1．5齒對有限元模型示意圖

3．2 計算結(jié)果處理與分析

齒輪單齒嚙合剛度的一般表達(dá)式為

式中：Fn是作用于齒廓曲面的法向接觸力；un是單對輪齒的綜合彈性變形。通過有限元后處理得到法向接觸力Fn以及綜合彈性變形量un之后，由式（37）計算出單齒一個嚙合周期在不同嚙合位置的嚙合剛度，再通過多項式插值得到單齒嚙合剛度曲線。將單齒嚙合剛度曲線左右移動nΔα角度可得到多齒對的嚙合剛度，并通過式（39）對其進(jìn)行疊加得到綜合嚙合剛度曲線。

根據(jù)表1中第1組齒對參數(shù)，利用本文的計算方法完成主動輪和從動輪的輪齒剛度計算，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，根據(jù)本文提出的計算方法所得結(jié)果與有限元法計算結(jié)果基本相符，誤差低于6%。

圖5為本文方法、有限元法獲得的單齒嚙合剛度曲線。由圖5可知，在整個輪齒嚙合過程中，嚙入嚙出區(qū)域單齒剛度較小，而中間部分對應(yīng)的嚙合剛度較強(qiáng)。圖6為綜合嚙合剛度曲線。由圖6可知，綜合嚙合剛度是在一定范圍內(nèi)呈周期性交替變化的。具體嚙合剛度計算誤差如表2所示。通過3組實(shí)例的對比分析，可以認(rèn)為本文所提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法計算結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖4 輪齒剛度曲線

圖5 單齒嚙合剛度曲線

圖6 綜合嚙合剛度曲線

表2 嚙合剛度計算誤差

4 結(jié)論

1）基于能量等效原理，可以有效構(gòu)建漸開線直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計算模型。

2）基于位移相容的條件，從齒輪單齒嚙合剛度中可以導(dǎo)出綜合嚙合剛度計算模型。

3）提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法計算結(jié)果較為準(zhǔn)確。由于采用的是簡單積分計算式，可以實(shí)現(xiàn)直齒圓柱齒輪嚙合剛度快速計算。