含股指期貨的多資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)力學(xué)模型

王 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧835000)

近幾年，關(guān)于資產(chǎn)定價(jià)中有關(guān)異質(zhì)代理商模型的研究受到很多學(xué)者的關(guān)注.大多數(shù)學(xué)者考慮兩類資產(chǎn)，一支無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一支風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，主要探索影響期望收益和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的因素，如 Gaunerdorfer［1］，Chiarella et al.［2］.大多數(shù)文獻(xiàn)主要從兩方面考慮問題:首先是制定均衡價(jià)格，做市商機(jī)制和Walrasian均衡機(jī)制，利用做市商機(jī)制更能體現(xiàn)真實(shí)市場的情況.如Chiarella et al.［3］利用做市商機(jī)制來出清市場價(jià)格.Mei Zhu和Chiarella［4］研究了在做市商機(jī)制中，當(dāng)做市商扮演不同角色時(shí)，對市場的穩(wěn)定的影響.其次是交易者更新信念的法則，其中二階信念的應(yīng)用更加廣泛，并且對于在異質(zhì)代理商模型中，處理多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的問題也越來越多，如 Bhm and Chiarella et al.［5］，Wenzelburger［6］.

Chiarella et al［7］說明了趨勢判斷和時(shí)變信念的方差、協(xié)方差對價(jià)格與收益波動(dòng)的影響.而且，風(fēng)險(xiǎn)或收益信念的改變可以引起一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)到另一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)溢出.但其僅考慮了兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，沒有考慮到兩種資產(chǎn)的市場分?jǐn)?shù)及其基本價(jià)格是由外生因素給定的.本文中，我們參考Chiarella et al［8］，考慮兩類投資者，即基本面分析者與追風(fēng)者，假定他們關(guān)于收益的一階和二階分布具有時(shí)變的信念，并考慮以一支風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)為其標(biāo)的股指期貨與其本身之間外生相關(guān)性的聯(lián)合影響.

1 模型

參考 Chiarella，Dieci，He［8］中的定理 1，有

這里，我們也假設(shè)金融市場上有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(i=1)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，但同時(shí)加入以這種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)為標(biāo)的的股指期貨(i=2)，并且假定投資者對紅利的期望值相同而股指期貨的紅利為零.對于基本面分析者來說，假設(shè)Eft(ct+1)=g(pt).股指期貨定價(jià)模型參考Cornell和French［11］首次提出的當(dāng)融資成本和股息收益用連續(xù)復(fù)利表示時(shí)的持有成本模型，那么指數(shù)期貨定價(jià)公式為

其中，ct為期貨合約在t時(shí)的價(jià)值，pt為期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)(股票指數(shù))在t時(shí)的價(jià)值，r為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，q為股息收益率，T為期貨合約到期時(shí)間，t為現(xiàn)在的時(shí)間.

對于技術(shù)分析者來說，我們假設(shè)Ect(ct+1)=ct+d(ct－τ2，t).

參考 He［12］和 Chiarella et al.［7］，假設(shè)樣本均值、方差過程遵循幾何衰減過程:

τi，t+1= ωτi，t+(1－w)pi，t+1，vi，t+1= ωvi，t+ ω(1－ω)(pi，t+1－τi，t)2，(i=1，2).

本文假定外部供給為零，即zs=0.由此得到含股指期貨的多資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型

其中，

2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

6 維確定性動(dòng)力系統(tǒng)由映射 J:(p，τ1，v1，c，τ2，v2)→ (p'，τ1'，v1'，c'，τ2'，v2')給出.

下面，我們討論上述系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性區(qū)域及分支情況.

將p*代入上式，得到

Γ(λ)=(λ － ω)2［λ2－(A+ω +B － ωB)λ +ωA］［λ2－(D+ω +E － ωE)λ +ωD］=(λ－ω)2Γ1(λ)× Γ2(λ).

λ1= λ2= ω是其特征根，其它特征根λi(i=3，…，6)滿足Γ1(λ)× Γ2(λ)=0，由Jury’s判據(jù)知，特征根在單位圓內(nèi)，即|λi|＜1，基本平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，因0＜ω ＜1，所以只需計(jì)算λi(i=3，…，6)在單位圓內(nèi)的參數(shù)范圍.則需滿足以下條件:①Γ1(1)＞0;②Γ1(－1)＞0;③|ωA|＜1.

①Γ1(1)=(1－ω恒成立，因R ＞1，0≤α≤1.

那么，Γ1(λ)的特征根在單位圓內(nèi)的取值范圍為nf2＜nf≤1，μ ＜ μ1，或nf2＜nf≤nf1，μ≥μ1，

同樣，Γ2(λ)的特征根在單位圓內(nèi)的取值范圍為nf5＜ nf≤1，μ ＜ μ3，或nf5＜ nf≤nf4，μ ≥μ3，其中，nf4=

n f )］ .N(d)=1+d－R －(1－ ω)a q2σ2/(ω μ)F(d)=2 a q2σ2－ μ(R－1)+2 ω d μ/(1+ ω)μ［1+2 ω d/(1+ ω+d－a ，nf1

綜上，Γi(λ)(i=1，2)的特征根在單位圓內(nèi)同時(shí)成立，得到

另外，當(dāng)nf=nfF(d)時(shí)，Γ(λ)=0中一個(gè)特征根為－1;當(dāng)nf=nfN(d)時(shí)，有一對共軛復(fù)根.因此，當(dāng)μ=μ0時(shí)，在 nf=nfF(d)邊界上產(chǎn)生Flip分支;在nf=nfN(d)邊界上產(chǎn)生Hopf分支.

圖1 (d，nf)平面上穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ

圖2 (d，nf)平面上穩(wěn)定區(qū)域Ⅱ

圖3 (d，nf)平面上穩(wěn)定區(qū)域Ⅲ

圖1、圖2和圖3畫出了(d，nf)平面上的三個(gè)穩(wěn)定區(qū)域，參數(shù)選擇如下:R=1.0002;r=0.05;σ21=0.9;q2=1;σ22=1.6;ω =0.5;α =0.75;a=0.05.其中，μ 分別為0.07，0.1，0.18.隨著 μ 的增大，F(xiàn)lip 分支邊界與Hopf分支邊界會(huì)相交，穩(wěn)定區(qū)域也會(huì)逐漸減小.因?yàn)槲覀兛紤]的是追風(fēng)者，即d＞0的情形.令nfF(d)=nf(d)，解得 d=N，只要滿足d＞0，即只要Flip分支邊界與Hopf分支邊界就會(huì)相交。

3 結(jié)語

本文在做市商機(jī)制下，多資產(chǎn)模型的基礎(chǔ)上，建立了一支風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以及與其標(biāo)的的股指期貨兩類資產(chǎn)定價(jià)模型.運(yùn)用差分系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，討論特殊情形下系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域與分支情況.由此得到做市商的調(diào)整速度、基本面分析者的調(diào)整速度等主要參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的影響以及分支的變化情況.

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