非高斯噪聲驅(qū)動下Logistic系統(tǒng)的隨機共振

張曉燕

（西安建筑科技大學 數(shù)學系，陜西 西安 710055）

1 引言

近年來，運用非線性物理學性質(zhì)及應(yīng)用揭示生物系統(tǒng)的復(fù)雜性引起一些研究者的關(guān)注.大量的研究表明，噪聲在非線性隨機動力系統(tǒng)中占據(jù)非常重要的角色，并得出許多有意義的結(jié)論，如：隨機共振、噪聲誘導相變及激活共振等[1-4].而噪聲的這些影響效應(yīng)在生物系統(tǒng)的研究中也陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)[5-6].

Logistic增長模型是研究在有限空間內(nèi)生物種群數(shù)量變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，因此該模型被廣泛應(yīng)用于生物系統(tǒng)、基因模型以及人口動力學的研究中[7-9].Ai等[7]研究了高斯白噪聲作用下Logistic生長模型的統(tǒng)計性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)噪聲能誘導相變.之前的研究中，多數(shù)情況下主要考慮高斯噪聲對生物系統(tǒng)的影響.但是對小龍蝦與老鼠皮毛進行的實驗結(jié)果表明，在這些感官系統(tǒng)中存在著非高斯噪聲.雖然由非高斯噪聲激勵的非線性系統(tǒng)性質(zhì)會更復(fù)雜，理論研究比較困難，但是更具現(xiàn)實意義，目前已經(jīng)成為熱點研究問題[10-11].

以往對Logistic系統(tǒng)的分析主要討論的是高斯噪聲對系統(tǒng)的影響，而考慮噪聲為非高斯噪聲的研究較少.本文主要研究在非高斯噪聲激勵下，Logistic模型在加性噪聲與乘性噪聲之間為色關(guān)聯(lián)情形下的隨機共振問題.

2 Logistic系統(tǒng)的信噪比

考慮色關(guān)聯(lián)高斯白噪聲與非高斯噪聲驅(qū)動的Logistic模型，對應(yīng)的隨機微分方程可描述為；

其確定性勢函數(shù)為，

其中a是細胞增長率，b是細胞衰減率.并且可以得到(2)式的一個穩(wěn)態(tài)解x1=a/b和一個非穩(wěn)態(tài)解x2=0.

AcosΩt為一弱周期信號，η(t)為高斯白噪聲，ξ(t)為非高斯噪聲.兩個噪聲之間是色關(guān)聯(lián)的，且ξ(t)滿足如下方程：

參數(shù)q表示ξ(t)偏離高斯分布的程度，若q→1，則非高斯噪聲ξ(t)就退化為噪聲強度為D，自關(guān)聯(lián)時間為τ的高斯色噪聲.(3)式中的ε(t)為高斯白噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)為：

非高斯噪聲ξ(t)的性質(zhì)可以描述為：

在滿足條件|q-1|=1的情況下，運用路徑積分法[10]可以得到：

其中有效噪聲關(guān)聯(lián)時間為，

將(7)式代入(3)式可以得到，

其中ε1(t)為高斯白噪聲，滿足的統(tǒng)計性質(zhì)為：

上式中，D1=[2(2-q)/(5-3q)]2D為有效的噪聲強度，由(7)和(8)式可知，當 q→1時，有 τ1→τ和 D1→D.ε1(t)與系統(tǒng)的加性高斯白噪聲η(t)之間具有色關(guān)聯(lián)性，它們滿足如下統(tǒng)計性質(zhì)：

其中D1和α分別表示乘性和加性噪聲強度.λ為ε1(t)和η(t)之間的關(guān)聯(lián)強度，τ2表示兩個噪聲之間的互關(guān)聯(lián)時間，當τ2→0，那么兩個噪聲之間則具有白關(guān)聯(lián)形式.參數(shù)q表示非高斯噪聲ξ(t)偏離高斯分布的程度.

根據(jù)Novikov理論[12]、統(tǒng)一色噪聲近似[1]以及(1)-(10)式，可以得到相應(yīng)的近似?？耍绽士朔匠?FPE)為：

其中

根據(jù)方程(11)可以得到如下準穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)：

其中，N是方程(12)的歸一化常數(shù)，U軒(x)為廣義勢函數(shù)，其表達式如下：

當 4D1α-k2>0時，

當 4D1α-k2<0時，

其中

根據(jù)最速下降法，可以得到系統(tǒng)的平均首次穿越時間表達式為：

相應(yīng)的逃逸率為：

根據(jù)兩態(tài)模型理論，在絕熱近似條件下可以得到系統(tǒng)信噪比的表達式，

當 4D1α-k2>0時，

當 4D1α-k2<0時，

3 系統(tǒng)的隨機共振

圖1 信噪比SNR作為乘性噪聲強度D的函數(shù)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖2 信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著乘性噪聲自關(guān)聯(lián)時間τ變化的曲線

根據(jù)(18)式所給出的系統(tǒng)信噪比表達式，我們運用數(shù)值方法分析乘性噪聲強度D,加性噪聲強度α,乘性噪聲自關(guān)聯(lián)時間τ,兩個噪聲之間的互關(guān)聯(lián)時間τ2以及參數(shù)q對信噪比SNR的影響.

圖1給出了系統(tǒng)信噪比SNR作為乘性噪聲強度D的函數(shù)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線.從圖上可以看出，當D的取值較小時，信噪比曲線隨著D的增加快速下降，之后隨著D的增加三條曲線都有一個極大值，即是一個隨機共振現(xiàn)象.而且極大值的位置隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ的增加而升高且右移.

圖2給出了系統(tǒng)信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著乘性噪聲關(guān)聯(lián)時間τ變化的曲線.當乘性噪聲關(guān)聯(lián)時間較小時(如：τ=0.5),信噪比曲線隨著α的增加是單調(diào)減小.而當τ的值增大時，信噪比曲線隨著α的增加出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象，并且共振峰的位置隨著τ的增加快速提升且左移.

圖3 信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2變化的曲線

圖3給出了系統(tǒng)信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2變化的曲線.圖中的信噪比曲線隨著加性噪聲強度的增加先是快速降低，形成一個抑制，而后出現(xiàn)一個極大值，即出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象.當α的值較小時，信噪比曲線隨著噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2的增加而增加；當α的值較大時，信噪比曲線隨著噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2的增加而減小.

圖4 信噪比SNR作為噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖4描述了系統(tǒng)信噪比SNR作為噪聲互關(guān)聯(lián)時間τ2的函數(shù)隨著乘性與加性噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線.由圖4可以看出，圖中所給三條曲線的變化趨勢是不同的.當λ=0.3時，信噪比曲線隨著噪聲互關(guān)聯(lián)時間的增加是單調(diào)減小的；而當λ=0.5時，信噪比曲線上出現(xiàn)了一個極大值，隨機共振現(xiàn)象發(fā)生；當λ=0.7時，信噪比曲線上抑制與共振并存.

本文考慮了色關(guān)聯(lián)高斯噪聲與非高斯噪聲對Logistic增長模型的影響.通過分析系統(tǒng)的信噪比表達式，得到如下結(jié)論：在乘性與加性噪聲強度的影響下信噪比曲線上抑制與隨機共振現(xiàn)象共存.在信噪比作為噪聲互關(guān)聯(lián)時間的函數(shù)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強度變化的參數(shù)平面上發(fā)現(xiàn)隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強度的增加，信噪比曲線經(jīng)歷了從單調(diào)減小到存在一個極大值再到極大值與極小值共存的變化過程，說明噪聲互關(guān)聯(lián)時間對信噪比的影響依賴于噪聲互關(guān)聯(lián)強度的值.

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