一類非凸自治Hamilton系統(tǒng)的周期解

鄭 波，邱俊雄

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006)

0 引言

考慮如下二階離散Hamilton系統(tǒng)周期邊值問題

其中Δ是向前差分算子［1］，定義為 Δq(n)=q(n+1)－q(n)，Δ2q(n)= Δ(Δq(n))，V∈C2(RN，R)，V'(0)=0，T≥2 是給定的整數(shù)，Z(1，T)={1，2，3，…，T}.

早在2003年，臨界點(diǎn)理論(包括極小極大方法與Morse理論等)就被成功地應(yīng)用到差分方程邊值問題和周期解的研究中［2］.自此，許多學(xué)者都開始應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來研究差分系統(tǒng)解的存在性與多重性，獲得了一系列有意義的結(jié)果［3－8］.對(duì)于具有變分結(jié)構(gòu)的差分邊值問題的研究，極小極大方法已經(jīng)成為一個(gè)有力的工具.而臨界點(diǎn)理論的另一個(gè)重要部分——Morse理論是更深刻、更精細(xì)的臨界點(diǎn)理論，它在研究微分方程邊值問題以及許多數(shù)學(xué)物理問題中已經(jīng)發(fā)揮了巨大的作用.Morse理論應(yīng)該仍然是討論差分邊值問題的重要的工具，但運(yùn)用Morse理論來處理差分邊值問題解的存在性與多重性的文獻(xiàn)仍舊很少，主要難點(diǎn)在于精確計(jì)算離散系統(tǒng)中變分泛函臨界點(diǎn)的臨界群.本文將給出一系列條件以保證系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的變分泛函J的臨界點(diǎn)的臨界群可比較，從而得到其非常值周期解的存在性定理.這是運(yùn)用Morse理論討論非凸自治Hamilton系統(tǒng)的非常數(shù)周期解的存在性的成功嘗試.

關(guān)于差分方程的有關(guān)知識(shí)參見文獻(xiàn)［1］.關(guān)于臨界點(diǎn)理論的相關(guān)知識(shí)參見文獻(xiàn)［9－10］.

1 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)V∈C2(RN，R)，若:

(V1)V'(0)=0，V″(0)至少有一個(gè)特征值大于0;對(duì)于?q≠0，V'(q)≠0;

(V2)存在C＞0，使V'(q)≤C，?q∈RN;

(V3)V(q)→－∞，q→+∞，則系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非常值T周期解.

為了證明定理1，需要下面一系列引理.

引理1 對(duì)?k∈Z(0，T)且k≠0，k≠T，有

引理 2 對(duì)?k，j∈，其中表示取其整數(shù)部分，則

引理3 對(duì)?q∈ET={q|q(n+T)=q(n)}，

其中a，ak，bk是RN中常向量.

注:由引理3，

其中

從而，q(n)=a+u(n)并由引理1、2有0，并且有下列不等式成立.

引理4 (Wirtinger Type不等式)對(duì)任意的u∈Y，

現(xiàn)在，在ET上定義泛函:

其中Π為反差分算子，定義為

這意味著Πu(n)∈ET.

證明 注意到對(duì)任意的u，v∈ET有

通過直接計(jì)算并注意到Πu(n)∈ET，有:

也即

從而引理結(jié)論成立.

引理 6［9－10］設(shè)V∈C2(RN，R)滿足(V2)、(V3)，則ψ在ET上滿足Palais-Smale條件.即若{(uk，ak)}?ET，存在M＞ 0，對(duì)于 ?k∈N，ψ(uk，ak)≤M且 ψ'(uk，ak)→0，k→∞，則{(uk，ak)}具有收斂子列.

證明 由ψ'(uk，ak)→0知存在K＞0，使當(dāng)k＞K時(shí)有

由(V2)及Wirtinger不等式 Πuk易知必存在C1＞0，使當(dāng)k＞K時(shí)有

又由ψ(uk，ak)的有界性知存在C2＞0使得

由(2)，(V2)及 Wirtinger不等式知存在C3＞0，使，由(V3)即知存在C4＞0，使得

故{(uk，ak)}在ET有界，由于ET是有限維的，從而(PS)條件成立.

引理 7［9－10］設(shè)X是 Banach 空間，f∈C1(X，R)滿足PS條件且有下界，則f必能達(dá)到極小值，即存在x0∈X，使f(x0)=infx∈Xf(x)，f'(x0)=0.

定義1［9－10］設(shè)()∈ET中ψ的臨界點(diǎn)，令A(yù)(n)=V″(Π(n)+a).定義二次型:

引理8 設(shè)a1≤a2≤…≤aN是V″(0)的特征值，則

由引理8及條件(V1)即有:

引理9 ψ 在(0，0)的Morse指標(biāo)iT(0，0)＞0.

2 主要結(jié)論的證明

有了上述的準(zhǔn)備工作，現(xiàn)證明定理1.

定理1的證明 由(V3)知ψ(u，a)在ET上有下界，故由引理 7 知存在()∈ET，使 ψ()=inf(u，a)∈ETψ(u，a)且iT()=0.又由引理9知iT(0，0)＞0，故()≠(0，0).從而Π+必是(1)的非常值T周期解，若不然，Δ(Π+)=0 也即=0;而由()≠(0，0)，故≠0.由于Π+=是(1)的解，故V'()=0，這與假設(shè)?q≠0，V'(q)≠0相矛盾，定理證畢.

［1］ AGARWAL R P.Difference equations and inequalities［M］.New York:Marcel Dekker，Inc，2000.

［2］ GUO Z，YU J.Existence of periodic and subharmonic solutions for second superlinear difference equations［J］.Sci China Ser A，2003，46:506-515.

［3］ AGARWAL R P，PERERA K，O'REGAN D.Multiple positive solutions of singular and nonsingular discrete problems via variational methods［J］.Nonlin Anal，2004，58(1/2):69-73.

［4］ ZHENG B.Multiple periodic solutions to nonlinear discrete Hamiltonian systems［J］.Adv Differ Equ，2007，Art.ID 41830，13.

［5］ ZHOU Z，YU J，GUO Z.Periodic solutions of higher-dimensional discrete systems［J］.Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Engin Sci，2004，134:1013-1022.

［6］ ZHOU Z，YU J，CHEN Y.On the existence of gap solitons in a periodic discrete nonlinear Schrodinger equation with saturable nonlinearity［J］.Nonlinearity，2010，23(7):1727-1740.

［7］ ZHOU Z，YU J，CHEN Y.Periodic solutions of a 2nd-order nonlinear difference equation［J］.Sci China Math，2010，53(1):41-50.

［8］ SHI H.Boundary value problems of second order nonlinear functional difference equations［J］.J Differ Equ Appl，2010，16(9):1121-1130.

［9］ CHANG K C.Infinite dimensional Morse theory and multiple solution problems［M］.Boston:Birkhauser，1993.

［10］ MAWHIN J，WILLEM M.Critical point theory and hamiltonian systems［M］.New York:Springer-Verlag，1989.