復廣義正定矩陣的定義及其相關性質

藺小林, 藺彥玲

(陜西科技大學 理學院， 陜西 西安　710021)

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復廣義正定矩陣的定義及其相關性質

藺小林, 藺彥玲

(陜西科技大學 理學院， 陜西 西安710021)

摘要：在實正定矩陣、廣義實正定矩陣和復正定矩陣定義及其性質的基礎之上，給出了復廣義正定矩陣的定義及其一些性質，并對相關性質給出了詳細完整的證明，推廣了實正定矩陣、廣義實正定矩陣和復正定矩陣的相關結論.

關鍵詞：復廣義正定矩陣; Hermite矩陣; 性質

0引言

在矩陣論的研究中，矩陣的正定性是其研究的重要分支之一，不管是在理論上還是實踐應用中，正定矩陣都有著非常重要的作用.而在矩陣的正定性認識與探討中，歷史上最早對實對稱正定矩陣進行了定義，如下：

定義1[1]n階實對稱矩陣A，如果對任意的X∈Rn×1(X≠0)，都有XTAX>0，則稱A為正定矩陣.這類正定矩陣全體用集合PS來表示.

1970年，Johnson給出了未必對稱的實矩陣的正定性定義.

定義2設A∈Rn×n，如果對于任意的X∈Rn×1(X≠0)，都有XTAX>0，則稱A為正定矩陣.

這類正定矩陣的全體用集合PI來表示.

在以上實正定矩陣的定義下，許多學者對實正定矩陣的定義進行了推廣.其中，1988年，夏長富對正定矩陣進行了深層次的定義：

定義3[3]設A∈Rn×n，如果對任意的X∈Rn×1(X≠0)，都存在正定對稱矩陣S=SX∈PS,使得XTSXAX>0，則稱A為廣義的正定矩陣.如果S=SX與X無關，則把這類正定矩陣的全體用集合PS+表示.

在矩陣正定性的研究中，很多學者不僅研究了實正定矩陣的正定性問題，還研究了復正定矩陣的正定性問題，最開始對復矩陣正定性的定義僅僅局限于Hermite矩陣，如下：

1985年，Horn和Johnson對未必對稱的復矩陣給出了正定性的定義.

除了以上作者對不同正定矩陣進行定義及其性質進行研究外，后來也有眾多學者對正定矩陣進行了更深層次的探討和推廣，2005年YangShichun和WuWenquan[6]給出了廣義正定矩陣的定義并研究了其相關性質.2010年，王志偉和王偉賢[7]探討了正定矩陣的子式陣的正定型，2013年，黃毅[8]給出了復正定矩陣的一些性質并對復正定矩陣進行了分類，2014年，秦應兵[9]對廣義正定矩陣進行了進一步的推廣，同時，黃毅和歐鵬[10]也研究了亞正定矩陣的基本性質.

在實正定矩陣、廣義實正定矩陣和復正定矩陣定義的啟發(fā)下，受以上各種定義的影響，本文進一步推廣了復正定矩陣正定性的定義，并且在該定義之下，對復廣義正定矩陣的一些性質進行了深入探討，得到了相關結論.

1主要結論

顯然，

(1)

引理2[11]設A,B是復正定矩陣，則A+B是復正定矩陣；若k為正實數(shù)，則kA是正定復矩陣.

引理3[3]設A∈Rn×n，則A∈PS+的必要充分條件是，存在S∈PS，使SA+ATS∈PS.

(2)

中，由于Re(t)>0，所以矩陣tE為實部均為正的對角矩陣，且其對角元素的實部為

Re(diag(tE))=diag(Re(t),Re(t),…,Re(t))，

該定理的證明類似于文獻[11]中系5的證明，此處從略.

2結論

本文基于實正定矩陣和廣義實正定矩陣的定義、性質以及相互關系，并根據(jù)復正定矩陣的定義和性質，給出了復廣義正定矩陣的定義，討論了復廣義正定矩陣的相關性質并給出了證明，本文所給出的這些定義和所得到的相關結論推廣了已有的有關正定矩陣的定義和某些結論，這些理論在矩陣論的研究和應用中具有一定意義.

參考文獻

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Thedefinitionandpropertiesofacomplexgeneralizedpositivematrix

LINXiao-lin,LINYan-ling

(CollegeofScience，ShaanxiUniversityofScience&Technology,Xi′an710021,China)

Abstract:Based on the definitions and properties of a real positive matrix, a real generalized positive matrix and a complex positive matrix, the paper gave the definition and some properties of a complex generalized positive matrix, and various properties were detailed and complete proof.

Key words:a complex generalized positive matrix; Hermite matrix; properties

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)05-0183-03

作者簡介:藺小林(1961-)，男，陜西洛川人，教授，博士，研究方向：數(shù)值計算理論及其應用

基金項目：陜西省科技廳重點實驗室科技計劃項目(2011HBSZS014)； 陜西科技大學學術團隊計劃項目(2013XSD39)

收稿日期:*2015-05-25