巧用一次函數(shù)圖像解決實際問題

□江蘇省蘇州市平江中學(xué)校 翁余

巧用一次函數(shù)圖像解決實際問題

□江蘇省蘇州市平江中學(xué)校 翁余

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究永恒的話題，它們就像是一個硬幣的兩個面。形是數(shù)的載體，數(shù)是形的內(nèi)涵。因此，對于數(shù)與形的研究，我們不能割裂地來看待，必須使其有機(jī)結(jié)合，使問題迎刃而解。

數(shù)形結(jié)合 函數(shù)圖像 變式問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”，通常指的是“以數(shù)助形”或是“以形解數(shù)”，即利用數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，使得原本抽象、復(fù)雜的問題變得簡單、具體。下面,結(jié)合自己的教學(xué)實踐與體會，筆者以運(yùn)用一次函數(shù)圖像解決實際問題為例一探數(shù)形結(jié)合之妙用。

一、利用函數(shù)圖像解決實際問題的價值所在

把實際場景轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的過程，實質(zhì)上就是建立了知識間的關(guān)聯(lián)，形成了知識的遷移，因而對發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)十分有益。同時，在學(xué)生分析與解決問題的過程中，畫函數(shù)圖象是十分重要的步驟，它可以促進(jìn)學(xué)生能更好地思維，使他們學(xué)會有序推理和抽象思維。與此同時，畫圖思考的過程還促進(jìn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。

二、利用一次函數(shù)圖像解決實際問題的應(yīng)用分析

【例1】（1）自凌晨0點(diǎn)起至中午12點(diǎn)整，時針和分針重合幾次？

（2）它們第二次相遇是在什么時間？

【分析】（1）建立如圖所示直角坐標(biāo)系，橫軸代表時間，縱軸代表時針(分針)轉(zhuǎn)過的角度。由于時針每12小時轉(zhuǎn)一圈即轉(zhuǎn)360°，所以代表時針的一次函數(shù)圖像一定經(jīng)過（0，0）和（12，360），從而得到代表時針的一次函數(shù)圖像。分針1小時轉(zhuǎn)一圈即轉(zhuǎn)360°，所以1點(diǎn)整的時候代表分針的一次函數(shù)圖像經(jīng)過（1,360），2點(diǎn)整的時候代表分針的一次函數(shù)圖像經(jīng)過（2,360）……以此類推，同樣可以得到代表分針的一次函數(shù)圖像。在同一直角坐標(biāo)系中分針與時針圖像共有11個交點(diǎn)，即代表它們相遇了11次。（2）由圖像知分針與時針第二次相遇在2點(diǎn)至3點(diǎn)之間，此時，y時針=30x，y分針=360x-720，交點(diǎn)坐標(biāo)為），所以第二次相遇的時間為2點(diǎn)分。

【例2】若A、B兩站間的路程為500km,甲速20km/h,乙速為30km/h，甲乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)。

（1）若兩車相向而行，幾小時后兩車相遇？

（2）若兩車相向而行，問經(jīng)過多少小時他們相距100km？

（3）若兩車同向而行，問經(jīng)過多少小時他們相距100km？

【分析】在函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中，|k|即車速，b為函數(shù)與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（1）建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系，則y甲=-20x+500，y乙=30x，交點(diǎn)（10,300），所以兩車相向而行，10小時后兩車相遇。（2）兩車相距100km，應(yīng)該包含兩種情況：①兩車相遇前相距100km；②兩車相遇后相距100km，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以歸納為：|y甲-y乙|=100。把（1）中的兩個函數(shù)關(guān)系式代入求解即可。（3）與第（2）小題的區(qū)別是運(yùn)動方向由“相向而行”改為“同向而行”，根據(jù)題意原來甲乙之間距離為500km，同向而行后相距100km，那么只可能速度快的乙在后，而速度慢的甲在前，因此建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系，得到：y甲=20x+500，y乙=30x，代入|y甲-y乙|=100，從而得到答案：兩車同向而行，經(jīng)過40小時或60小時他們相距100km。

【例3】路邊有一路燈桿AB，小明手中拿著一把長為1米的米尺，在燈光下，在點(diǎn)D處測得豎立的米尺影長DE=2m。

（1）若此時測得米尺離路燈底部的距離BD=10m，求路燈桿AB的高度。

（2）若小明沿DB方向繼續(xù)前行5米到達(dá)點(diǎn)G處，此時測得豎立的米尺影長HG=1m，求路燈桿AB的高度。

【分析】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，（1）很明顯E（0，0）、C（2，1），所以直線CE：y=x，而點(diǎn)A橫坐標(biāo)為12，代入解析式可以求出縱坐標(biāo)為6，即燈桿AB的高度為6米。（2）由F（7，1）、H（6，0）得直線FH：y=x-6，它與直線CE交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，6），因此燈桿AB的高度為6米。

三、利用圖像解決實際問題的教學(xué)思考

在初中階段培養(yǎng)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的方法觀察、分析問題，對發(fā)展數(shù)學(xué)思維也有非常大的幫助，學(xué)生將終生受益。