重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)

田青松, 門(mén)福殿通訊作者：門(mén)福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍（中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院,山東青島 266580）

重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)

田青松, 門(mén)福殿??通訊作者：門(mén)福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍
（中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院,山東青島 266580）

基于半經(jīng)典近似,研究重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)共存下費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì),通過(guò)理論解析和數(shù)值模擬分析強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的影響.研究表明：與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的引入使能量及化學(xué)勢(shì)都降低.隨溫度的上升,重力場(chǎng)對(duì)化學(xué)勢(shì)的影響逐漸放大；對(duì)熱容的影響有極大值.重力場(chǎng)使系統(tǒng)的熱容隨磁場(chǎng)的振蕩幾乎不變、使化學(xué)勢(shì)的振蕩中心下移.

重力場(chǎng)；強(qiáng)磁場(chǎng)；費(fèi)米氣體；熱力學(xué)性質(zhì)

0 引言

近年來(lái),研究外勢(shì)及相互作用同時(shí)對(duì)熱力學(xué)系統(tǒng)的影響成為熱點(diǎn)課題.特別是對(duì)諧振勢(shì)約束下的量子系統(tǒng)進(jìn)行了較為深入的研究,取得了一系列的成果[1－10].磁場(chǎng)是一種重要的約束[11],對(duì)于強(qiáng)磁場(chǎng)約束下費(fèi)米氣體的性質(zhì)有不少研究.如,文獻(xiàn)[12]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中弱相互作用費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[13]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中超冷費(fèi)米氣體的相對(duì)論效應(yīng).文獻(xiàn)[14]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性.文獻(xiàn)[15]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中弱相互作用費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì).文獻(xiàn)[16]基于準(zhǔn)經(jīng)典近似研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中高溫費(fèi)米氣體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).但在強(qiáng)磁場(chǎng)和重力場(chǎng)共同約束下的費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)尚無(wú)人研究.眾所周知,重力場(chǎng)是一種客觀存在的勢(shì)場(chǎng),盡管在微觀領(lǐng)域中重力的強(qiáng)度相對(duì)較弱,然而研究表明,重力的量子效應(yīng)的確存在[17],再加上實(shí)驗(yàn)手段愈來(lái)愈精細(xì),測(cè)量愈來(lái)愈精準(zhǔn),因而在理論研究中需考慮重力場(chǎng)對(duì)低溫費(fèi)米氣體統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響.尤其對(duì)有精細(xì)結(jié)構(gòu)及超精細(xì)結(jié)構(gòu)的費(fèi)米系統(tǒng)（如6Li原子系統(tǒng),它有6個(gè)超精細(xì)能態(tài)）,重力場(chǎng)的影響是不可忽略的.因此研究雙場(chǎng)（磁場(chǎng)和重力場(chǎng)）約束下的費(fèi)米系統(tǒng)有實(shí)際意義.相對(duì)于強(qiáng)磁場(chǎng),重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)熱力學(xué)量的貢獻(xiàn)較小,但其理論研究的結(jié)果對(duì)于掌控強(qiáng)磁場(chǎng)背景下系統(tǒng)的性質(zhì)是重要的.如,利用磁場(chǎng)作為外部控制手段來(lái)實(shí)現(xiàn)磁場(chǎng)Feshbach共振以改變?cè)娱g的散射長(zhǎng)度的實(shí)驗(yàn),當(dāng)要實(shí)現(xiàn)某一高精度時(shí),有必要在磁場(chǎng)背景下考慮重力場(chǎng)的修正.本文基于半經(jīng)典近似方法,通過(guò)泊松公式解析雙場(chǎng)共存下費(fèi)米系統(tǒng)的低溫?zé)崃W(xué)勢(shì)函數(shù),在此基礎(chǔ)上運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系和數(shù)值模擬方法分析強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)總能、熱容、化學(xué)勢(shì)的影響.

1 同時(shí)考慮重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)情況下的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)

考慮自旋量子數(shù)s＝1/2、靜止質(zhì)量為m的費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng),處在沿z軸方向的均勻磁場(chǎng)以及重力加速度為g、高度為z的重力場(chǎng)中.利用半經(jīng)典近似的方法,參考文獻(xiàn)[19],則費(fèi)米子在磁場(chǎng)和重力場(chǎng)共存條件下的總能可表示為

式中σ＝he/4πmc為玻爾磁子,n＝0,1,2,3,…,為量子數(shù),mgz為重力場(chǎng)作用項(xiàng).

根據(jù)文獻(xiàn)[18],當(dāng)n,pz給定時(shí),在Δpz區(qū)間內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為

其中Lz為粒子在z方向的運(yùn)動(dòng)區(qū)域的尺度,令Lz＝Δz,即粒子z方向的運(yùn)動(dòng)尺度在有限范圍內(nèi)為一可變的量.再考慮自旋,則粒子在ΔpzΔz區(qū)間的量子態(tài)數(shù)為

再根據(jù)文獻(xiàn)[19],pz是在磁場(chǎng)方向的動(dòng)量,?。薜健薜倪B續(xù)值,z取0到z的有限連續(xù)值,對(duì)于每個(gè)給定的n在間隔d pzd z中的態(tài)的數(shù)目是

則系統(tǒng)的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)可表示為

其中

利用泊松公式[17],則（5）式可表為

其中ΩB＋G（μ）為磁場(chǎng)和重力場(chǎng)的影響項(xiàng).經(jīng)計(jì)算,有

式中Ω0＝（mσB）3/2TS/π3h－3,λ＝πmg/2σB,a＝eμ/T,b＝1＋eμ/T,d＝cosα,f＝sinα,w＝sinhβ.

2 熱力學(xué)量的解析式

運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系

其中U,C,u分別是系統(tǒng)的總能、熱容、化學(xué)勢(shì).在低溫下（T?TF,TF為自由系統(tǒng)的費(fèi)米溫度）,忽略溫度對(duì)化學(xué)勢(shì)的微弱影響,即取自由系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)為μ≈εF＝h2（3π2n）2/3/2m,分別得系統(tǒng)的總能、熱容量、化學(xué)勢(shì)的重力場(chǎng)和磁場(chǎng)影響項(xiàng)：

式（11）～（13）中,U0＝m3/2（σB）5/2S/π3h－3,C0＝（mσB）3/2S/π3h－3,γ＝coshβ,u0＝m1/2（σB）3/2/（3π2N/S）1/3πh－, q＝1－eμ/T,β＝π2kT/σB,α＝πkμ/σB－π/4.λ,a,b,d,f,w與式（9）中的形式一樣.

3 數(shù)值模擬與分析

3.1 熱力學(xué)量隨溫度的變化

考慮強(qiáng)磁場(chǎng)條件T≤σB?μ,令μ＝xσB,T＝y(tǒng)σB（x?1,0＜y≤1）則有

式（14）～（16）中U0,C0,u0,λ,d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,只是a＝ex/y,b＝1＋ex/y,q＝1－ex/y,α＝πkx－π/4,β＝π2ky.根據(jù)式（14）～（16）,以國(guó)際單位制為標(biāo)準(zhǔn)取εF～10－24,σB～10－2εF, N/S～1021,S＝1,m～9.11×10－31,x＝100、101、99、98,即μ＝100σB、101σB、99σB、98σB,g～10,z取適當(dāng)值做圖1～3（y＝T/σB＝[0～1]）.在以下所有圖中,虛線標(biāo)識(shí)單純強(qiáng)磁場(chǎng)下的熱力學(xué)量,實(shí)線標(biāo)識(shí)磁場(chǎng)與重力場(chǎng)共存下的熱力學(xué)量.式（9）、（11）～（13）中第一項(xiàng)（第一個(gè)大括號(hào)）是單純強(qiáng)磁場(chǎng)下的熱力學(xué)量,第二項(xiàng)（第二個(gè)大括號(hào)）為強(qiáng)磁場(chǎng)背景下引入重力場(chǎng)后的熱力學(xué)量.如果mgz＝0,則以上各式便回到單純強(qiáng)磁場(chǎng)的情況,這使得結(jié)果具有普遍意義.

圖1 能量隨溫度的變化Fig.1 Energy varies with temperature

圖2 熱容隨溫度的變化Fig.2 Heat capacity varieswith temperature

3.2 熱力學(xué)量隨磁場(chǎng)的變化

再令σB＝pμ,T＝10－2TF≈10－2μ,即x＝1/p,y＝10－2/p,x/y≈102,U0＝m3/2μp（ ）5/2 S/π3h－3, C0＝（mμp）3/2S/π3h－3,u0＝m1/2（μp）3/2/（3π2N/S）1/3πh－,λ＝πmg/2μp,a＝102,b＝1＋e100,α＝πk/p －π/4,β＝10－2π2k/p.d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,并經(jīng)簡(jiǎn)化后有

圖3 化學(xué)勢(shì)隨溫度的變化Fig.3 Chemical potential varies with temperature

根據(jù)式（17）～（19）,令μ～10－24,p＝σB/μ＝[0～0.09],z取適當(dāng)值做圖4～6.

3.3 分析與討論

由圖1～3可知,從能量隨溫度的變化情況看,無(wú)論μ為偶數(shù)（如μ＝100σB）還是奇數(shù)（如μ＝101σB）,與無(wú)重力場(chǎng)（即單純強(qiáng)磁場(chǎng)）相比,重力場(chǎng)的加入使能量整體有所降低,但能量隨溫度的變化特征不變.從熱容隨溫度的變化情況看,當(dāng)μ為偶數(shù)時(shí),與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的引入使熱容量升高；當(dāng)μ為奇數(shù)時(shí),與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的加入使熱容量降低.無(wú)論μ為偶數(shù)還是奇數(shù),隨著溫度的升高重力場(chǎng)對(duì)熱容的影響都逐漸減弱,且都有極大值.從化學(xué)勢(shì)隨溫度的變化情況看,無(wú)論μ為偶數(shù)還是奇數(shù),與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的加入使化學(xué)勢(shì)下降,并且隨著溫度的增加,這種影響被放大.

圖4 能量隨磁場(chǎng)的變化Fig.4 Energy varieswithmagnetic field

圖5 熱容隨磁場(chǎng)的變化Fig.5 Heat capacity varies with magnetic field

圖6 化學(xué)勢(shì)隨磁場(chǎng)的變化Fig.6 Chemical potential variesmagnetic field

圖4～6表明,從能量隨磁場(chǎng)的變化情況看,重力場(chǎng)沒(méi)改變磁場(chǎng)對(duì)能量影響的趨勢(shì),只是使系統(tǒng)的能量更低.并且高度z值越大,重力場(chǎng)影響越明顯.磁場(chǎng)與重力場(chǎng)對(duì)熱容的影響隨磁場(chǎng)的變化呈現(xiàn)不規(guī)則振蕩,且重力場(chǎng)的引入對(duì)熱容的影響幾乎為零.就化學(xué)勢(shì)的影響隨磁場(chǎng)的變化情況看,與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的引入使化學(xué)勢(shì)的振蕩幅度幾乎不變,振蕩中心下移.且隨高度z的增加,影響越明顯,相位幾乎不變.

4 結(jié)論

基于強(qiáng)磁場(chǎng)條件,根據(jù)半經(jīng)典近似引入重力場(chǎng),用理論解析和數(shù)值模擬的方法研究了重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)共存條件下費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì),分析了強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)能量、熱容和化學(xué)勢(shì)的影響.研究表明,從熱力學(xué)量隨溫度的變化看,與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比,重力場(chǎng)的引入使能量和化學(xué)勢(shì)下降；當(dāng)自由系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)為偶數(shù)時(shí),重力場(chǎng)升高了熱容量；當(dāng)自由系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)為奇數(shù)時(shí),重力場(chǎng)降低了熱容.從熱力學(xué)量隨磁場(chǎng)的變化看,重力場(chǎng)沒(méi)改變磁場(chǎng)對(duì)能量、熱容及化學(xué)勢(shì)影響的趨勢(shì),只是使系統(tǒng)的能量更低、熱容的振蕩幾乎不變、化學(xué)勢(shì)的振蕩中心下移.

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Thermodynam ic Properties of Ferm i Gas Trapped in Both Gravity Field and M agnetic Field

TIAN Qingsong, MEN Fudian, CHEN Xinlong
（College ofScience,China University of Petroleum（East China）,Qingdao 266580,China）

With semi-classical approximation,thermodynamic properties of Fermigas trapped in both gravity field and magnetic field are studied.By using theoreticalanalysis and numerical simulation,influence ofgravity field on thermodynamic properties of the system in strongmagnetic field is analyzed.It shows that,compared with the case of strong magnetic field only,gravity field makes the energy,chemical potential reduced.With rising temperature,influence of gravity field on chemical potential is gradually enlarged.There is amaximal influence of gravity field on heat capacity.Gravity fieldmakes oscillation of heat capacity almostunchangeablewhile oscillation center of chemical potential shift down.

gravity field；strongmagnetic field；Fermi gas；thermodynamic properties

1001-246X（2015）06-0751-06

O414.1；O414.2

A

2014－11－03；

2015－02－05

田青松（1988－）,男,碩士研究生,主要研究量子統(tǒng)計(jì),E-mail：tqs728＠126.com