具有非線(xiàn)性等式約束的故障診斷集員濾波器設(shè)計(jì)

阮玉鎮(zhèn)，苗琳璐，王 武

(1．福建工程學(xué)院機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，福建福州 350118;2．福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350116)

0 引言

在控制界和信號(hào)處理界，故障診斷是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的基本問(wèn)題之一．因此，自1971年故障診斷技術(shù)產(chǎn)生以來(lái)，其研究得到了越來(lái)越多學(xué)者的青睞，目前依然是研究熱點(diǎn)之一［1－3］．在一些實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)，如化學(xué)處理過(guò)程［4］、目標(biāo)跟蹤［5］、投資問(wèn)題［6］，其噪聲分布未知但有界，且希望系統(tǒng)的狀態(tài)能100%估計(jì)出．基于隨機(jī)噪聲的卡爾曼濾波方法［7］要求噪聲分布已知，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)是點(diǎn)估計(jì)，無(wú)法估計(jì)出100%包含系統(tǒng)狀態(tài)的界，因此無(wú)法勝任此類(lèi)情況．集員濾波就是針對(duì)這類(lèi)情況出現(xiàn)的一種濾波方法，它僅要求噪聲約束界就能夠保證被估計(jì)狀態(tài)值在設(shè)計(jì)要求的范圍內(nèi)．基于這些優(yōu)點(diǎn)，其應(yīng)用涉及到很多領(lǐng)域，如電力系統(tǒng)［8］、機(jī)器人系統(tǒng)［9］、非線(xiàn)性系統(tǒng)［10］等．

針對(duì)實(shí)際工程中有狀態(tài)約束的控制系統(tǒng)，許多學(xué)者提出研究狀態(tài)約束問(wèn)題的方法［11］．投影法是狀態(tài)約束處理方法中研究最多、最普遍的一種方法，它的基本思想是首先獲得一個(gè)沒(méi)有約束的解決方案，然后將無(wú)約束的狀態(tài)投影到有約束的狀態(tài)約束表面，該方法克服了數(shù)值和空間問(wèn)題，具有較強(qiáng)的可實(shí)現(xiàn)性，因此較多的文獻(xiàn)都是采用投影法．

綜上所述，針對(duì)具有狀態(tài)約束的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，采用投影法處理狀態(tài)約束，選擇集員濾波方法用于故障診斷，所設(shè)計(jì)的濾波器不僅能有效檢測(cè)出故障，保證系統(tǒng)狀態(tài)、故障在一定范圍內(nèi)，并且能判定出故障類(lèi)型．

1 問(wèn)題描述

考慮如下線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng):

其中:xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，uk∈Rnu為已知輸入，yk∈Rny為測(cè)量輸出，Ak，Bk，Ck，Dk，F(xiàn)k，Mk和Lk為已知的時(shí)變矩陣，wk∈Rnw為過(guò)程噪聲，vk∈Rnv為測(cè)量噪聲，fk∈Rnf為故障信號(hào)，分別屬于超橢球集合:

其中:Qk=QTk＞0，Rk=RTk＞0和Sk=STk＞0為已知矩陣．系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0，f0滿(mǎn)足超橢球集合約束:

其中:h(·)為非線(xiàn)性函數(shù);dk為已知常數(shù)．

對(duì)于系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)集員濾波器:

設(shè)計(jì)目標(biāo)是對(duì)任意時(shí)刻k+1，具有非線(xiàn)性等式約束(4)的系統(tǒng)(1)，在給定過(guò)程噪聲wk、觀測(cè)噪聲vk和故障信號(hào)fk有界的情況下，設(shè)計(jì)集員濾波器(5)，保證系統(tǒng)狀態(tài)、故障信號(hào)100% 在超橢球界內(nèi)，即系統(tǒng)狀態(tài)、故障信號(hào)滿(mǎn)足以下性能指標(biāo):

2 主要結(jié)果

定理1 針對(duì)具有非線(xiàn)性等式約束(4)的系統(tǒng)(1)，在任意k+1時(shí)刻，給定測(cè)量輸出yk+1，如果:

1)過(guò)程噪聲wk∈Wk、觀測(cè)噪聲vk∈Vk和故障信號(hào)fk∈Ψk;

2)xk和fk滿(mǎn)足:(xk－)TP－1k(xk－)≤1，(fk－rk)TG－1k(fk－rk)≤1，其中，rk，Pk和Gk已知;

其中:

那么:①系統(tǒng)存在集員濾波器(5);②xk+1和fk+1滿(mǎn)足式(6)，即保證系統(tǒng)的狀態(tài)、故障信號(hào)100%包含在超橢球界內(nèi)．

證明 假設(shè)在第k步時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)xk和故障fk滿(mǎn)足:

那么?z，?s滿(mǎn)足 z≤1， s≤1，且存在矩陣Ek和Γk滿(mǎn)足Pk=EkETk和Gk= ΓkΓTk，上述約束條件可轉(zhuǎn)化為:

那么在k+1時(shí)，由式(5)和式(9)可得狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差分別為:

對(duì)非線(xiàn)性等式約束進(jìn)行線(xiàn)性化，式(4)可寫(xiě)為

式中:Hk為雅克比矩陣;Ξ1和Ξ2是已知的標(biāo)量矩陣;Δ1和Δ2是未知但有界的矩陣，且 Δ1≤1， Δ2≤1;Ξ1Δ1代表線(xiàn)性化過(guò)程基準(zhǔn)點(diǎn)誤差;Ξ2Δ2代表泰勒展開(kāi)時(shí)高階截?cái)嗾`差．代入式(9)，式(11)為:

令Δ3=Δ1Ekz，那么式(12)為:

定義向量η為:

由式(10)，式(6)可寫(xiě)為:

同理，式(13)可寫(xiě)為:

已知向量 z，s，wk，vk+1，fk，fk+1，Δ2和 Δ3滿(mǎn)足:

將式(17)寫(xiě)成向量η的不等式形式，連同式(15)應(yīng)用S－procedure引理，可得存在τi＞0，αi＞0，i=1～8使得式(18)成立．

由式(16)和式(18)應(yīng)用Finsler引理可得:

由Schur補(bǔ)引理可知，如果式(7)和式(8)成立，那么式(19)成立，即存在一個(gè)形如式(5)的集員濾波器，使得xk+1和fk+1滿(mǎn)足式(6)．證畢．

注1 定理1給出了存在集員濾波器的LMI條件和集員濾波器參數(shù)設(shè)計(jì)方法．利用Matlab LMI Toolbox，解決如下凸優(yōu)化問(wèn)題，就可得到集員濾波器參數(shù)．

注2 根據(jù)文獻(xiàn)［12］中給出的故障判別方法來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè)．故障檢測(cè)時(shí)，選取評(píng)價(jià)函數(shù)為:

其中:k0為初始評(píng)價(jià)時(shí)刻;L為評(píng)價(jià)步數(shù)．由于故障常常發(fā)生在有限時(shí)間段內(nèi)，所以L(fǎng)是有限值．閾值的選取必須要考慮外界干擾的影響，為了盡量避免沒(méi)有故障信號(hào)時(shí)出現(xiàn)誤檢測(cè)，而有故障信號(hào)時(shí)又要盡量迅速地檢測(cè)出故障，取閾值函數(shù)為:

其中κ為閾值系數(shù)．通過(guò)計(jì)算每一時(shí)刻J(rk)和Jth的值來(lái)檢測(cè)故障是否發(fā)生，即

3 仿真研究

系統(tǒng)(1)參數(shù)如下:

其中:xk= ［xk1xk2xk3xk4］T，fk= ［fk1fk2］T．非線(xiàn)性狀態(tài)約束為:(ζ+xk1)2+x2k2=ζ2

利用Matlab LMI Toolbox對(duì)優(yōu)化問(wèn)題(20)進(jìn)行尋優(yōu)，首先，假設(shè)同一時(shí)刻只有一個(gè)部件發(fā)生故障:

1)fk1，fk2，fk3和fk4取同種故障，且為正弦信號(hào):

2)fk1，fk2，fk3和fk4取同種故障，且為方波信號(hào):

圖1和圖2給出了在1)、2)故障情形下，狀態(tài)變量xk1和xk2的真實(shí)值、估計(jì)值、上界線(xiàn)、下界線(xiàn)比較，無(wú)論故障為何種形式，只要故障信號(hào)的值有界，狀態(tài)變量xk1和xk2100%在上下界內(nèi)，滿(mǎn)足性能要求．圖3和圖4分別是故障形式為1)、2)時(shí)的rk1估計(jì)值、上下界與真實(shí)值fk1比較圖，圖3和圖4表明故障信號(hào)的估計(jì)值100%在上下界內(nèi)，也滿(mǎn)足性能要求，從故障波形圖還可以判斷出故障類(lèi)型．

圖1 x k1真實(shí)值、估計(jì)值、上下界Fig．1 The upper bound，the lower bound，the estimate and the true value of x k1

圖2 x k2真實(shí)值、估計(jì)值、上下界Fig．2 The upper bound，the lower bound，the estimate and the true value of x k2

圖3 故障為情形1)時(shí)，r k1與f k1Fig．3 Under the fault of case 1，the true value of f k1 and the estimate value of r k1

圖4 故障為情形2)時(shí)，r k1與f k1Fig．4 Under the fault of case 2，the true value of f k1 and the estimate value of r k1

k2k1k2k1取κ=1．2，根據(jù)式(21)和式(22)計(jì)算每一時(shí)刻的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)值J(r)和閾值Jth，判斷二者數(shù)值就可以檢測(cè)出故障．通過(guò)仿真得到當(dāng)k=24時(shí)，J(rk)=0．653 42＞Jth=0．144，說(shuō)明故障在出現(xiàn)后第24步就可以被檢測(cè)出來(lái)，如圖6所示．

圖5 x k1/x k2真實(shí)值與估計(jì)值Fig．5 The true and the estimate value of x k1/x k2

圖6 故障為情形2)時(shí)，J(r k)和J thFig．6 The value of J(r k)and J thunder the fault of case 2

4 結(jié)論

針對(duì)具有非線(xiàn)性等式約束的線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)提出了一種集員濾波器的設(shè)計(jì)方法，該方法保證系統(tǒng)狀態(tài)、故障100%包含在上下界內(nèi)．對(duì)非線(xiàn)性約束進(jìn)行線(xiàn)性化并采用S－過(guò)程和Finsler引理得到集員濾波器存在凸條件，運(yùn)用LMI方法就可求解所設(shè)計(jì)的集員濾波器參數(shù)．?dāng)?shù)值仿真表明，所設(shè)計(jì)的集員濾波器能100%估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)和故障的界，而且還能夠辨別出故障類(lèi)型，及時(shí)檢測(cè)出故障．