尺度函數(shù)與正交小波基的構(gòu)造

朱梅++樊中奎

摘要：該文首先介紹了小波變換的起源和應(yīng)用領(lǐng)域，首先介紹了尺度函數(shù)、小波函數(shù)、尺度空間、小波空間，并在之基礎(chǔ)上對(duì)正交小波基進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，給出了二維正交小波基的構(gòu)造方法，并應(yīng)用Haar小波進(jìn)行圖像進(jìn)行分析和壓縮，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明壓縮效果較好。

關(guān)鍵詞：小波變換；信號(hào)分析；圖像壓縮

中圖分類號(hào)：TP3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）29-0209-03

1 概述

小波是上世紀(jì)80年代中期出現(xiàn)的一門現(xiàn)代技術(shù)，由法國(guó)工程師J.Morlet在1974年首先提出的，該技術(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了：短時(shí)窗口傅立葉變換、Gabor變換、時(shí)頻分析、小波變換等階段的發(fā)展[1]。1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer構(gòu)造出第一個(gè)光滑的小波基對(duì)小波， 1988年S.Mall建立了構(gòu)造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。在此之后小波分析得到了快速的發(fā)展，比利時(shí)數(shù)學(xué)家 I. Doubechies 發(fā)表的《小波十講》對(duì)小波分析的理論及應(yīng)用的普及起了重要推動(dòng)作用[3]。

目前小波分析在數(shù)學(xué)領(lǐng)域可以快速數(shù)值構(gòu)造、閾值分析；在信號(hào)分析領(lǐng)域能夠進(jìn)行信號(hào)濾波、去噪等；在影像領(lǐng)域能夠進(jìn)行壓縮、識(shí)別、分類等；在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中可以提高CT、B超的效率縮短時(shí)間；并在機(jī)械故障診斷、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推動(dòng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展[3]。

2 尺度函數(shù)與小波函數(shù)

2.1 尺度函數(shù)與尺度空間

定義函數(shù)[φ（t）∈L2（R）]為尺度函數(shù)（scale function）[4]，若其整數(shù)平移系列[φk（t）=φ（t-k）]滿足

αjm，n，βjm，n，γjm，n]與小波空間[W1j，W2j，W3j]相對(duì)應(yīng)[sjm，n]為尺度空間[Vj]的尺度展開(kāi)系數(shù)。

2）長(zhǎng)方塊形式的二維正交小波基與二維正交小波變換

正交基的尺度在兩個(gè)方向上是不同的，形象稱為的長(zhǎng)方形正交小波基。

[f（x，y）]在長(zhǎng)方塊二維正交小波基下的展開(kāi)公式為

[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）?ψm，n（y）] （3.1）

其中

[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）

稱之為長(zhǎng)方塊形式下的二維正交小波變換系數(shù)，[j，m]是兩個(gè)方向上的尺度， 位移[k，n]是兩個(gè)尺度下的。上述兩個(gè)公式表示長(zhǎng)方形二維正交小波變換的重構(gòu)以及分解。

4 正交小波基應(yīng)用及結(jié)論

圖2 haar小波變換結(jié)果

圖2為用MATLAB工具對(duì)本人的照片做haar小波變換結(jié)果，（a）圖中圖名加cod為小波變換后經(jīng)過(guò)wcodemat處理即將圖像的數(shù)據(jù)范圍調(diào)整到當(dāng)前顯示的數(shù)據(jù)范圍的結(jié)果。（b）圖為僅利用小波分解后的低頻分量進(jìn)行的圖像的重構(gòu)，從圖中可以看出圖像經(jīng)恢復(fù)后仍然能夠體現(xiàn)原圖的內(nèi)容。

這就是圖像壓縮的內(nèi)容，這里用于二次圖像重構(gòu)的圖像的數(shù)據(jù)量與原圖的數(shù)據(jù)量比為1：16.壓縮比為93.75%，這意味著壓縮后數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)容量和傳輸速度都大大提高了。

參考文獻(xiàn)：

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