一類具偏差變元的高階泛函微分方程的周期解

汪代明

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

一類具偏差變元的高階泛函微分方程的周期解

汪代明

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

具有偏差變元的泛函微分方程在生態(tài)學(xué)和控制論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文利用Mawhin重合度拓展定理和一些分析技巧，研究一類具有偏差變元的高階泛函微分方程x(n)(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t)，得到了周期解存在新的充分條件，推廣了已有的若干結(jié)果。

周期解；重合度；偏差變元；泛函微分方程

泛函微分方程是描述帶有時滯現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。具有偏差變元的微分方程由于在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)和人口動力系統(tǒng)等實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，而被人們廣泛關(guān)注[1-10]。文獻(xiàn)[1-4]分別研究了如下幾種方程

x″(t)+f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)

(1)

x″(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+

g(x(t-τ(t)))=p(t)

(2)

和 x(2n)(t)+h(x′(t))+f(x(t))x′(t)+

g(t,x(t-τ(t)))=p(t)

(3)

的周期解存在性問題。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究如下更具一般性的n階方程的

x(n)(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+

g(t,x(t-τ(t)))=p(t)

(4)

的周期解的存在性問題，其中n≥2,f,h,τ,

p:R→R和g:R×R→R為連續(xù)函數(shù)，τ(t),

p(t)為T周期函數(shù)，而g(t,x)是關(guān)于t的T周期函數(shù)。 利用Mawhin重合度拓展定理和一些分析技巧，在n≥2的情形下，得到了該方程周期解存在

的充分條件，從而推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-4]的相關(guān)結(jié)論。

1)Lx≠λNx,?x∈?Ω∩Dom (L)，?λ∈(0,1);

2)QNx≠0,?x∈?Ω∩Ker L;

3)deg{QN,Ω∩Ker L，0}≠0;

1 主要結(jié)果

定理1如果存在常數(shù)

r1≥0,r2≥0,H>0,K>0和D>0，使得下列條件成立：

則當(dāng)2Tn-1[r1+(T+1)r2+H]<1時，方程(4)至少存在一個T周期解。

證明考察如下方程x(n)(t)+λf(x′(t))+

λh(x(t))x′(t)+λg(t,x(t-τ(t)))=λp(t)，

λ∈(0,1)

(5)

(6)

再由積分中值定理知?ξ∈[0,T],使得

f(x′(ξ))+g(ξ,x(ξ-τ(ξ)))=0

(7)

先證存在t*∈[0,T],使得

(8)

這是矛盾的，故

(9)

于是

(10)

由(9)式和(10)式知，無論r1=0還是r1>0，均有

(11)

由于ξ-τ(ξ)∈R,因而一定存在整數(shù)k和t*∈[0,T],使得ξ-τ(ξ)=kT+t*,故由(11)式得

從而(8)式成立，由此得

(12)

令F(z)=2Tn-1[r1+(T+1)(r2+z)+H]<1，z∈(0,+∞). 由題設(shè)條件2Tn-1[r1+(T+1)r2+H]<1知，F(xiàn)(0)<1,又F(z)在[0,∞)上連續(xù)，因而存在常數(shù)δ>0,使得

F(z)=2Tn-1[r1+(T+1)(r2+z)+H]

<1，z∈(0,δ)

(13)

F(z)=2Tn-1[r1+(T+1)(r2+ε)+H]<1

(14)

對上述ε>0，由題設(shè)條件(iv)知，一定存在與λ和x無關(guān)的常數(shù)ρ≥D，使得

(15)

(∫E1+∫E2+∫E3)g(t,x(t-τ(t)))dt

即

(16)

(17)

由E2,E3的定義和(15)式知，

(18)

(19)

，

x(0)=x(T)知，一定存在η∈[0,T]，使得x′(η)=0,從而有

……，

顯然Ker L=R。定義投影算子P和Q分別為：

引理1的條件3)滿足。因此，根據(jù)引理1知，方程(4)至少存在一個T周期解。

推論1如果存在常數(shù)r1≥0,r2≥0,H>0,K>0和D>0，使得下列條件成立：

則當(dāng)2Tn-1[r1+(T+1)r2+H]<1時，方程(4)至少存在一個T周期解。

類似于定理1的證明，可得如下結(jié)果：

定理2如果存在常數(shù)r1≥0,r2≥0,H>0,K>0和D>0，使得下列條件成立：

則當(dāng)2Tn-1[r1+(T+1)r2+H]<1時，方程(4)至少存在一個T周期解。

2 應(yīng)用舉例

作為應(yīng)用考慮下列方程

g(x(t-sint))=cost

(21)

其中，

2Tn-1[r1+(T+1)r2+H]

因而，根據(jù)本文推論1知方程(21)至少存在一個T周期解。而上述結(jié)果不能由文[1-4]得到，因此本文的研究推廣和改進(jìn)了文[1-4]的主要定理。

[1] 魯世平，葛渭高，鄭祖庥．具偏差變元的Rayleigh方程周期解問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報，2004，47(2)：299-304．

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[4] 汪小明，孫楊劍．一類具偏差變元的高階泛函微分方程的周期解[J]．西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，49(3)：16-19．

[5] 施呂蓉，周宗福，高 偉．一類三階具多偏差變元微分方程的周期解[J]．重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，30(1)：6-9, 15．

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[7] 歐伯群，秦發(fā)金．一類n階中立型泛函微分方程周期解的存在唯一性[J]．天津師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，33(3)：22-27．

[8] 沈欽銳．一類三階多時滯微分方程周期解的存在唯一性[J]．廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，53(3)：299-304．

[9] 陳文斌，高 芳，魯世平．一類時滯微分方程周期解的存在性[J]．四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，51(3)：455-458．

[10]WangXM.NewresultsonperiodicsolutionsforaclassofRayleightype-Laplacianequationswithdeviatingarguments[J].NonlinearOscilllations, 2012, 15(3): 331-336.

[11]GainsRE,MawhinJL.Coincidencedegreeandnonlineardifferentialequations[M].Heidelberg:Springer-Verlag, 1977: 95-169.

Existence of periodic solutions for a kind of higher order functional differential equations with a deviating argument

WANG Dai-ming

(School of Mathematics and Statistics, Fuyang Normal University, Fuyang Anhui 236037, China)

Functional differential equations with deviating arguments have been widely used in fields such as ecology and control theory. By employing the Mawhin coincidence degree theory and some analysis techniques, a kind of higher order functional differential equations with a deviating argument as follows x(n)(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t),is studied, and some sufficient conditions on the existence of periodic solutions is given, which generalizes and improves some known results.

periodic solution; coincidence degree; deviating arguments; functional differential equation

2015-8-12

安徽省高校省級自然科學(xué)研究項目(KJ2011Z290)資助。

汪代明(1979-)，女，碩士，副教授，研究方向：微分方程。

O175.12

A

1004-4329(2015)04-025-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-025-04