合理構建無窮級數(shù)教學內容體系的教學探究

合理構建無窮級數(shù)教學內容體系的教學探究

張淼

(長春工程學院 理學院，長春 130012)

摘要：針對高等數(shù)學課程中無窮級數(shù)部分的內容，提出了建立級數(shù)的概念與求和符號及數(shù)列極限之間、冪級數(shù)與函數(shù)的泰勒展開式之間以及傅里葉級數(shù)與泰勒級數(shù)之間聯(lián)系的一種新的教學理念，并以此為依據(jù)改進了教學內容體系，提高了學生對這部分知識的學習效果。

關鍵詞：無窮級數(shù)；教學；內容體系；聯(lián)系

無窮級數(shù)是高等數(shù)學課程中一個相對比較獨立，同時又不易掌握的內容。其概念比較抽象，內容涉及面廣，同時多數(shù)題目又比較復雜[1]。但是無窮級數(shù)又是應用問題中一個非常重要的工具。例如，冪級數(shù)常用于復雜函數(shù)函數(shù)值的近似計算，傅里葉級數(shù)在振動及熱傳導問題中都有著廣泛的應用[2]。因此級數(shù)這部分內容將在學生今后的數(shù)學計算及未來的專業(yè)發(fā)展中扮演重要的角色[3]。為了讓學生更好地掌握級數(shù)這部分內容，教師應合理地構建級數(shù)的講授體系，完善教學內容，使級數(shù)知識與學生前面學過的高等數(shù)學知識有效地銜接在一起，這樣既可以完善學生的認知結構，又可以提高學生的學習興趣。本文將從級數(shù)的概念、冪級數(shù)及傅里葉級數(shù)這三個重點內容出發(fā)，探討如何通過合理地建立無窮級數(shù)教學的內容體系，來提高學生這部分知識的學習效果。

一、級數(shù)級數(shù)與求和記號及數(shù)列極限之間的關系

級數(shù)是數(shù)列求和與數(shù)列極限這兩部分內容的綜合，因此在教學中要理清它們之間的關系。

二、建立冪級數(shù)與函數(shù)的泰勒展開式的聯(lián)系

冪級數(shù)的一個主要內容就是其和函數(shù)的計算。在和函數(shù)的計算中，逐項求積和逐項求導是兩個非常重要的工具，而逐項求積與逐項求導在很多國外教材中都不是以定理的形式給出的，而是直接給出算法，并且這種算法只要求在對稱的開區(qū)間內完成即可，這是因為端點處的收斂性是無法保證的[3，4]。而這一細節(jié)問題在國內的教材中顯得模糊，為此要在教學中加以提示，以免出現(xiàn)計算上的錯誤。

逐項求積與逐項求導算法要依賴冪級數(shù)的收斂區(qū)間，這里應主要講授應用比值審斂法計算收斂區(qū)間，這樣學生更易于理解和記憶，也便于前后知識的貫通。但是即便確定了收斂區(qū)間，冪級數(shù)的和函數(shù)計算仍然十分困難，即便使用逐項求積和逐項求導，能確定和函數(shù)的冪級數(shù)仍然十分有限。

與求和函數(shù)相反的過程就是求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。對于任一函數(shù)，若其存在無窮階導數(shù)，就可求其冪級數(shù)展開式。與傳統(tǒng)的教學邏輯不同的是，對泰勒級數(shù)的教學內容的處理時，最大的變化是建議將一元微分學中的泰勒公式與冪級數(shù)中的泰勒級數(shù)合并講授，這樣可以使教學內容更完整流暢，教學邏輯更通順。同時便于學生明確泰勒級數(shù)的基本計算方法。不僅如此，還應在這部分內容中加入二元泰勒公式的內容，這樣可以讓學生將一、二元泰勒公式進行對比，便于其記憶和掌握。同時也可以完成在多元函數(shù)微分學中沒有給出的二元函數(shù)極值的充分條件的證明，這樣既可以讓學生有機會體驗到二元泰勒公式的應用，又加強了高等數(shù)學教學內容的完整性。

三、建立傅里葉級數(shù)與泰勒級數(shù)的聯(lián)系

在冪級數(shù)與泰勒級數(shù)內容的教學中，學生們看到了用級數(shù)來表示一個函數(shù)的過程，這是數(shù)學發(fā)展歷程中一個非常重要的進步，學生們可以利用冪級數(shù)中的有限項來完成一些工作，例如計算某些函數(shù)的函數(shù)值等等。但是需要向學生說明的是泰勒多項式只有在展開點的附近才具有良好的精度，因此這種近似是局部的，而后面要介紹的傅里葉展開式卻能全局地近似表示一個周期函數(shù)，因此，在面對周期函數(shù)時，傅里葉級數(shù)比泰勒級數(shù)更有優(yōu)勢，這樣來引入傅里葉級數(shù)就更加自然了。此外，還應告訴學生在自然界中的很多現(xiàn)象都是周期變化的，如光波、聲波、無線電波等等。因此傅里葉級數(shù)在物理及工程領域都有著廣泛的應用，這樣很容易把學生的注意力吸引到教學內容上來。

為了便于學生應用傅里葉級數(shù)解決實際問題，在教學中還應強調傅麗葉級數(shù)的誤差是均勻的，這在很多數(shù)教材中都有明確的圖例說明，教師可以展示給學生。如果課內時間充裕的話，教師還可以將傅麗葉展開式與泰勒展開式在近似計算中的誤差進行比較，讓學生有非常直觀的認識，這對學生們應用能力的提高是很有幫助的。

以上是我們從建立級數(shù)的概念與求和符號及數(shù)列極限之間、冪級數(shù)與泰勒展開式之間以及傅里葉級數(shù)與泰勒級數(shù)之間的聯(lián)系三個方面，探討了通過合理地建立無窮級數(shù)的內容體系，進而提高學生這部分知識的學習效果的一些認識和探索。我們將不斷學習、不斷努力，總結經(jīng)驗，使教學適應新時代的發(fā)展要求。

參考文獻

[1]申聰.有關無窮級數(shù)教學的一些探究[J].數(shù)學學習與探究，2010(21)：20-21.

[2]李麗，項明寅.物理背景在Fourier級數(shù)教學中的重要性[J].黃山學院學報，2012(5)：100-101.

[3]張淼.從實踐終身教育談重新定位高等工程教育[J].長春工程學院學報：社會科學版，2007(1)：86-88.

[4]Robert T.Smith，Roland B.Minton.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004：8.

[5]Finney Weir Giordano.托馬斯微積分[M].北京：高等教育出版社，2004：1.

DOI:10.3969/j.issn.1009-8976.2015.01.040

收稿日期：2014-12-25

基金項目：吉林省教育科學規(guī)劃課題資助(項目編號：GH14294)

作者簡介：張淼(1972—)，男(漢)，吉林長春，博士，副教授主要研究結構優(yōu)化及振動控制。

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1009-8976(2015)01-0138-02

Research of teaching on how to establish the system for teaching the content of infinite series reasonably

ZHANG Miao

(ChangchunInstituteofTechnology,SchoolofScience，Changchun130012,China)

Abstract：As far as the teaching content of infinite series in high mathematics courses is concerned,a new teaching idea is proposed by constructing the relation of three relevant part of infinite series teaching,that one is series concept associating with summation notation and Limits of sequence,the other is Power series attaching to Taylor series expansion,the last one is Fourier series connecting with the Taylor series.In terms of the teaching idea presented here we can reform the system of teaching content.Once taught by the teaching method presented here,the students will improve the outcome of study.

Key words：infinite series;teaching;system of content;association